И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Л а н и т и н а А. А. Разработка и улучшение существующих методов расчета притока нефти к скважинам с раалпчными вндамн несовершенства. ВНИИнефтегаз, 1956. ГПАВА 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ й $. Дифференциальные уравнения изотермической фильтрации без учета массовых сил /с ш = — — ягайр, в где р =т Н вЂ” для несжимаемой жидкости; Н вЂ” напор; р совпадает с давлением для сжимаемой жидкости. При такой записи в случае сжимаемой жидкости пренебрегаем массовыми силами по сравнению с поверхностными. Уравнение неразрывности для сплошного потока жидкости имеет, как известно, ввд: ',е +а1 (Е ) =О. При выводе уравнения неразрывности в теории фильтрации необходимо учесть, что фактически жидкость накапливается в объеме тдр, где ду — элемент объема пористой среды; т — пористость, откуда следует, что уравнение неразрывности имеет вид: д(те) — —,— + 61 (Е ю) =- О, (П.
1. т) где и — вектор скорости фильтрации жидкости. В принципе общие уравнения фильтрации однородной жидкости должны быть получены из уравнений Навье — Стокса путем введения надлежащих статистических характеристик фильтрационной среды. Однако до сих пор зто еще не сделано, хотя имеется ряд попыток (1). Мы выведем уравнения фильтрации как обобщение закона Дарсн [Лт. 1. 6, 7, 2). Выше было показано, что закон Дарси может быть записан в виде ((. 1. 6) дд Гл.
е!. Дифференциальные уравнения фильтрации однородной жидкости Проекции скорости фильтрации на оси координат равны й др и= —— де й др У= — —— в ду (П. 1. 2) /с др ср= — — — . и дя Е=Е(р, Т) (П. 1. 3) (П. 1. 4) и уравнение для пористостн т .= т (р) . Последнее уравнение представляет собой обычно линейную функцию, разную при нагрузке и при раагрузке, Рассмотрим частныа случай несжимаемой жидкости и неизменяемой пористой среды, т.
е. о = сопзВ, т = сопзь. В атом случае уравнение неразрывности имеет вид: 6(тю = О. (П. 1. 5) Пусть для общности проницаемость переменна. Подставляя в уравнение (Н.1„5) выражения (П.1. 2) и полагая уь — сооз~, получаем й 17Я р + йгаб й йтас) р = О. (П. 1. 6) Если й = совет, то (П. 1. 7) т. е. давление удовлетворяет при й = сопзь уравнению Лапласа. На основании (1. 2.
17) можно написать 72Ф =-О, (11. 1. 8) т. е. при Й = сопзб потенциал также удовлетворяет уравнению Лапласа. Переписывая уравноние (П. 1,8) в полярных или сфери- В общем случае подлежат определению величины и, в, и, р, о, т и температуры жидкости и пористой среды, причем температуры пористой среды Т,р и жидкости Т могут быть разными. Температура может изменяться, например, при закачке горнчей жидкости, газа или пара в нефтяной пласт, что иногда практикуется для повышения нефтеотдачи 13, 4, 5„6]. В дальнейшем в атом параграфе принимаем Т,р = Тт = Т = — сопзь, т. е.
тепловых явлений не рассматриваем. Таким образом, для определения шести функций и, д, ю, р, о, т имеем четыре уравнения (П. 1. 1) и (П. 1. 2). Чтобы система уравнений была замкнутой, необходимо добавить уравнение состояния С г. дияСдеренциальние уроенения иеотериическоео движения жидкости дд ческих координатах и учитывая, что согласно симметрии для плоско-радиальиого и радиально-сферического течений Ф = Ф (г), ф 2.
Вьпюд Н. Е. Жуковского дифференциальных уравнений изотермичеекого двюкения жидкости в пористой среде с учетом массовых сил из дифференциальных уравнений Эйлера для идеальной жидкости Н. Е. Жуковский дал замечательный вывод общих дифференциальных уравнений теории фильтрации, следующей закону Дарси, исходя из уравнений движения идеальной жидкости. Уравнения движения идеальной жидкости Эйлера имеют вид: ди ди ди ди — +и — +сс — +и— дС дх ду дя дд Х вЂ” — —, Э дх до до до до — + и — +се — +ш дС дх ду дя У вЂ” — — ~, (11.
2. 1) о дд дм дсо дт дт — +и — +о — +ш— дС дх дд дя др Я вЂ” —— с дя получаем уравнения (1. 2. 9) и (1. 2.19) соответственно. При сс + сопэч уравнение (Н. 1. 6) принимает весьма сложный вид. Для общего случая Сс = й (р, х, у, г, С) точных решений пока не имеется. Относительно более простая задача, когда проницаемость является известной функцией координат )с = й (х, у, г), П1.
1. 6) обращается в линейное уравнение с переменными коэффициентами. Некоторые точные решения для частных видов зависимости )с = сс (х, у, г) указаны Г. С. Салеховым (7) и румынским исследователем Т. Оровяну 18). Еще более общим случаем является анизотропная пористая среда, когда вдоль осей х, у, г в формулах (11. 1. 2) проницаемости сс (р, х, у, г, С), йо (р, х, у, г, С), сс, (р, х„у, г, С) различны. При атом оказывается, что проницаемость — тензорная величина — и градиент давления не совпадает по направлению с вектором скорости фильтрации, за исключением трех взаимно-перпендикулярных направлений, называемых главными осями тензора проницаемости.
