К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 39
Текст из файла (страница 39)
.2!4 вдоль линий $ =- $ (т), определяемых из (9.42). Это означает, что насыщенность а остается постоянной вдоль этих линий. Итак, если кривая $ = $ (т) удовлетворяет уравнению (9.42), то значения насыщенности а на этой кривой не меняются. Если рассматриваемая кривая выходит нз начальной точки ($„ О), то значение о на этой кривой остается равным начальному значению о ($, 0) = ~р ($,) (см. рис. 9.6). Таким образом, кривые $ (т), удовлетворяющие уравнению (9.42), являются траекториями распространения постоянных значений насыщенности.
В рассматриваемом случае эти тра.ектории легко определяются. Действительно, поскольку о = сопз( вдоль каждой кривой $ (т), то остается постоянной вдоль этой кривой и величина 1'(о), Тогда в результате интегрирования уравнения (9.42) находим Теперь можно построить решение уравнения (9.35) при начальном условии (9.38). Пусть М ($, т) — произвольная точка плоскости Я, т) (см. рис.
9.6). Тогда имеем: ам = а (э, т) =- а («о 0) = ~р (во), где $, во и т связаны уравнением (9.44). Исключая отсюда «„находим а Я, т) —.. <р Д вЂ” 1' (а) т). (9.45) Формула (9.45) дает неявное выражение насыщенности а через переменные $ и т. Это выражение можно представить в другой форме, если считать, что в равенстве (9.44) «о = $о (а) есть начальное распределение насыщенности в неявной форме, т. е. первое равенство (9.38) разрешенное относительно $. Тогда решение (9.45) можно представить в виде ~=1 (а) т+~о(а) (9.4 6) Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея — Леверетта является зависимость скорости «$Ят распространения того или иного значения насыщенности от величины этой насьпценности.
Это явление называется дисперсией волн. Действительно, в формуле (9.42) правая часть 1".' (а) зависит от а. Эта зависимость изображена на рис. 9.4, из которого видно, что при 0 < а < а„ббльшие насыщенности распространяются с ббльшими скоростями (Г' (а) возрастает), а при а„< а < 1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться (г' (а) убывает). Из начального распределения а ($, 0) =- 'гр ($), изображенного на рис.
9.6, видно, что с течением времени т наклон профиля распределения насыщенности (9.45) становится круче, поскольку ббльшие значения насыщенности «догоняют» меньшие значения. Поэтому характеристики (9.44), несущие различные значения насыщенности, могут в некоторый момент т пересечься, и решение (9.45) становится неоднозначным. Поле характеристик (9.44) для этого случая и деформация профиля насыщенности с течением времени в плоскости ($, а) показаны соответственно на рис. 9.7, 9.8.
Произошло «опрокидывание» волны насыщенности и возник разрыв (скачок) непрерывности функции а ($, т). Начиная с момента т„, когда касательная к кривой а ($) становится вертикальной (см. рис. 9.8), возникает и распространяется скачок насыщенности ($, — положение скачка для последующего момента времени). С момента т график а ($) становится в некоторой своей части неоднозначным, что показано участком кривой 1 — 2 — 3 — 4 — Б иа рис. 9.8.
В зоне этого участка одному и тому же значению $ соответствуют три значения насыщенности а: а„а, и а„что физически абсурдно, так как в каждом сечении пласта в каждый момент времени может существовать только одна вполне определенная насыщенность. Такая неоднозначность и устраняется введением 215 а1 бк б» Рмс. 9.7. Поле характера ° 9 стик для уравнения Гзак- 4. 4а 4 лея — Леверетта Рис.
9.9. График распределения насыщенности при вытеснении жидкости: т, =. О < т, < т, < тк т. — момент образования скатка насыщенности скачка насыщенности (на рис. 9.8 величина скачка определяется отрезком ) — 3 — 5). Подчеркнем, что условием образования разрыва является пересечение характеристик (9.44). В области, где характеристики не пересекаются, решение непрерывно и определяется формулой (9.45). Рассмотрим отдельно случай кусочно-постоянных начальных данных, когда справедливо условие (9.39), т.
е. начальная насыщенность о ($, 0) =- ср ($) = ов постоянна во всем пласте при т = О. Тогда, разрешая это начальное распределение относительно $, находим сб(О) =-0 Прн ст По и $о (о) не определено при 0(п со . В этом случае уравнение (9.35) имеет особые решения вида ч =1' (о) т, п)а„ (9. 47) которые получаются из (9.46) при $в (о) = О.
Характеристики (9.44), соответствующие этому случаю, представляют' собой пучок прямых, сходящихся в одной точке (О, 0) плоскости Д, х)с По"аналогии с газовой динамикой решение (9.47) называют центрированной волной разрежения. Дальнейейеб пос~роеййе решения уравйения (9.35) требует дополнительного анализа так называемых разрывных (обобщенных) решений. Условия на скачках насыщенности Положение скачков (разрывов) насыщенности заранее неизвестно и должно быть найдено в зависимости от времени из решения задачи. Оказывается, что значения насыщенности а — и ос+ до и после разрыва соответственно не могут быть произвольными, а связаны 216 друг с другом и скоростью разрыва определенными соотношениями.
