К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение (9.25) без учета силы тяжести (Ах — — О) было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта — Лиса. Уравнения (9.25) и (9.31) представляют собой сложные нелинейные уравнения параболического типа второго порядка.
Точные решения этих уравнений получены лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев. Получены инвариантные решения (типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также некоторые численные решения на ЭВМ.
Начальные и граничные условия При решении конкретных задач для уравнений (9.25) или (9.31) должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции о в зависимости от пространственных координат (х или г) при г = О. Можно считать, что при 1 = — О насыщенность всюду постоянна (например, и = и,). В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти; из последнего условия вытекает (см. формулу (9.12)), что /г, = О, следовательно, на этой поверхности а = а".
На выходе из пласта ($ =-. 1) возможно два варианта граничных условий. 1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что др,!дя = 0 при $ = — 1, откуда следует, что (9.33) до/д~ — — 0 при $ = 1. 2. Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гид- рофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока 209 ее насыщенность не достигнет значения о~.
В момент достижения значения и* вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе. Модель Баклея — Леверетта Если капиллярными силами можно пренебречь, то давления в фазах одинаковы: р, = р, =- р. Тогда, полагая в (9.25) и (9.31) Аь =- А» =- О, получаем дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для определения насыщенности: — — +А„— 1йз(о)~(о)Г)=О, (9.34) д д5 " д: й а.
3АдАчА БАклея — левеРеттА и ее ОБОБщения В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения допускает простое математическое описание. Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея — Леверетта, описываемой однотипным уравнением для насыщенности о вытесняющей фазы 1, которое получается из (9.34) при гравитационном параметре А„= О и имеет вид да, ~,() дп дт ' дв (9.35г 210 где и = 0,1/2 — соответственно для случаев прямолинейно-параллельного и радиального вытеснения; коэффициенты А„равны соответственно величинам Аа и Ах в соотношениях (9.26) и (9.32).
Уравнение (9.34) принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка, которые обычно решаются методом характеристик и имеют свои существенные особенности, при решении по сравнению с параболическими уравнениями (9.25), (9.31) . Без учета силы тяжести (А„= О в (9.34)) двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М.
Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении. Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных снл, основанные на решении уравнений типа (9.34) при соответствующих начальном и граничных условиях, известны как задачи (модель) Баклея — Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномерной постановке изучены достаточно полно. .Здесь использовано преобразование д( (и) л( до, да =- — — =7'(о) —. дй ла я дч Безразмерные независимые переменные $ и т, определяемые из .равенств (9.24) и (9.30), можно представить в единой форме для обоих одномерных потоков и обобщить на случай, когда суммарный «удельный» расход д фаз зависит от времени.
Имеем — — ( — ); т= ~ ~( ) сИ', (9.36) о где Ь вЂ” характерный линейный размер; ч = 1,2 — соответственно для линейного и радиального течений, причем в последнем случае пространственная координата х = г (г — расстояние от точки пласта до скважины), а Ь = К„; д (() = и (() или д (() = — Я (()((2яй) соответственно для линейного и радиального вытеснения; ш (()— суммарная скорость фильтрации фаз; 9 (() — суммарный объемный расход; т и Й вЂ” соответственно коэффициент пористости и толщина пласта. Хотя переменные $ и т имеют смысл безразмерных объемов (см. 94), будем для простоты называть их соответственно пространственной и временной переменнымн. Напомним, что функция 7 (о), входящая в уравнение (9.35), определяется через относительные фазовые проницаемости К (о) из равенства (9.22). В рассматриваемом случае 7' (о), называемая функцией Баклея— Леверетта или функцией распределения потоков фаз, имеет простой физический смысл.
Действительно, из (9.21) и (9.28) при йр = О и р'„(о) = О находим для скорости фильтрации ш, вытесняющей фазы соответственно в случае прямолинейно-параллельного и радиального вытеснения щ,=7(о) ч(О Г (9.37) пч =- 7 (о) ш ((); а 'тогда в соответствии с (9.!9) имеем маях = Н вЂ” 1 (о)) ш. Отсюда следует, что ~ (о), представляющая в силу (9.37) отношение скорости фильтрации шт вытесняющей фазы к суммарной скорости ш, равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Функция Баклея — Леверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции 7 (о) в направлении увеличения полноты вытеснения.