Эти задачи исследовались Феррандоном и другими (Лт. 1. 3). Гораздо более простым является случай однородно-анизотропной среды, когда проницаемости Сс», Ссо, Сс, постоянны, но различны. Можно показать, что простым преобразованием координат этот случай сводится к однородной среде Я 3, гл. ч').
Ниже, если это не будет специально оговорено, пористая среда предполагается изотропной во всех направлениях. дй Гл. И. Дифференциальные драененил филынрации однородной жидкости (11. 2. 2) где я = 9,81 мlсека — ускорение силы тяжести. а У Ю Рно. П. 4. Проекции силы тяжести н центробежной силн (к выводу днффереещнальных уравнений движения жидкости в пористой среде) ° Когда вне|пнями массовыми силами являются центробежная сила н сила тяжести (вращение вокруг вертикальной оси) (рнс. 11.1, 6), Х =- юа г соз ~р =- сот х, У = юа г з1п (р = еое р, 2= — я, (11.
2. 3) где ю — угловая скорость вращения относительно оси г; г — радиус вращения; <р — угол между радиусом вращения и осью х. Если в пористой среде происходит фильтрация жидкости, появляется сила трения по поверхности зерен, слагающих пористую среду Так как эта поверхность очень велика, то можно считать, что сила трения распределена по всему объект пористой среды. где и, о, ю — проекции скорости жидкой частицы; Х, У", Я вЂ” проекции массовых сил, отнесенные к единице массы жидкости; плотность; р — давление. Когда внешней массовой силой является сила тяжести, направляющая оси х, у в горизонтальной плоскости, а ось з вертикально вверх (рис. 11. 1, а), получим Х=-О, У=О, Е =- — у, у 3.
Диф11еренциаяьние уравнения иеотермического движения жидкости дд Следовательно, с высокой степенью точности можно рассматривать силу трения как объемную силу. Таким образом, можно воспользоваться уравнениями (11. 1. 1) для фильтрации жидкости в пористой среде, но считать, что массовые силы включают в себя две части: Х=Х,+Х,; 1 =-У,+У,; г=г,+г,, хде Хх, Уи е'х — проекции внешних массовых сил; Х„Ух, Ях— проекции массовых сил сопротивления, зависящих от скорости. Если под и, в, хо подрааумеваются проекции скорости фильтрации, то, предполагая для простоты пористость и постоянной, имеем 1 ди 1 ! ди ди ди 1 1 др — — + — (и — +и — + хр — ) = — — — +Х +Хх, т дХ тх ( дх ду дх ) о дя до 1 1 до до доз 1 др — — + — (и +р +их — ) = — — — +У +Ум(11.2.4) т дх т' ( дя ду дх) о ду дт 1 1 дт дт дт 1 1 др — — + — ( и — + р — + хр — ) = — — — + Ех + Ях.
ох дХ тх ( дя ду дг ) о дх — — йХ,— йХ, =- О, др дя — — йУх — йУх = О др ду (П. 2. 5) — — раях — йЕ~ = О. др дх Иа сравнения с законом Дарси при отсутствии массовых сил следует, что оХх, йУх, оЯх пропорциональны и противоположны проекциям скорости фильтрации и выражаются следующим обрааом: ДХх = — — и 1х й ЕУх = — — в, Р й (11. 2. 6) Его= — — их 1х й где й — проницаемость пористой среды; 1х — абсолютная вязкость жидкости. Обычно скорость фильтрации очень мала н конвективными членами в левой части уравнений (11. 2. 4) моя<но пренебречь. Можно показать также, что и локальные производные по времени, как правило, могут быть отброшены.
Тогда уравнения (11. 2. 4) примут вид: дд Г*. 11. Дифференциалъние ураенениа филетрации однородной жидкости Таким образом, уравнения движения жидкости в пористой среде имеют следующий вид: и= — — ( дР— оХ ), /с /др р= — — ( — — ЕУ ) ду 1 =- — ( — д,' -ЕХ ). (11. 2.
7) Рассмотрим случай, когда массовой силой является сила тяжести (рис. П. 1, а). Согласно (П. 2. 2) уравнения (11, 2. 7) будут иметь вид: й др й др и= — — —, о= — — — ° да ' р ду (П. 2. 8) Ь /др ш = — — [' — + у), у = е б. р [ де (П. 2. 9) или в проекциях на оси координат Пусть для общнссти проницаемость й, вязкость [г и плотность о являются известными функциями давления р, Й= /с(Р) [г = еа(Р) о= д(р). С учетом уравнений (П.2. 7), которые умножаем на а(Р) При больших скоростях фильтрации, например, в случае мощного взрыва в пласте нужно оставить левые части уравнения (11. 2. 4), что требует более подробного рассмотрения [9, 10). При движении, не следующем закону Дарси, массовые силы сопротивления Ха, Уа, Еа являются нелинейными функциями компонентов скорости фильтрации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
