К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому все соотношения настоящего параграфа значительно сложнее, чем 2 7, и вопрос о притоке к укрупненной скважине рассматривается отдельно. Радиус возмущенной области определяется из уравнения материального баланса (6.65), которое приводится к виду „(0,(ба Ро Г Рз(() Р(0 Р 0 (С) х(Р(0 — РД ~ 12Р~ 4 3 Если Я, = сопз1, то ) Я,(!)Ж=((,! о и уравнение (6.!27) примет вид Н( 1 Г Р'(1) Р(0 и, Р(0 Р(1)Ч вЂ” =!о= Г=+ ' 1п 1. Р(1) Р ~ 12Р~~ 4 3 2 Ро .1 6.128) Уравнения (6.127) и (6.128) представляют собой трансцендентные уравнения относительно Д (!). Решая их графически или с помощью ЭВМ для разных моментов времени и подставляя полученные значения Я (!) в формулу (6.126), найдем распределение давления по пласту в любой момент времени.
В частности, прн г = И, из формулы (6.126) получаем давление на забое укрупненной скважины р®., !)=р.(!)=р.— 0'"' Ь(() 1п Р(') — Р(!)+)~,]. 2яаа (Р (О Р~! 1. 6.129) При проведении расчетов по приближенным соотношениям (6.126), (6.129), (6.127) или (6.128) нужно прежде всего по заданной зависимости дебита воды от времени (~, (!) найти отбор ) Я, (!) Й к рассматриваемому моменту времени; затем вычисо 169 лить отношение ) Я,ЩН(74,((); из формулы (6.127) или (6.128) о найти Й (1) для этого же момента; подставить найденное значение 11 (1) в формулы (6,126) и (6,127) и тем самым найти распределение давления р (г, 1) и давление на забое р, (1).
Читателю предоставляется возможность оценить погрешность, которую дает формула (6.129), сравнив ее значения (после приведения ее к безразмерному виду) со значениями, приведенными в прил. 1. Отметим еще, что для больших значений времени, когда )С (1) Ъ 7(о в уравнении (6.127) или (6.128) справа можно оставить только первый член и в знаменателе пренебречь значением тт, по сравнению с 71 (1). В этом случаеполучим ( ~, (1) й/Я, (1) = Яо (К)/12хй (6.130) о Обозначив о — ) Я (1) б(/Я,(О=1о', р~ о где 1о' — известная безразмерная функция времени, найдем я (1) =1/12(о' я .
(6.132) Если же Я, = сопз(, то 11 (1) = ~/12х( . (6.133) С использованием формул (6.132) и (6,133) расчеты давления существенно упрощаются. (6. 131) Глава 7 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ й П ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЙБЕНЗОНА Теория движения газа в пористой среде была разработана Л. С.Лейбензоном. Он получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа. Б. Б. Лапук в работах, посвященных основам разработки месторождений природных газов, показал, в частности, что неустановившуюся фильтрацию можно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении 170 давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды.
Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа подставим в уравнение неразрывности (3.3) выражения для компонент скорости фильтрации (3.8) и плотности идеального газа (3.19): Р = Рвхр/Рах. (?.1) Считая коэффициенты пористости т„проницаемости й и вязкости (г газа постоянными, получим (7.2) Выражения в скобках в левой части уравнения (7.2) можно представить следующим образом: др 1 др' др 1 дрг др 1 дрг РР— = — — ' Р— = —— дх 2 дх ' ду 2 ду ' дг 2 дг тогда уравнение примет вид (7.3) 21хгха ~ дх' ду' дгг / дг Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа относительно р', поэтому уравнение (7,3) можно кратко записать в виде др Чрэ= —. 2рмо дг (7.4) Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа (7.3) называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа.
Подчеркнем, что оно справедливо для идеального газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают, потому что он входит в уравнение неразрывности (3.3) в виде произведения рт, в котором плотность газа изменяется в гораздо большей степени, чем пористость. Уравнение Лейбензона (7.3) можно записать иначе, умножив правую и левую части на давление р н заменив рдр/дг = дрг/(2д1): (7.5) д/ 1гтг 1, дх' дуг дгг / В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р', но коэфрициент в правой части йр/((грг,) — переменный, в него входит искомая функция р (х, у, г, 1). Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (7.3) или (7.5) должно быть проинтегрировано по всей газовой залежи при 171 заданных начальных и граничных условиях.
Простейшие виды этих условий были рассмотрены в З 4 гл. 3. Но так как уравнение (7.3) или (7.5) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, то оно не имеет точных аналитических решений даже.в самых простых одномерных случаях. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенными способами. Приближенные способы хорошо разработаны. Некоторые из них уже рассматривались применительно к задачам упругого режима (метод последовательной смены стационарных состояний, метод интегральных соотношений, метод усреднения). Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния р = р„![р„г (р)) и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления [г = [г(р) в недеформируемой пористой среде (пг, = сопз(, й = сопзг) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа: Это уравнение можно проинтегрировать (при заданных начальном и граничных условиях) численно на ЭВМ или решить приближенно при помощи электрических моделей.
й 2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЕйБЕНЗОНА И ОСНОВНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (7.5) линейным, т. е. линеаризовать его, то оно упростится — для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линейного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравненнялинеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения. Были предложены различные способы линеаризации уравнения (7.5).
Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа (см. гл. 5), воронка депрессии очень крутая и на большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (7.5) на постоянное давление р„ (начальное давление в пласте). Тогда, обозначая гг = йр„l([гт,), получим вместо уравнении (7.5) уравнение др' — г дгрг д'р' дгр' х — =х~ — + — + — ), (7.7) дг ~.
дхг дуг дгг ) которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р . 172 И. А. Чарный предложил свести уравнение (7.5) к линейному заменой переменного давления р в коэффициенте х на рар = раап+ 0,7 (раааа Ра1~а)а (7.3) где Р „и Р ы — максимальное и минимальное давлениЯ в газовой залежи за расчетный период соответственно. Рассмотрим конкретную задачу о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной Ь. В начальный момент времени пласт невозмущен, т.
е. давление во всем пласте постоянно и равно Р . С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Я„. Нужно найти изменение давления в пласте и с течением времени Р (», г). Для решения этой задачи используем линеаризованное уравнение (7.7). Для плоскорадиальной фильтрации газа оно запишется следующим образом: (7.9) 1д/ дрх Здесь выражение (» — / представляет собой оператор дг(, дг Лапласа в полярных координатах относительно квадрата давления для плоскорадиального течения.
Уравнение (7.9) надо проинтегрировать при начальном условии р =р„' при (=О, Ос».-, со (7.10) и при граничном условии в удаленных точках р'=р'„при- г= Ро, 1)0 (7.11) Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита, исходя из закона Дарси, в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации Я =рика= — р — — 2п»Ь. Р.г Ф дР Раа Р Используя равенства Я = раД„, 2р (др/д») = дра/д» и разделив на р„, получим (7. 12) РааР дг Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса '" др' 0-Р. Р .
(7.13) дг ааэа Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (7.9) должно быть проинтегрировано при условиях (7.10), (7,11) и (7.13). из та 2 2( () 1 Оатрати ~ Е1( ' )1, (7.15) или атЛ= „/а'.— — ' — '"а [ — а (- '- )] (тат| Для малых значений аргумента г'/(4иг) в соответствии с формулой (6.59) можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической: Э 2 ( () Оатрати 1 2,25тт1 (7.17) 2идл га или ! э Оатрат/а 1 2,25Ю п — ' 2ттЛЛ /а (7.18) 174 В гл. 6 была рассмотрена аналогичная задача об отборе упругой жидкости с постоянным дебитом 9 из бесконечного первоначально невозмущенного пласта. Математическая постановка этой задачи представлена уравнением (6.38) с условиями (6.39) — (6.40). Приведем здесь еще раз эти соотношения для упругой жидкости и сравним их с соотношениями (7.9) — (7.11), (7.13) для газа.
Упругая жидкость Идеальный газ р=р, при 1=0 р =ра при 7=0; р=р„при г=оо, ()О р'=р'„при г= оо, ()О; г — = др Оо при г=О др /Оатрат1т при г=О ° да 2ттЛЛ дг пЛЛ Из приведенных данных видно, что во все соотношения для идеального газадавление входит в квадрате, в то время как для упругой жидкости — в первой степени, коэффициент пьеэопроводности и для жидкости заменяется на х = йр„/(рто) для газа; коэффициент ф~/(2пйл) — на 1','т„р„р/(пlй).
В остальном все соотношения аналогичны. Как было показано в предыдущей главе, решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима (6.59): р„— р(г, /) = — " [ — Е1( — ' 11. (7. 14) 2 2ттЛЛ ~ ~ 4х1 / Аналогия между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что заменяя в формуле (7.14) давление на р', и — на х, ф~/(2пйй) — на Я„р„(4/(пя/1), получим решение поставленной задачи для газа Подчеркнем„что уравнения (7.15) — (7.18) являются' приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (7.9), а не точного (?.3). Формулы (7.16) и (7.18) определяют (при фиксированных значениях времени 1) распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента 1 = О.
Эти депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации — они очень крутые вблизи скважины (рис. 7.1, а), Если задать значение г, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти измене- р рз б д Рис. 7.А Крнаые распределения давления по пласту прн неустановнвглемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) н изменения давления с теченнем времени в фиксированных точках пласта (б) ние давления на забое (при г = г,) после начала работы скважины (рис. 7.1, б). (( / з Овтдатн 1 2,25кг (7.19) гз с $ 3. РЕШЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ О ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВАЖИНЕ С ПОСТОЯННЫМ ДЕБИТОМ В ТОЧНОЙ ПОСТАНОВКЕ В 3 2 было приведено решение задачи о нестационарном притоке идеального газа к скважине бесконечно малого радиуса с постоянным дебитом.
Задача была рассмотрена в линеаризованной постановке, т. е. решение было получено в результате интегрирования линеаризованного дифференциального уравнения. В этом параграфе будет показано, как можно получить, прибегая к численным методам, решение этой же задачи в точной постановке. Нужно проинтегрировать уравнение Лейбензона для плоскорадиальной фильтрации газа: (7. 20) при условиях (7.10), (7.11), (7.13). Покажем, что в такой постановке задача автомодельна: давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные (г и (), а дифференциальное уравнение в частных производных (7.20) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
