К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Тогда, подставляя первое условие (9.65) в соотношение (9.64) и учитывая, что при этом аЫа7 = О, определяем константу интег- рирования Если проинтегрировать уравнение (9.67) по а, принимая начало отсчета так, чтобы а = а, при ь = ~„где ао(а,(а„то, используя формулы (9.49) и (9.54), находим о (' дв(о) )'(о) У'(о) до (9.
68) ,) (' (о,) (о — о,) — ) (о) + ((о ) о, Формула (9.68) описывает переходную зону бесконечной протяженности, что является следствием принятых допущений. Другими словами, размер стабилизированной зоны бесконечен, и точки смыкания полученного решения с распределением Баклея — Леверетта, нет. Фактически для определения ширины зоны по формуле (9.68) приходится брать расстояние между точками, насыщенности в которых близки к значениям а, и а,, но не равны.
При этом ширина переходной зоны оказывается пропорциональной величине 224 С= — Ра,+) (а,). (9.66) При этом второе условие (9.65) выполняется автоматически„ поскольку значение скорости Р скачка насыщенности определяется равенством (9А9). Подставляя теперь значение константы С из (9.66) в уравнение (9.64) и разрешая полученное соотношение относительно йьlг(а, находим д~ Аф (оЦ(о) У'(о) до В (о — о,) — () (о) — ) (о,)] 1 = /з,/./Ар или А„/./т =- а,соз 0~/й /(Изш з/т ), где параметр Аа определяется из второго равенства (9.26).
Типичная кривая распределения насьпценности в переходной (стабилизированной) зоне приведена на рис. 9.13. Существование решений уравнения (9.62) вида (9.68) показывает, что при постоянной скорости вытеснения распределение насыщенности в стабилизированной зоне является стационарным. Существование такой стабилизированной зоны было обнаружено экспериментально. В теории Баклея — Леверетта (при пренебреже- Рис. 9.18. Кривая распределения насыщениости в стабилизированной зоне л а нии капиллярными силами) стабилизированная зона моделируется скачком насыщенности. Отметим, что уравнение (9.62) имеет также, кроме решения (9.68), зависящего от ь = $ —.()т, точные автомодельные решения, зависящие от ь =- й/(Азт/т)пз.
Автомодельные решения существуют при специальном выборе суммарной скорости со (1) или суммарного расхода д (1) фаз, в частности при д = С/у1 для прямолинейно-параллельной фильтрации и при д = соп81 для радиального вытеснения. где насыщенности оз фаз удовлетворяют равенству 01 + 02 + оз = 1 ° 8 Заказ № 218 225 й 7. ФИЛЬТРАЦИЯ ТРЕХФАЗИОЙ СМЕСИ Фильтрация смеси трех флюидов исследована (экспериментально и теоретически) в меньшей степени, чем движение двухфазной жидкости.
Вместе с тем фильтрация трехфазной смеси имеет большое практическое значение, так как в нефтегазоносных пластах при определенных условиях совместно движутся нефть, вода и свободный газ. Так, в случае, если нефть находится в пласте в смеси со свободной водой при снижении давления ниже давления насыщения начинается выделение газа из раствора и в пласте образуется подвижная трехфазная смесь нефть — вода — газ. Давление насыщения является физической константой нефти того или иного района.
В основу описания фильтрации трехфазной системы положен обобщенный закон Дарси (9А), котдрый (без учета силы тяжести и капиллярных сил) для одномерного потока принимает вид и>2= — /г;(ам ам оз) — 1=1, 2 3 (969) й др щ дк Относительные фазовые проницаемости йг (о„ов, ов) определяются из треугольных диаграмм (см. гл. 1). Проницаемость для воды практически не зависит от соотношения насыщенностей двух других фаз. К уравнениям движения (9.69) добавляются уравнения неразрывности для каждой фазы, а также уравнения состояния и соотношения, определяющие механизм фазовых переходов в процессе совместной фильтрации, а также изменение физических свойств флюидов.
Учет всех этих факторов представляет собой весьма сложную задачу. Большим шагом в упрощенном математическом моделировании совместной фильтрации нефти, газа н воды явилась предложенная П. Маскетом и М, Миресом (1936 г.) модель течения, позволившая достаточно удовлетворительно решать некоторые инженерные задачи разработки месторождений природных флюидов. В основу этой модели положено предположение, что углеводородная система состоит из двух фаз: жидкой нефтяной (тяжелые фракции нефти) и газовой.
