И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 9
Текст из файла (страница 9)
8 4. Закон сохранения массы фильтрационного потока Закон сохранения массы и веса будет иметь вид: С,-С, =- — ]' т удР, д (11. 4. 1) де где С, и С,— весовые расходы соответственно в сечениях )г и !г; (с — объем трубки тока между сечениями [г и )г. Если сечения бесконечно близки, то д)с=у(г) дг и формула (П. 4Л) принимает вид: С(,, г) — С(.+д*, е)= дг 1(г) "г д(т у) С(г, г) — ~С (г, г) с — де~ = дС 1 дС д(ту) д, ~ дг 1(г) дг, дС д(сп У) дг дс или (П. 4. 2) т. е.
мы получили обычное уравнение неразрывности. газовой динамики или мехашгки спловгвых сред [!3, !4, 15], добавив к реально существующим объемным силам фиктивяые указанные выше силы сопротивлепяй. Для практических приложений целесообразно иметь полную систему уравнений лля трубки тока с заданным законом взменения площади фильтрации 1 (г). Подробный вывод для этого квааиодвомерного течения приведен ниже, после чего уравнения, выражающие рассматриваемый закон, выписываются непосредственно в координатной форме.
Применим ааконы сохранения к потоку жидкости, текущей внутри трубки тока, выделенной в фильтрационном потоке и ограниченной Г двумя поперечными сечениями П и )г(рис. П. 2). [П П Для простоты будем считать положение трубки 1 л тока в пространстве фиксированным. Как и выше, под действительной скоростью жидкой частицы 2 будем подразумевать величину пдт, где и — век- ег тор скорости фильтрации; т — порпстосгь. I т Напомним общий метод аапвси изменения Рис. П. 2. какой-либо величины Ф, связанной с потоком жидкости. Рассматриваются два положения частиц в моменты с и г + б с (рис.
П. 2). Очевцлно, изменение рассматриваемой величины Ф можно ааписать так: ЛФ=[(Фгн)с+щ+Фгг] [(Фггг)!+Фг]оо =Фп Фг+(Фггг)ец.а» (Фггг)е (11. ЗЛ) 42 Гл. 1!. Дифференциольнне ураонемил филынроции однородной жидкости Если пористость мь от времени не зависит, то да ду — =ю — 1(.). до де (П. 4. 3) В координатной форме уравнение неразрывности имеет общеизвестный д(уюх) д(уюо) д(у ось) ) д(юу) 1= дх ду дз 1 дс (П. 4. 4) где ью юю ы,— проекции вектора скорости фильтрации й~ на оси х, у, з.
Е 5. Закон изменения количества двнжепия фкпьтрациоккого потока Второе уравнение получается в результате применения закона изменения количества двюкения системы к жидкости, текущей внутри трубки тока между сечЕниЯми Д и 1ы Согласно этому закону изменение количества движения системы материальных точекаа какое-либо время равно счммарзому импульсу всех внешних сил, приложенных к системе, за ато время.
Если время равно единице, то суммарный импульс внешних сил численно равен их главному вектору. Закон изменения в единицу времени количества движения для текущей внутри трубки тока жидкости можно записать следующим образом: Уз лг+ дг ~ 'м' щ "'дг Рт+Рз+тсн+пэ+)('+та+То (П 5 1) (ф) где У,= ~ — "Едд; л,= ~ — Еду Уа> 1) " (П.
5. 2) главные векторы потоков количества движения массовых расходов соответственно в сечениях 1а и тб дд=ымд( — элементарный объемный расход через элемент площади фильтрации ЫБ где ы„— нормальная к Иг' коьшовеита скорости фильтрации; Р, и Р,— глазные векторы результирующих сил давлений в сечениях ун (з; Рсм — главный вектор результирующих сил давления со стороны боковой поверхности трубки тока; )( — главный вектор нормальных реакций твердых верен пористой среды, приложенных к жцнкости; Й вЂ” главный вектор массовых сил, действующих ва жидкость, например тяжести, центробежяых и т. д. Т, — главный вектор сил трения между жидкостью внутри трубки и боковой поверхностью трубки; Т,— главныйвекторсилтренпя между жидкостью вяутри трубки и пористой средой.
Лри рассмотрении фильтрационных потоков обычно считается, что в каждом элементе объема д) имеется столь большое число твердых зерен, что жидкость и пористая среда в отдельности могут предполагаться сплошными средами. Устремим расстояние между сечениями к зулю и перейдем к пределу.
Перед тем как записать уравнение (П. 5. 1) для этого предельного положения, учтем следующее. Будем считать, как обычно, плотность, пористость и температуру в сечениях трубки тока равномерно распределенными, а распределение давления — гидростатическим. Для скоростей ы)т согласно 1 4 главы 1 этого делать вельая, так как внутри поровых каналов ввиду вязкости нсидкости скорости будут распределены ааведомо неравномерно. е Е. Закон иеменения количества движения фильтрационного нотока 43 Запввтем теперь, имея в виду сделанные аамечания, уравнение (И. 5. 1) в проекции на ось в для предельного положения, когда расстояние между сечениями )г и (г равно дг: — дв+ — (0 ш)) (в) де= ЗР+(ЗВн)в+(сИй)в+ЗИ'в йг (в ЗТаг (11 5.