Несмотря на то что дифференциальное уравнение (9.35), выражающее баланс массы каждой фазы, в точках образовавшегося разрыва не имеет смысла, сам баланс, естественно, должен выполняться. Обозначим скорость движения разрыва через О, т. е. Р = с(й,фт, где $, (т) — закон движения скачка насьпценности. Рассмотрим условия сохранения массы каждой из фаз при прохождении поверхности разрыва через некоторый элемент объема пористой среды (рис. 9.9), вырезанный в направлении движения фаз, т. е. па нормали к поверхности разрыва.
Пусть в некоторый Рис. Э.Э. Схема к выводу условий иа скачке х ка х,+ЫХе момент времени г разрыв имел координату х„а через малый промежуток времени Ж переместился в положение х, + с(х,. Поток первой фазы через сечение оа, параллельное плоскости разрыва,, за время Ж равен (щ — ш~ ) вк(й Условие сохранения массы первой фазы в физической системе.
координат (х, () примет тогда вид т (х' (о+ — о ) ви(( =(пЧР— ш, ) ок((, ау откуда вхс в+~ — ка~ (9. 48'г И! е(а+ — а ) где ох,lс(( — скорость скачка в системе координат (х, (). Уравнение сохранения массы второй фазы также сводится к (9.48), поскольку суммарная скорость фильтрации ш сохраняется. ш~ +Ыа+ — -ш~ +п1а. Учитывая, что в соответствии с (9.37) =1(п) —,, еы и (() хч (здесь т = 1,2 соответственно для линейного и радиального вытеснения), запишем (9.4В) в виде с(хе ч (() 7 (а+) — / (о-) ехч ' о+ — о 2!Т Переходя теперь в этом равенстве к переменным по формулам (9.36), получаем условие на скачке 1(а+) — 1(а-) (9.49) ат а+ — а- Равенство (9.49) имеет простой геометрический смысл: скорость разрыва 0 равна тангенсу угла наклона к оси о хорды, соединяю. щей точки кривой 1(о), имеющие абсциссы о+ и о (см.
рис. 9.4, о- — — о,), в то время как скорость распространения насыщенности иа скачке определяется тангенсом угла наклона касательной Со, к этой же кривой. Определение положения скачка и насыщенности на скачке Выведем дифференциальное уравнение, описывающее изменение насыщенности на скачке в зависимости от «времени» т. Для насыщенности о, =- о+ на скачке (ее называют фронтовой насыщенностью), как и для любого значения о, выполняется соотношение (9.46): ~.=( (') т-)- ~а(а.), (9. 50) откуда следует, что о, = о', вообще говоря, изменяется с изменением времени т, т. е. о, =- о, (т).
Дифференцируя (9.50) по т, находим — =~ (ос)+т~ (ос) — ' +Ь(ос) — '=— кт ат лт =)' (о,)+()' (о,) т+ $а(о,)1 — '. йт (9.51) Приравнивая выражения (9.49) и (9.51) для скорости скачка насыщенности П, получаем дифференциальное уравнение для определения о: аа, ((а,) — ) (а-) — 1' (а,) (аа — а-) (9.52) ат (а — а ) ~1 (а,) т+$„(а,)З Здесь осталось еще неизвестным значение насыщенности о— перед разрывом. Оно определяется из условия пересечения характеристик (9.44) на разрыве: $ (о ) =- $ (о,) =- $„так что в соответствии с равенством (9.46) имеем: г' (о,) т+ 5а (о,) = (' (о-) т+ $а (о ). (9.53) Теперь уравнение (9.52) можно проинтегрировать и определить насыщенность на скачке.о, (т), если задать ее начальное значение. Начальные значения о, и т определяются в той точке $ (см.
рис. 9.8), где впервые вознйкает скачок (вертикальная касательная к кривой о ($)), т. е. производная Н$Ыо, вычисленная по формуле (9.44), впервые обращается в нуль. Определив о, = о, (т), нз равенства (9.50) находим закон движения скачка насыщенности $с — — $с (т). 2!8 Рассмотрим так называемый )стационарный )скачок, по обе стороны которого значения о« = а). и а- = а» постоянны. Тогда, «(о,!«(т = О, и из (9.52) находим 1 (ч,) — 1 (аа) (9.
54) ос оо Это условие, полученное впервые в работе Баклея и Леверетта, означает, что скорость распространения скачка В равна скорости распространения насыщенности о, на скачке, т. е. 7' (а,). Равенство (9.54) имеет простой геометрический смысл. Оно представляет собой уравнение касательной, проведенной из точки (а„) (о»)), к кривой 7' (а), где о, — абсцисса точки касания (см. рис. 9.4). Это дает простой графический способ определения фронтовой насыщенности по известной функции Баклея — Леверетта 7 (а), который в некоторых случаях может заменить решение трансцендентного уравнения (9.54). Рассмртрим теперь случай постоянной начальной насыщенности, соответствующий условию (9.39): о (ч, 0) = «р (ь) = о» при т = О. В этом случае решение задачи имеет вид (9.47).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
