И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. от числа Рейвольдса ке зависящим. Величина а в ( 1!. 5. 19) оаиачает ' Можно отметить, что в работе (24) силу трения Н. Е. Жуковского, отнесенную к едивице массы я<идкоств, предлагается вякать с лишним множителем 1 1 рю т — в виде — —. Нетрудно вядетгч что при атом нарушается правильный т lс 9 вид ураввекий Даров (Н, 2. 7). В результате такого кредставлевия силы треввя инерционные члены уравнений фильтрации в работе (24 ! отличаются от 1 обычной правильяой записи, как, например, в (2 ), отсутствием мвожителя дт,, Силу тревия ', следуя Н.
Е. Жуковскому, будем рассматривать дв как объемную или массовую силу сопротивлевия '. Предполагая движевве следующим закову Дарси согласие (11. 2. 6) и учитывая, что величина этой силы, отнесенной к единице массы жидкости, равна рю "'0 — получаем ад Гл. 1!. Дифференциальная уравнения фильтрации однородной жидкости (11. 5. 20) ма где () — удельная поверхность пористой среды в —, т.
е. суммарная поверхмз ность твердых зерен в единице объема — одна из геометрических характеристик пористой среды ] ЛТ. !. 3, ЛТ. !. 13]. Согласно (11. 5.18) и (1 1. 5.19) при двучленном законе следует положить дт =~ — + — ов — ~ (( ) дм (рв, ь в) Зе ~ /с а ]в]) (!!. 5. 21) Заметим, что отношение дтю =- — + — й в' )() ° й+ ° й ] ] (!!. 5. 21а) можно рассматривать как силу трения, отнесенную к единице объема жидкости.
Эта же сила, очевидно, равна и противоположна объемной силе трения, нриложенной к твердым зеряам, находящимся внутри атого единичного жидкого объема. Едвничный объем жидкости раамещен внутри суммарного объема пористой 1 1 — са среды, равного — и содержащего объем твердых зерен —. На этот объем твердых зерен и действует сила (11. 5. 21 ). Отсюда сила трения, приложенная к единице объема твердых зерен пористой среды, равна — + — о ва — . (11. 5. 21б) ту(е)оз т 1 — т ~ й а ]в]! ' Результируюпюя >ке нормальных сил давления, как было показано выше, равна нулю ]уравнение (е)].
Если требуется составить уравнения движения или равновесия самой пористой среды, кроме напряжений, существующих в скелете, в чвсло действующих на твердые зерна сил следует включить действующую со стороны жидкости объемную силу трения (11. 5. 21б). Заков импульсов (П. 5. 17) для фильтрационного потока в трубке тока можно представить в виде — — С (е, !)1 + — ( (е) = — — т) (а) — у т) (е) —— д Г 1+с в 1 д(св) др де де ~ у гл ' ~ де оа де — ~ — + — о ва — ] т] (е). у а ]в]] (1!.
5. 22) Формулу (П. 5. 22) можно несколько преобрааовать, как зто часто делается, используя уравнение неразрывности (И. 4. 3). Выполвяя дифференцирование, характеркый линейный размер пористой срелы, который разные авторы определяют по-рааному, Например, Маскет, Линдквист ]Лт. !. 11] полагают а = = дву — эффективному диаметру твердых зерен, М. Д. Миллионщиков ]Лт. 1. 12] полагает а = )/Мт, Д. М. Минц ]Лт.
1. 13], Коцени и другие ]Лт. 1. 3] полагают а равным гццравлиаескому раднусу площади фильтрации, т. е. а = = т)/П, где П вЂ” суммарный смоченный твердый периметр живого сечения. Так как пористая среда предполагается статистически однородной, то в пределах объема д! площади и периметры згех живых сечений одинаковы. Отсюда следует часто применяемое представление а в виде д Ю. Закон игиенения кояичеотеа движения фияьтранионного иотока дУ учитывая (11. 4. 3) и считая для простоты пористую среду недеформируемой н, следовательно, пористость ве зависящей от времеви, получаем д (1+$ ш) 1+$ ш дС (у дш в дуУ С (г, с) — — - — — + — — +с( — — + — — /(г)= дг~ Г т') д т дг (,Г дг д дс ) др дг Срв ь в — — 1()-у 1() — ( — + — д * — /(г). дг дг ( Се а (ш() Левую часть последнего уравнения можно представить так: д (1+3 в1 1+$ в ду у дш в ду С (г, с) — ~ — — — — — т — /(г)+ — — /(г)+ — — /(г)= дг ~ д т) е т дС д дС дг д Г1+$ ш) ~в ду у дш = С (г, С) — — — — — — /(г)+ — — /(г).
дг ) Г т ~ г дг д дс Формула (11. 5.22) примет вид: д Г1+$ в1 $в ду у дш С(г, С) — — — — — — /(г)+ — — 7(г)=- де ~ д т ~ д дс д дс др дг Срш ( в = — — т) (г) — у т/ (г) — — ~ — + — 0 шг — ) т С (г) дг дг ~ Сс а (ш(/ или, сокращая на ут/(г), ш д /1+$ ш) $ ш 1 ду 1 (т) ! + т дг (, д т / Г т у дс г дс 1 др дг 1 /рв, ь в у дг дг у( Се ' а ((ш))' (П. 5.23) ш~ 1 ду 1 др 1 /р1ш(+ ~ шг 1 ду 1 др 1 /Сс(и~( я 4 г) вг — — — — — + — о шг) — в (11.5 24) ш» 1 ду С1 др у 1 Ссс(ш) С г~ ш* о сн у дс ( у дг ' ) у (, Сс а ) )ш ) 1 ду Член — — — — представляет собой часть потока импульса, обусловлент у дг вую неравномерным распределением скоростей и сжимаемостью жидкости.