Типичные графики функции 7'(а) и ее производной 7'(о) изображены на рис. 9.4. С ростом насыщенности,( (о) монотонно воз- 21! Рис. 9А. Типичные графики функции Баклеи— Леверетта и ее производной 0 О» О«а'Н» баа Рис. 9.5. Графики функции Баклея — Леверетта (а) и ее производной (О) для различных отноше- ний вязкостей р» -— - рг)рз 0,8 0,6 0,4 о,г ОЯ 04 Об 08 6 02 04 Об 08 О 0 растает от 0 до 1. Характерной особенностью графика ) (о) является наличие точки перегиба о„, участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная )'" (о) соответственно больше и меньше нуля.
Зта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея — Леверетта. Зависимость функций у (о) и Г' (о) от отношения вязкостей фаз (р» = — рз!рз) показана на рис. 9.5. Для описания и расчета процесса вытеснения к уравнению (9.35) нужно добавить начальное и граничное условия при т=-0 о($, 0)=-ср(й), $)0; при 5=0 о(0, т)=зр(т), т)0.
(9.38) Первое из условий (9.38) означает, что в момент времени т = О (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенности о вытесняющей фазы, определяемое функцией ф (й), Согласно второму условию (9.38), при т)0 в пласт через нагнетательную скважину или галерею, расположенную на «линии» $ = — О, закачивается вытесняющая жидкость, 212 насыщенность которой при $ = 0 меняется со временем по заданному закону ф (т). В ряде случаев можно считать, что ~рЯ) =о,= — сопи'ь при т=О; ф (х) = оа = сонат при $ = О. (9.39) Это случай кусочно-постоянных начальных данных, имеющий важное значение для практических приложений.
Величина начальной водонасыщенности о, влияет на процесс заводнения и определяет структуру зоны вытеснения. Построение решения Для иллюстрации построения решения уравнения (9.35) при произвольном начальном распределении насыщенности (9.38) введем систему координат ($, т, о) (рис. 9.6). На плоскости $, о) при т = О а нх н1 4а Рие. рХ Схема н построению решении задачи двухфазной филь. травин изобразим начальное распределение насыщенности в пласте о (й, О) = <р (в). Задача состоит в построении функции о ($, т) для последующих моментов времени т О, т.
е. требуется рассчитать деформацию во времени начального распределения насыщенности в соответствии с уравнением (9.35). 213. Пусть я = $ (т) — некоторая линия на плоскости переменных 45, т) (см. рис. 9.6). Тогда значения насыщенности а вдоль этой .линии можно получить по формуле а = о ($ (т), т). (9.40) Производная по «времени» т от насыщенности вдоль этой линии равна — = — +— да до да ~Ц (9.41) дт дт д$ Лт где д$Ят есть тангенс угла наклона рассматриваемой линии $ (т) к оси т.
Сравнивая выражение (9.41) с левой частью уравнения (9.35), видим, что вдоль линий с (т) плоскости ($, т), для которых выполняется равенство ЙИт =1' (о), производная Ио1дт равна нулю, т. е. ЬИт=О (9.42) (9.43) 3=1'(а) т+С (здесь С вЂ” константа интегрирования), т. е. линии $ (т) являются прямыми. Если прямые выходят из начальных точек ($„0), то й = $а прн т = О, т. е. С = $ю и окончательно можно записать $=Г() +$. (9.44) Тангенс угла наклона этих прямых к оси т равен ~' (о), т. е. зависит ог насыщенности в точке ($, т). Прямые линии (9.44), на которых насыщенность сохраняет постоянное значение, называются характеристиками уравнения (9.35), а система обыкновенных дифференциальных уравнений (9.42), (9.43) — характеристической системой для уравнения в частных производных (9.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
