К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 37
Текст из файла (страница 37)
вызванный течением через эти две грани, равен М+ — М„. Аналогично подсчитывается прирост массы и для других пар граней (соответственно в направлении осей Оу и Ог). Тогда общее изменение массы в рассматриваемом объеме Л]г за время Л( равно: М+ М = ](0ы(х Д~ 2~ г) Огг(х+ Лх Д~ 2, ~)] ЛДЛг-)- +(дм(х, у, г, () — д,у(х, у+ Лу„г, ()] ЛгЛх+ +Ь,(х, р, г, () — дм(х, у, а+Лг, () ЛхЛу] Л(.
(9.7) С другой стороны, это изменение массы должно быть сбалансировано за счет изменения насыщенности и плотности массы фазы, находящейся внутри элементарного порового объема ЛМ =(тор„]„,„, г~м — тор1 ]г,„, г) ЛхЛуЛг, (9 8» где т — пористость среды, которая, вообще говоря, может меняться со временем, Приравняв выражения (9.7) и (9.8), разделив обе части полученного равенства на ЛхЛуЛгЛ( и перейдя к пределу при Лх, Лу, Лг и Л(, стремящихся к нулю, получаем дд,„дтг дд,г д (юрга) + + дх ди дг д( откуда, заменяя д на р, га„ онончательно находим д (тр,о) д(рги,г) д(р1щр), д(р,ы1г) + дг д( дх ду или в векторной форме д — (тр,о) + г)'(ч (р,га,) = О. д( (9.9) Аналогично выводится уравнение сохранения массы для второй фазы: д — [трг(1 — о)] + Йч (рггяг) = О.
(9.10) д( Если вытесняемая и вытесняющая фазы — слабосжимаемыеупругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следуе., что не- стационарные процессы упругого перераспределения давления 203 заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях.
Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то вместо уравнений (9.9) и (9.10) имеем и — + 2(!ч п2, =-- О, — т — + «)(ч ц«2 = О. (9.! 1) д2 д« Уравнения движения для многофазной фильтрации При записи закона фильтрации будем предполагать, что в любой точке каждая из фаз находится в термодинамически равновесном состоянии. Тогда для течения двухфазной смеси можно ввести в рассмотрение относительные проницаемости й« (о) и капиллярное давление р„(п), зависящее только от насыщенности. Будем рассматривать только однонаправленные процессы фильтрации, не учитывая гистерезисных явлений. Тогда выполняется закон фильтрации (9.4): ь ш« =-- — — й, (а) (дга2( р, — р;д), (9.12) р~ а связь между давлениями в фазах определяется равенствами (9.5) и (9.6): (9.13) р2 рт = ри (с) = ц« сов О '2 '~ (о) ч ь Для замыкания полученной системы уравнений необходимо задать связи параметров, характеризующих свойства фаз и пористой среды, с давлением.
Уравнения состояния флюидов При изотермических условиях фильтрации плотность и вязкость каждой из фаз определяются давлением в данной фазе: р;=р;(р;), р,=р,(р;), (1=1, 2). (9.14) Пласт будем считать недеформируемым. Таким образом, получена замкнутая система уравнений (9.9), (9.10), (9.12), (9.13) и (9.14) для определения всех неизвестных параметров: насыщенности а, давления р;, скорости фильтрации ш;, плотности р2 и вязкости р; фаз.
Постановка и решение задач на основе полной системы уравнений фильтрации неоднородных жидкостей затруднительны ввиду сложности самих уравнений, а также формулировки краевых условий, в частности разрыва капиллярных сил на границах пори,стой среды (так называемых «концевых эффектов>), роль которых недостаточно изучена. Анализ одномерных двухфазных потоков позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации жидкостей. 204 4 4. ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ВЫТЕСНЕНИЯ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде.
Основные допущения этой теории состоят в следующем: жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми); жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда — недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны; относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности; гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).
Полная система уравнений Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему урав- нений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с уче- том капиллярных и гравитационных сил. Рис. 9.3. Схема одномерной двухфааной фильтрации с учетом силы та жести В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси. х (рис. 9.3) уравнения неразрывности (9.11) для фаз имеют вид да йе, — т — = дт дх да два нт — = дт дх (9.15) Обобщенный закон Дарсн (9.12) сводится к уравнениям тат -= — л, (о) ~ — + ртй'з(па); й / дра р, (,дх ане= "е(о)~ + ртяз1псс) г др.
ра ~, дх (9.16) Здесь а — угол наклона оси х к горизонту (см. рис. 9.3); р, и р,— плотносги фаз. Неизвестные характеристики течения а, тем тна, р, уе зависят от координаты х и времени (. 20Ь При плоскорадиальном (осесимметричном) вытеснении из (9.11) и (9.12) имеем соответственно до ! д — !и — = — — (по,); д( г дг ш — = — — (пю,), (9.17) до ! д д! г дг ш, =- — — й, ( т) 1~ + р,р з) п а~; й г др~ Ш ), дг ш~ — -- — — йэ(о) ! — + р (кайпа), й Гдр, дг (9.18) где г — текущее расстояние от скважины до произвольной точки пласта. В этом случае искомые функции зависят от г и (.
Уравнения (9.15), (9.16) или (9.17), (9.18) с учетом (9.13) образуют замкнутые системы (соответственно для случаев линейного и радиального течений), являющиеся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью этих систем является то, что их можно свести к одному уравнению для насыщенности.
Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ней жидкостью. Остановимся на двух наиболее изученных моделях двухфазной фильтрации. Модель Рапопорта — Лиса Приведем вывод уравнения для насыщенности из полной системы уравнений. Рассмотрим сначала случай прямолинейно-параллельного течения.
Сложив уравнения неразрывности (9.15) для обеих фаз, полу- чим — (!от+ ач) — — О, д дх откуда находим (9.19) ы~т+ ач = и (1). ш(!) =- — й~ г й,(о) др, й.,(о) др, 1 ! Ш д )и д — й[ р,+ рада(па. Гй,(о) й2(о) ш и1 206 Равенство (9.19) показывает, что суммарная скорость ш (1) двухфазного потока (а значит и суммарный расход фаз Я (1) = ш (() ай, где а и й — ширина и толщина пласта) не зависит от координаты х, т. е. является либо постоянной, либо известной функцией времени. Это является следствием предположения о несжимаемости фаз. Подставив в (9.!9) значения скоростей фаз (и, и ш,) из (9.16), на ходим Исключаем отсюда градиент давления др,/дх с помощью равенства (9.13), продифференцированного по х: дра др, др„(а) др,, да дх дх дх дх дх (р„= — йр„/бо).
После преобразований имеем х ° да гй х м 09+ — хх(а) р» — -р~ /1 Ра) Р~+ /р(а) Рх)КМ"<" др1 Р2 дх ' ~Р1 Р2 дх х х — х, (о) + — й~ (о) Рв (9.20) Подставляя это равенство в первое уравнение (9.16), будем иметь щ,= ~ю(/) + — йй(о) (хр„'(а) — + Лрд ыпа)1/(а), Ра ~ дх (9,21) где Лр = р, — р, и введено обозначение / (а) = ро = рт/р2 (9.22) х1 (о) + ) ю/И (а) Функция / (о), как мы убедимся в дальнейшем, играет важную роль при гидродинамических расчетах двухфазных фильтрационных потоков.
Используя выражение (9.21) и уравнение неразрывности (9.!5) для первой фазы, окончательно получаем уравнение для определения насыщенности: т — + в(/) + — — ~йз(а)~ р„— + да ~д/(а) А д Г х да д( дх Р~ дх ~ ~, дх + Лрй'ып а)/(а) ~ = О. (9.23) Считая суммарную скорость фильтрации и (/) постоянной (ш (/) = ы =- сопз(), введем для удобства безразмерные независимые переменные в = х/Е, т = ыМ/(и/.), (9.24) 207 где /. — характерный линейный размер (расстояние до эксплуатационной галереи, так что пг/.— «поровый объем» пласта).
Величину $ можно рассматривать как объем пласта между начальным сечением и сечением х, выраженный в долях парового объема, а величину т — как безразмерный объем жидкости, закачанной в пласт к моменту времени Г. Тогда с учетом выражения (9.13) для капиллярного давления, уравнение (9.23) с учетом (9.24) принимает вид — + — + Ах — [й,(о)~(о)]+ до д) (о) д дт дй дй + Ай — 1 йэ (о) (' (о) У' (о) — 1 — — О, дй д$ (9.25) где Ах и А„— безразмерные параметры, определяемые из равенств йардвпа А а сочв'Ъ(тй (9 28) Я й =. рагс рцю( Аналогично получается уравнение для насыщенности о при радиальном вытеснении.
Исходя из уравнений (9.17) и (9.18), получаем последовательно Ы~=Ж,+Ю,= д О) г (9.27) где д (Г) = — (~ (()/(2пгг) — «удельный» суммарный расход фаз.„ сот= ~ + — Йй(о)(р„— + Лрдз|пал('(о) (9 28) г рэ ~ дг н окончательное уравнение для насыщенности т + + до ды) д((о) ! д Х д( г дг г дг Х ~г — й,(о) ( (о) (р — + Лрд ай па)1 =-.О.
(9 29) Ра дг +Ай — ~йэ(о)((о)У'(о)з 1= — О, д$ д, (9.31) где .ЪГ2 йЛря з! п а)(„ Ах= «сгч Ьхп соэ 0 ' г' шй (9.32) 208 Заметим, что согласно (9.27) суммарная скорость фаз го в этом случае не сохраняется, но сохраняется суммарный объемный расход Я (1). Вводя безразмерные переменные при о (1) == д =- сопз1 $ = г l(2й'„), т =- г((Цтйь) (9.30) (здесь )с„ — расстояние от нагнетательной до добывающей скважины), имеющие физический смысл, аналогичный (9.24).
приведем уравнение (9.29) к следующему виду до д((о) +А д р дт д$ дч Безразмерные параметры (9.25) и (9.32) характеризуют соответственно отношение силы тяжести (параметры Аа и А,) и капиллярных сил (А» и Аь) к силам вязкости. Значимость гравитационных и капиллярных эффектов нетрудно оценить при рассмотрении конкретных фильтрационных процессов. Если рассматривается вытеснение в пределах всего пласта и темпы вытеснения достаточно велики, то значения параметра А„ (или Аь) будут малы, т. е. Аь (~ 1 и капиллярными силами можно пренебречь. Силой тяжести можно пренебречь; если А (( 1, что имеет место при условии Лр з|п а (( рД12пййй„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
