К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей (см. Э 6, гл. 2). Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (л = 5): г, г Р» Аl(2Рша) (ааат =РатФ(пЮ Если обозначить длину 7., время Т„давление Р, то размерности этих параметров выразятся следующим образом: (г) = 7.; (г! =Т; (Рк) = Р1 1Й!(2)алаа) ) = 2 (РТ)~ КатРатр7(пйЮ) = Р . Среди этих параметров три с независимыми размерностями: г, р, (й = 3).
Как следует из п-теоремы, искомая функция — давление, приведенное к безразмерному виду Р = РIРа, будет зависеть от двух безразмерных комплексов (и — й = 5 — 3 = 2). Легко проверить, что такими безразмерными комплексами являются и Л = оатгатн, (?.21) па"Ра — РаС т. е. Р=Р1Ра=Р(~, Л). (7.22) Дифференцируя функцию Р по г и по г как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (7.20), получим, что функция Р удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению дара а дра а др — + — — + — ' — =О. (7.
23) ~фа й д5 2 ~ц Условия (7.10), (7.11), (7.13) сводятся к следующим: $ — =Л при $=0; Р($, Л)=1 при $= оо. (7.24) др д$ Уравнение (7.23) при условиях (7.24) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены в табл. 7.1 для значений Л = 0,01 и Л = 0,004 994. Через $а в табл. 7.1 обозначено такое значение аргумента $, что для $($а значения $а(РаЩ отличаются от Л меньше, чем на 0„01 % . Значит, для $(Р можно считать, что $ИРа/Д$ = Л. Если проинтегрировать это равенство, то получим Ра=Р'($а, Л)+Л!п(чала), или РД, Л) = ~/Ра($*, Л) — Л1п($а4) для $ С$а.
(7.25) 176 Т а 5 л н и а 7.1. Результаты чнеленного рве чета автоыодельного решения ь о,о! г($ м г($ х) 0,9701 0,9737 0,9763 0,9793 0,9825 0,9845 0,9870 0,9899 0,9930 0,9948 $' = 0,003886 0,01555 0,03! 09 0,06218 0,2487 0,4974 0,9949 1,492 2,487 3,482 $* = 0,005787 0,01157 0,01923 0,03472 0,06558 0,09645 0,1582 0,28!6 0,5285 0,7754 1,269 1,763 2,751 3,738 0,9842 0,9877 0,9894 0,9912 0,9947 0,9964 0,9980 0,9988 0,9996 0,9999 0,9970 0,9982 0,9994 О,9999 Поэтому значения г (6, А) для $~$е в табл.
7.1 не приведены. Сравнивая значения давления г(6, Х) =руре, приведенные в табл. 7.1, со значениями, подсчитанными по формуле (7.16) или (7.18), можно найти погрешность, которую дает линеаризация уравнения Лейбензона, и убедиться в том, что она составляет доли процента. й 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВА)КИПЕ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СМЕНЫ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯ Н И Й Как указывалось в предыдущей главе, этот метод основан на следующих предпосылках: 1) в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине; 2) движение внутри возмущенной области стационарно; 3) размер возмущенной области определяется из уравнения материального баланса.
Решим этим методом ту же задачу, которая была рассмотрена в 9 2 данной главы, т. е. задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом 1~„, но в отличие от 9 2 будем считать радиус скважины конечным и равным г,. В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом )т (1), внутри которой давление распределено по стационарному закону (6.38): 2 2 р(г, 1)= рт " ' 1п —, г,(г~Я((). (7.26) гс Вне возму!ценной области давление равно начальному (невозмущенное состояние): ~~Я(1) (7.27) 177 В возмущенной области можно написать также выражение для дебита по формуле (5.93) для стационарной фильтрации: пай(Р Р ) 1п (7.28) Заметим, что в рассматриваемой задаче забойное давление Р, является функцией времени. Для удобства последующего изложения найдем из (7.28) отно- шение к г — О„Р„1а Р (б пйй 1п— тс и подставим в формулу для давления в возмущенной области (7.25).
Тогда получим пйй l (7.29) Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление Р: М =л()(~(1) — гД57п~р=п~Р~(1) — гДЬпс Р" Р, (7.31) Рат где Р определяется по формуле установившейся фильтрации (5.50): Рк Рс 2 2 Р= Рк— (7. 32) 4рк 1п тс Так как отбор газа происходит с постоянным дебитом 1~„, отобранная масса газа к моменту 1 равна р,Да,1.
Таким образом, Мс Мс = рат(а1ат(а или с использованием (7.30) — (7.31) находим ц ~17 (1) гс( й1пс (Рк Р) раскат(. Рат (7.33) 178 т. е. распределение давления, выраженное через заданный дебит н параметры пласта. Для нахождения К (1) составим уравнение материального баланса. Начальный запас газа (прн р = р,) в' зоне пласта радиусом й (1) Ма= ГК(1) — гт;)й .Р«=цЕК(1) — ЙЬ а — '" Р.. (7.30) Рат Подставив в (?.33) выражения (7.32) для средневзвешенного давления Р и (7,28) для Я„, получим 1»Я~ Я вЂ” г,"1 7рпс Р ат4Р» 1П пьь (р' — р') й (1) 1арат 1а— = Рат тс откуда Я'(1) — г,'= — Р» 1=4сс1, 1аска нлн )с (1) = '~/4хс + г, .
Лля значений времени, для которых 4иг >) ср, имеем й (1) = 2 ~х1. (7.34) (7.35) Теперь, зная закон движения границы возмущенной области в виде (7.34) или (7.35), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (7.29), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени: С Оатрвт1» 1 с 4к1+ кс така г г, < г < ~4Й+ г~, р=рк г- '~/4сс(+г,', Рс Рк ьь (а) кт з Остр»си 1 к : '' . (7,37) Рс= Цл— 2 сс'атрат1с ик )п— и»» тс 179 Формулы (7.36) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного открытого и закрытого пластов радиусом тс„. В последнем случае они годятся только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т.