При этом фаза «нефть», как было принято М. Маскетом, является нелетучей жидкостью и не может растворяться в газовой фазе; газ же может находиться как в свободном состоянии, так и быть растворенным в нефти. Растворимостью углеводородных компонентов в пластовой воде пренебрегают. Движение предполагается изотермическим, капнллярным скачком давления пренебрегают. Будем считать, что растворение газа в нефти подчиняется линейному закону Генри: У>т = зУво (9.70) Здесь (и далее в этом параграфе) индексом «о» отмечены параметры при нормальных атмосферных условиях; У,„„ӄ— соответственно объем растворенного газа и объем нефти при нормальных условиях, индексы «н» («в») и «г» относятся соответственно, к нефти (воде) и газу„з — коэффициент объемной растворимости газа, являющийся экспериментальной функцией давления р.
При описании фильтрации газированной жидкости М. Маскет использовал понятие объемного коэффициента жидкости Р, определяемого для нефтяной и водной фазы соответственно из соотношений ~, = У,)У„; р, = У,>У~, (9.71) где У, и У, — соответственно объемы нефти с растворенным в ней газом н воды в пластовых условиях '. Из (9.71) вытекает следующее соотношение между плотностями нефти (и воды) при нормальных рв,> (р,о) и пластовых р, (р,) условиях (9.72) Рво = Рврв Рво = Рврв> » Можно показать, что ()в и р „а также коэффициент растворимости з выражаются через параметры (плотность, насыщенность и концентрацию), общепринятые при опнсании многокомпонентных смесей (см.
$ 2). 226 С учетом принятых допущений о составах газа и жидкой углеводородной фазы и кинетике растворения газа дифференциальные уравнения совместной фильтрации газированной жидкости, соответствующие модели Маскета — Миреса, можно получить из общих уравнений многофазной фильтрации (см. э" 3). Для простоты ограничимся случаем прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х. Обобщения на случай трехмерного фильтрацнонного потока можно сделать аналогично 9 3. Будем считать, что фильтрация фаз (нефтн, газа и воды) подчиняется обобщенному закону Дарси (9.69). Уравнение неразрывности (9.9) для каждой из фаз в рассматриваемом случае принимает вид — (гпР«ог) + — (Рггьг) = О, д д дг дх (9.73) где индекс 1 = 1 соответствует нефти («и»); 1 = 2 — газу («г»), 1 = 3 — воде («в»).
Заменяя плотности нефти р, и воды р, в пластовых условиях их выражениями из (9.72) и используя закон Дарси (9.69), из (9.73) находим для этих фаз соответственно (гп и й — постоянны) ж д Он д х„др Ь д«( Рн) дх ( р«Р« дх )' ( ') — ( ' Р ), (9.74) где относительные фазовые проницаемости являются эмпириче- СНИМИ ФУНКЦИЯМИ НаСЫЩЕННОСтсй: йн = Ав (Ов Он), Ав = йв (Ов1Он) а объемные коэффициенты и коэффициенты. вязкости зависят известным образом от давления: р'„(р), 1)н (р) и рн (р), Рв (Р). При составлении уравнения неразрывности для газа необходимо учесть, что газ движется как в свободном„так и в растворенном (жидком) состоянии.
При этом газ в жидком виде переносится со скоростью фильтрации «нефти» гэ„ а плотность растворенного газа ргр, как следует из (9.70) н (9.71), равна Мгр Рго«гро Рг вр Р Ргр = —— р„р~р„~ рвр~~ ~3~ Тогда суммарная массовая скорость газа (рги,), определится из соотношения (Р.«эг)о = Р,«Э, + Ргр«В, = Р,ПГ, + — ' ГЭ,. .Рго~ (9.75) рн Подсчитаем теперь суммарную массу газа в единице порового объема. Массовое содержание нефти в единице объема с учетом (9.72) Мв =ГПРнов =ГП вЂ” Он~ Рно рн 8» откуда находим удельный объем нефти при нормальных условиях гг "(н тон и но =— рно ()н а затем с помощью (9.70) — объем растворенного газа 1'гго — — этан4н Тогда масса газа, растворенного в нефти, Мг, и масса свободного газа М„в единице объема равны соответственно тшнрг Мгр = ргоргро = Мг, = тр„а,.