3) ЗУ, д сшг 1+$ ш У,= 0 — "ш ЗУ= ~ 0 — ЗУ =(1+ Ц) — )(е) = — — С(е, с), (П.5,4) т,~ т т я т 0) 0) ~ш 3) 1+6= (У) шгу (П 5. 5) ) шнд) (У) ! (11. 5.6) где ш — средкяя в сечении скорость фильтрации. Для круглых труб, как известно (16, 17), прн ламинарном режиме ь = т/г, прв турбулентном 5 = 0,03. Для щелевидных каналов ври ламинарном режиме $ = 0,2. Для пористой среды 5 будет существенно зависеть от формы и распределения раамеров сечении паровых каналов и во всяком случае не меньше, чем для одного крчглого канала. Пеличиву ч можно связать с распределенном размеров пор по их условным радиусам при помощи формулы (11.
5. 5) и кривой рис. 1. 4. Поток количества движения в единицу времени через одву пору можно представить в виде (11. 5. 7) е(=(1+С)о 07(ш(. Индекс 0 относится к одной поре, ц;, ш( — соответственно расход и средняя скорость для одной поры. Поток количества дввжения через всю площадь фильтрации будет с учетом формулы (1.4.3) и (1.4.4) равен Х=(1+5)е0 ~ ш()(= (1+В)ей (А 1~ 4 Хда (11.5.8) где Ь= Нг — Не — потеря напора на длипе1.
(11. 5. 9) Поправка Корколиса для всего потока выражается по определенвю фор- мулой Х .у~ а ~Ат)) 4 е('де ' 4 аФ ЕР' ( Ф я в(~', )' Ч3 а( Ч", 3,' =- (1 + чо) кч в)в е (р, ( (11. 5. 10) где 5 †поправ Корнолиса на неравномерное распределение скоростей в выражении проекции потока количества движевия, выражаемая известным иа курсов гидравлики соотношением (16, 17) аа Гл. ГГ.
Дифференциальнне уравнения фильтрации однородной жидкости Переходя к непрерывному распределению раамеров пор, получаем гвт(г)дг ~ гвч(г)йг 1+5 (1+5) О О ге ч (г) дгР о (1!. 5. 11) Таким образом, в пористой среде в отличие от движения в трубах поправка Кориолиса в выражении потока количества движения зависит не только от формы отдельного канала, но и от распределения раамеров всех каналов, слагающих живое сечение фильтрациояпого потока. Ограничимся случаем, когда массовой силой является сила тяжести и ось в направлена вверх (рис. 11.
1, а). Величины, стоящие в правой части формулы (11. 5. 3), с точностью до малых второго порядка имеют, как нетрудно видеть, следующие значении: дРе д(р У(вН, (дйп)в= рд [т( (в)), Ы)г'в= — у т((ь) дв ° —, (дл„) =О. (11. 5. 12) (11. 5. 13) (1!. 5. 14) (П. 5. 15) Последнее уравнение получается согласно условию о равномерном квази- непрерывном распределении твердых зерен внутри элемента 1(в) дв.
В этом случае главный вектор их нормальных реакций равен нулю. Другой приведенный ниже вывод условия (1!. 5. 15) был предложен В. М. Вязовым и основан на прямом расчете свлы (дй„)в. Величина (йц„)в складывается из приложенных к жидкости внутри элемента проекций на направление в нормальных реакций твердых зерен и может быть с точностью до малых второго порядка раабита на четыре части. 1. Проекции реакции твердых зерен, рассеченных сечением в. Эта часть равна (1 — т) 1(в) р. (а) 2. Проекции реакции твердых зерен, рассеченных сечением в й Ыв.
Эта часть равна (Ь) рд ((1 — т) ! (в) ) 4. Проекции реакции остальных твердых зерен, находящихся внутри трубки. Очевидно, проекция на Ыв реаультирующей силы давления, действуюдр щей со стороны жидкости на эти твердые зерна, равна — — (1 — т)г' (в)йв, дв где (1 — лс) ! (в) дв — объем верен. Соответственно реакция зерен, приложенная к жидкости, протпвоноложна этой силе и равна — (1 — т) 1(в) дв.
др де 3. Проекции реакции твердых зерен, рассеченных боковой поверхностью трубки. Эта часть равна (с), Закан ивменекив количества движения срильтрационноео котока 45 Складывая указаввые четыре величины, получаем (ЗЛ„),=0. (е) Величины ЗТ!, и ЗТ, имеют разные порядки малости: З҄— сила тревия вдоль боковой поверхности элемента 7(в)дв — несравненно меньше суммарной силы трения между жидкостью в пористой средой ввутри трубки. Таким образом, правая часть формулы (П. 5. 3) приводится к выражению — д ! ! т) ( Н + рд ! ~! ( ) ! — у ту (в) дв — — ЗТз,— дг дв — — др т((в) — рд (т1(в))+рд (ту (в)! — у т((в) дв — — ЗТ др дв = — — доту (в) — у т ! (в) дв — — ЗТ дв дв 3' (11.
5. 16) Уравнение (1!. 5.3) после сокращекия ка дв прививает вид: — — С(в,г)~+ 7(в)= — — ту(в) — ут)(в) — " ° (11 5 17) д ! 1+5 ю ) д(йю) др дв ~ Л т ' ~ дг дв дв дв ИТе,-- т!(~) д~.= а т)(в) дм )ею 9 рш (11. 5. 18) Нак упоминалось выше (1 3, гл. !), при нарушениях аакока Дарси природу сопротивлевия ближе всего описывает двучлекяый закон (!.
3.3), который целесообразно представить в виде др рю Т ю — — = — + — 9 ю'— дв 7с а )т! (11. 5. 19) где ь — безразмерный коэффициент, зависящий от геометрии пористой среды и в слабой степеви от числа Рейвольдса фильтрациоввого потока. Однако, судя по фактическим ивдикаторвым кривым скважив дебит — депрессия, превосходно, как цраввло, согласующимся с двучлеввым валовом фильтрации, в практических аадачах может считаться для данкой пористой среды постоявкым, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