е. для сг (1) = 2 ь/х~ < й,. Изменение давления во второй фазе зависит от типа газового пласта. Если он закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая границу. Этот случай будет рассмотрен в последующих параграфах. Если пласт открытый (р = р, при г = )та„), т. е.
режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией Р» — р„где 5 5. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ Рассмотрим еще один приближенный метод применительно к задачам неустановившейся фильтрации газа — метод усреднения временной производной по пространству. В качестве примера рассмотрим прямолинейно-параллельную фильтрацию реального газа. Соответствующее этому случаю дифференциальное уравнение имеет вид )т д (' р др 1 д ( р (7.38) Ртха дх ). г(р) дх ) дг ). г(Р) 1 Сделаем допущение, что коэффициент сверхсжимаемости г (р) можно заменить на г = г (р,р)„где р„— некоторое среднее давление в области фильтрации.
Введем обозначение р, = р((г (р) ). Тогда уравнение (7.38) примет вид д Р~ 2"тг)а др1 г — = дха /т дг (7.39) Пусть имеется первоначально невозмущеиный газонасьпценный пласт шириной В, толщиной /г, длиной В. С трех сторон пласт ограничен непроницаемыми поверхностями, а с четвертой стороны (х = О) вскрыт галереей. В момент г = 0 через галерею начинает отбираться газ с постоянным массовым дебитом, который в соответствии с законом Дарси можно записать в виде Ратр Ь дР - Рвт)т др1 2 а~ = р! От! В/1 = — ' — — ВЬ = В(тг Рв,г )а дх 2Рати дх Требуется определить давление в пласте в любой момент времени /)О.
Для этого нужно найти решение уравнения (7.38) в области изменения 0 ( х ~ /., г ) О, удовлетворяющее начальному и граничным условиям р,=р„при 1=0; (7.40) др~1/дх = рЯI/г при х = О, где а/= 2~ р„((В/ггр„); (7.4!) др~1/дх= 0 при х= А. (7.42) Как и в методе последовательной смены стационарных состояний, принимаем, что в каждый момент времени существует конечная возмущенная область 1(1), на границе которой выполняются условия рг1=-ргм, др(/дх=О при х=-/(1). (7.43) Центральным моментом в рассматриваемом методе усреднения является принятие условия др,/д/ =- Г (/), (7.44) равносильного предположению, что во всей части пласта, охвачен- 180 ной возмущением, давление изменяется с одинаковой скоростью; тогда уравнение (7.39) принимает вид дорос 2то)с о р(() дхо г Проинтегрировав зто уравнение дважды по х, получим рс= — х +Ьх+с.
(7. 46) Сс г (7.45) Рс =Рсо (7. 49) 2осо 1 (С) где с 1 р,= — ) р,(х, 1)с(х. с о Примем гипотезу, что средневзвешенное давление можно определить из соотношения / с(с) Рс = ~/ ) Рсс(х 1(0 о 0 с (с) = — '(("-"(--)1-= "--"' о (7.50) 181 Использовав граничные условия на галерее (7.41) и на границе возмущенной области (7.43), найдем константы интегрирования Ь и с, а также функцию г(1) Ь= — ' с=рсо — ' Г(1)= ' (7.47) (ссс 2 сс)сс (с) с?г ь 2х 2осос (С) В результате имеем Рс =Рсо — [1 — — 1, 0 ~ х ( 1(1). (7.48) г г с)(сс(с) г х зо 2ь 1.
1(с) 1 В момент 1„когда возмущенная зона достигнет непроницаемой границы пласта х = 1., закончится первая фаза. Для определения ее продолжительности проделаем следующие преобразования: дважды проинтегрируем исходное уравнение (7,39) по координате и по времени ССИ) си) с — с(хс(1 = — — ' с(Ых, о о о о в результате, используя граничные условии (7.41) и (7.43), полу- чим Приравнивая выражения для Р (7.49) и (7.50), получим гО) / а Оп)11) Рм— 2е,1 (1) Ч 6А Рю откуда следует, что 2т,1(б / / а Оа)И) Р Рш (7.51) Продолжительность первой фазы г, получим, полагая 1 (1) = 7.: Рш — Рш— (7.
52) В течение второй фазы давление на границе х = 1, падает и выполняется условие (7А2). Соотношения для второй фазы истощения газового пласта строятся аналогичным образом. Проделав необходимые выкладки, получим закон распределения давления по пласту / х Р~ Ры= — х 1 —— а ~, 2с и закон изменения давления на галерее Р (Р 2 с' / М (7.54) $ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ К ЗАДАЧАМ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА Для решения линеаризованного уравнения неустановившейся фильтрации газа (7.7) используется метод суперпозиции (метод наложения потоков). Это уравнение линейное и однородное относительно р', поэтому если р, (х, у, г, 1), Р, (х, у, г, г),..., Р„(х, л, г, 1) определяют распределения давления, вызванные работой первой, второй,..., и-й скважины, и являются решениями уравнения (7.7), то линейная комбинация их квадратов Р' = с,р( + 2 2 + с,р~ +...
+ с„р„тоже будет решением уравнения (7.7). С помощью метода суперпозиции можно решать различные задачи, которые используются при проектировании разработки газовых месторождений. Используя этот метод, выведем формулу для восстановления забойного давления после остановки газовой скважины н покажем, как по кривой восстановления давления определяются коллекторские свойства пласта. Газовая скважина в бесконечном пласте эксплуатировалась в течение длительного промежутка времени Т с постоянным дебитом 1г„и в момент Т внезапно остановлена, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