()н Суммируя эти величины, находим полную массу газообразной фазы в единице парового объема ) М + М „ , 1 нгннирго р. (9.76) й 8. ДВИЖЕНИЕ ГАЗИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Большинство практических методов расчета движения газированной нефти базируется на результатах исследования установившегося течения. Проблема установившейся фильтрации газированной нефти была рассмотрена С. А. Христнановичем. Им была показана возможность сведения нелинейных задач установившейся 228 Подставляя выражения (9.75) и (9.76) в (9.73) (1 = — 2) и учитывая (9.69), получаем дифференциальное уравнение для газовой фазы в д ( н(Р)Ргоон '1 д (( )гггг, анн(Р)рго ~ г)Р )г д( ~ ргг (р) / дн ).( )гг (р) Рн (р) ргг (р) / дн (9.77) Дифференциальные уравнения (9.74), (9.77) представляют собой замкнутую систему уравнений для определении насыщенностей ан, а, (аг =-- 1 — ана,) и давления р и известны как уравнения Маскета — Миреса.
Йесмотря на принятые упрощающие допущения, это — сложная система уравнений, нелинейная как по давлению, так и по насыщенностям и требующая для своего решения использования ЭВМ. Различные преобразования и представления этой системы уравнений, удобные для проведения численных расчетов, приведены в 11, 11). Использовались различные приближенные методы решения уравнений (9.74), (9.77), дающие связь между давлением и насыщенностью на контуре залежи, а также метод последовательных приближений, МПССС, метод усреднения и др. С приближенными подходами к исследованию нестационарной фильтрации трехфазной смеси можно познакомиться по работам (15, 18, 19) д Он(он, О,) др (9.78) дх ( Р„(р)Р„(р) дх 1 д Ьв(и„, Ов) др (9.79) дх [ Р„(р) Р~ (р) дх Рг(Р)+ (Г (гг (Он Ов) г в ) )гн (Он ггв) и (Р) Рго 1 ')Р ) () (9 89) дх [(.
Рг(р) Рн(р) Рн(р) ~ дх Введем понятия газового и водонефтяного факторов. Т1од газовым фактором Г„понимается отношение объемного расхода газа ф„приведенного к атмосферному давлению, к объемному расходу нефти (~„, в нормальных условиях; под водонефтяным фактором Г, — отношение объемного расхода воды (',)„к объемному расходу нефти О(„, в нормальных условиях. Итак, по определению имеем Г„=-о„,(О„; Г, = Я„(Я„,.
(9.81) С помощью (9.78) н (9.75) находим (иго =- (Рг'нг)в и Рг = ~ — Шг+ — Ш,) ОО; Рго Рга ()н Рв о ()в Роми Я но = Рио гни 0) = — 0)г р. где ы — площадь сечения пласта. Тогда выражения (9.81) принимают вид Рг (р) и'4» (р), ° ° 1. ~4» (р) г= > Р гонии игор» (Р) откуда, используя выражения (9.69) для скоростей фильтрации фаз, окончательно находим Рг(Р) в(гг (Рн, Ов) Ри(Р) г— Ргор»1 (Р) (9.82) Г в»»в(ан, Ов) ()и (Р) Рв (и) ()в(Р) (9.83) фильтрации газожидкостных систем к хорошо изученным задачам движения однородной несжимаемой жидкости в пористой среде.
Другими словами, задача привелась к уравнению Лапласа (см. гл. 4), но не для давления (или потенциала), а для некоторой вспомогательной функции Н, которая в дальнейшем получила название функции Христиановича. Рассмотрим прямолинейно-параллельное стационарное течение трехфазной системы с учетом реальных свойств пластовых флюидов. В этом случае система уравнений (9.74), (9.77) принимает вид где введены обозначения «г(он, ов) Нг (Р) врв(ои, о,)= рвв =— «н(ан, ов) Ри (Р) (9.84) Ф,(он, о,)= «в (<гн ов) «н (он ов) 9в (Р) Рн (Р) (9.85) Дифференцируя последнее равенство как произведение и учитывая уравнение неразрывности (9.78) для нефти, находим (р, = сопз() «нРго дя дГг — — — =О, Рн()и дк дК откуда, поскольку др/дх ~ О, получаем дГг/дх = О, и, следовательно, газовый фактор постоянен вдоль линии тока Г, = сопз(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