При $=0 — равномерном распределении скоростей — и т=1 формула (11. 5-23) дает обычную запись аакона импульсов для струйки сжимаемая жидкости. При $=0 и т < 1 (11. 5.23) представляет собой уравнение Эйлера для одномерного фильтрапионяого потока. В координатной форме получаем три уравнения, являющиеся обобщением уравнений Эйлера †Жуковско: 46 Гл. ТВ Дифференциальние ураененин фильюрации однородной аеиднееюи В В.
Закон сохраиекмя вксргкк для фильтрацкоккого потока В задачах, где движеяие может считаться практически изотермвческим, яапример при медлеяво иамевяющемся течении без притока тепла извне, уравпеяие состояния имеет вид у =- у (р) и совмество с уравнением (1!. 4. 3) и заковом импульсов в виде (1!. 5. 22) или (11. 5. 23) получаем замкиутую систему для у, р, ие. В общем случае уразпепие состоняия имеет вид у =.- у (р, Т) и для замыкания системы ураввений иеобходимо четвертое уравнение, которое можио получитен применяя к потоку жидкости закон сохранения энергии.
Согласно этому закову измевевие полвой энергии данной массы движущейся жидкости за некоторый промежуток времени равно работе объемпых и поверхностных сил, действующих яа жидкость за это время, сложенной с подведенной тепловой энергией. Под полной энергией подразумевается сумма кякетпческой эпергии и внутрепвей эяергии, определение которой дается в термодивамкке. Применяя закон сохрапевия эяергии к потоку жидкости внутри нашей трубки тока между сечениями В и )е, получаем обычную в мехэпике сплошных сред форму этого закова в виде Х~-" — "(--)') "- ХР'4(=Л™+ ((е) (П) д( ~)А+2 ~т) 1У ) ( )™ (у) (В) Т/р. ~ д Т Овн +Е)у,(, ~ уеюау+Ьэк+ ~!у ) д( ) А (1е) () ) (1!. 6.!) В формуле (11.
6, !) левая часть означает измеиепие в единицу времени полвой энергии рассматриваемой массы жидкости, причем и == и (р, Т)— виутревпяя энергия в тепловых единицах, отнесенная к едвп)ще веса жидкости; первые два ивтеграла з правой части означают выполняемую в единицу времени иад жидкостью работу сил давления в сечениях )е, / и силы тяжести; тРетий интеграл — дополнительную работу силы тяжести, вычисляемую по локальной производной по времени от потепциальвой энергии силы тяжести. Физически третий 1 втеграл означает изменение потевциальвой энергии в поле силы тяжести, обусловлеявое пестациоварпостью движепия, когда возможпы вследствие сжимаемости жидкости вертикальные перемещения центра тяжести жидкой массы в трубке тока. Величина бэя и (уен озвачают соответственно подводимые к жидкоств в единицу времени вяешвюю мехавическую работу ! в тепло: А = †, инее!нГ .л — термический эквивалевт работы.
427 Следует отметить, что работа сил тренин внутри жидкости и теплота трепия взаимяо компенсируются и поэтому в уравпепяе энергии яе вошли. Далее можно яолоя<ить с высокой степенью точяости Ьэя = О, так как па боковой поверхности трубки, состоящей из мыелевко рассечепяых твердых зерен и участков, занятых жидкостью, соответственно скорость равна пулю ввиду прилипаяия к твердым поверхностям (осиовиая гипотеза гидродияамики аликой жидкости о граничных )словиях иа твердых поверхностна) и касателькое напряжение по сравнению с остальными силами практически равно вулю ввиду свободного протока жидкости между зернами пористой среды и предположеиия о статистической однородности геометрической структуры пористой среды.
50 Гл. 11. Дифференциольнне уравнения фильтрации однородной зеиднотпи Рассуждения, аналогичные тем, при помощи которых были выведены формулы (1!. 5. 10) и (П. 5. 1!), приводят к следующим результатам: !+$,=(1+$,), ',"'д'! (ч й,*)' (1 !. 6.4) (Рде)' а для непрерывного распределения ч(г) (рис. 1. 4) гв ч (г) дг [ ) ге т (г) дг) е !+е =(1+Ыо с с (11. 6.5) ге т (г) дг]е о причем, кзк и в формулах (11. 5Л1) и (!!. 5, !2), индекс 0 относится к одной поре. Р(т !е Ю Далее в (11. 6.2) входит интеграл )! ( — )! тдй в котором — — модуль ) (,т~ т !/) вектора скорости частицы жидкости.
Обозначим ~( ) тй)= 2 ~ ) 1(е) (11 66р (11 В правой части (11. 6.6) ю означает скорость фильтрации в сечении 1(е) Если скорость частицы совпадает с юп, то $'=$, где $ определено формулой (!1. 5.5). Вообще же, строго говоря, $ в $' могут различаться. Уравнение (11. 6.2) после сокращения на де с учетом (11. 6. 3) и (11. 6.6) будет иметь виде —,ф+ — + "(„' ) +1+~'( — „"Да(., ))+ = — ! а() (Те — Т)1(е)+ — ~)ь — т)(е)~ — ( Х вЂ” ! тП(е)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
