И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Дифференциальные уравнения для этого случая составлены Л. С. Лейбензоном [Лт. 1. б, 7[. Решения для одномерных стационарных течений в трубках тока переменного сечения, как было сказано выше в ~ 2 — 3 главы 1, могут быть получены без принципиальных затруднений.
Методы решения для некоторых неодномерных течений, не следующих закону Дарси, указаны С. А. Христиановичем [11), В. В. Соколовским [12] и Ф. Знгелундом [Лт. 1. 21). Приведем некоторое преобразование уравнений движения, предполагая параметры жидкости зависящими от давления. Предположим, что поле массовых сил имеет потенциал с/(х, р, з, е), т. е. вектор массовой силы р'г с проекциями Хд, Уи Ег может быть представлен в виде у г. дифференциальных уреененио иоотермичесноео деихеенио хсидоости дт и (П.2.10) для проекций массовой скорости фильтрации он, оу, о ие получим Действительно, по определению интеграла яз (П.
2 12) имеем ,1Ф (р) е0),1 )с (р) а пз формулы полного дифференциала для е)Ф и е)р получим «(Ф = — е)х+ — г)у+ — Нг+ — й = дФ дФ дФ дФ дх ду де д8 у(р)о(р) др ар ар, ар М (Р) дх ду дх де — егг + — е(у + — е(г + — й], Из произвольности дифференциалов е(х, Иу, еег, й следует, что коэффициенты при е(х, е)у, еЬ, й равны. Отсюда согласно (П.2.10) немедленно вытекает справедливость уравнений (П.
2.13). Подставляя (П.2.13) в уравнение нераарывности (П.11), по- лучаем д (т О) деФ деФ деФ д ~ дЬе 1 д8 дхе ' дуе дге дх ( дх ) = — + — + — + — ~е — 1+ д ( ду) д ~ а(т) (П. 2. 14) Ь(р)о(р) др Ь(р)ое(р) аГГ1 р(р) дх р(р) ' дх ) ' Еи=- — ~ — + ео= — '(р)е(р) др+ '(р)е*(р) д'1 (П 2 11) р (р) ау + у,(р) ду ~ ь(р)о(р) ар д(р)о (р) аи1 )е(Р) де р (р) де ) ' Форма уравнений (П. 2. 11) наводит на естественную мысль ввести две функции давления: Ф=Ф(р)= ( Р ~ Р) е)р, 8=се(р)= Р)~ Р) . (П.2.12) ,) р (р) ~ )с (р) Очевидно, при отсутствии массовых сил Ф =- Ф (р) является потенциалом массовой скорости фильтрации. Л.
С. Лейбензон в теории фильтрации газов впервые ввел анало гичную функцию. Поэтому Ф (р) будем называть обобщенной функцией Лейбензона для сжимаемой однородной жидкости. Уравнения (П.2.11), как нетрудно видеть, принимают вид: р+ ю) (м+, ю) (д + де)' (дФ д(Г ~ (П. 2. 13) дд Гл. П. Дифференциальнае уравнения фильтрации однородной яеидности (П.
2. 15) которому удовлетворяет давление при фильтрации несжимаемой жидкости постоянной вязкости в неизменяемой пористой среде с постоянной проницаемостыо. Таким образом, решения, полученные для задач фильтрации несжимаемой жидкости, обобщаются, как указано также в книге Г. Б. Пыхачева [Лт. 1. 8), на аналогичные условия движения сжимаемой жидкости, причем, как легко видеть, величина Р заменяется обобщенной функцией Лейбензона Ф, а )с объемная скорость фильтрации вс — массовой скоростью фильтрации й сд.
Можно вместо массовой скорости фильтрации о кс определять весовую скорость фильтрации у ср = б й ис. Потенциал весовой скорости фильтрации в этом случае будет (' ь(Р)У(Р) 1Р )с (р) а при постоянных )с (р) = )ь = сопзь, й(р) = й = связь Iс р )ср Ф = — ~ у(р)с[Р = —, )с где через Р обозначен инзеграл (П. 2. 16) (П. 2. 17) (П. 2.
18) иногда называемый функцией Лейбензона для однородной сжимае- мой жидкости. Пользуясь уравнениями состояния (П. 1. 3) и (П. 2. 11), из дифференциального уравнения (П. 2. 14), вообще говоря, можно получить, смотря по желанию, дифференциальное уравнение для одной из функций Ф, р, о. Например, для функции Ф имеем из соотношения (П. 2. 12) Ф = Ф (р).
Разрешая последнее уравнение относительно р, получаем р = р (Ф) и затем т = т (р) = = т [р(Ф) ) = т (Ф), р = о (р) = о [р (Ф) [ = й (Ф), 6 = О (р) = 6 [р (Ф) [ =- = 6(Ф). Таким образом, уравнение (П. 2. 14) может быть записано в виде соотношения только для одной функции Ф и аналогично для р и о. Это соотношение в общем случае приводит, как видно, к весьма сложному нелинейному, как правило, дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных параболического типа. В некоторых случаях, как будет показано ниже, оно может быть линеариэовано и сведено к обычному уравнению теплопроводностп. В общем же случае задача оказывается весьма сложной.
При установившемся течении, пренебрегая массовыми силами, из (П. 2. 13) для Ф получаем уравнение Лапласа у г. Дифференциальные уравнения иввтермичеекава движения жидкости ЗУ При постоянных й, 1а, пренебрегая массовыми силами, из (П, 2.14) получаем с-то (П. 2. 19) ности нуль. Найдем вид функции Р для газов и упругой капельной жидкости. Для газов, особенно углеводородных, уравнение состояния у = = у (р, Т) часто берется в виде — = гВТ, Р т (П. 2. 20) где  — газовая постоянная; Т вЂ” абсолютная температура; г = г(, — ~ — так называемыи коэффициент сверхсжимаемости, р Т Ркр т'кр у определяемый по эмпирическим формулам или графинам; Т„р, ркр— критические температура и давление.
Для идеального газа, следующего уравнению Клапейрона, г= 1. Для Р получим (П. 2. 21) Если давление меняется незначитЕльно> то Р— рт+ сопзь, зле еву (П. 2. 22) где гар — среднее значение г в пределах изменения давления, Для более точных расчетов, рааумеется, интеграл (П. 2.21) следует вычислять соответственно точнее. Для идеального гааа, приводя к атмосферным условиям уат, рат, при температуре течения Т получаем — ' = — "=ВТ, Г тат (П. 2.
23) (П. 2. 24) Р = тат рт + СОПЗ1. ВРат Для однородной упругой капельной жидкости, ввиду малого изменения у, у (р) в (П. 2.17) можно считать обычно практически постоянной у (р) = уа. Тогда Р = тар+ сэпз1. Потенциал, как и функция Р, определяется с точностью до адднтивной (т. е.
прибавляемой) произвольной постоянной. Поэтому интегралы в (П. 2. 12) или (П. 2. 18) могут оставаться неопределенг ными или записываться в виде ), где ра — любое давление, в част- ит 40 Гл.!1. Дифференциильние ураоненил филынрации однородной жидкости й 3. Замечания о системе ураииений для общего случая пеиистермичсской фильтрации В большинстве случаев движение природных жидкостей н гааов в их естественных коллекторах — пористых средах, слагающих продуктивные пласты,— предполагается изотермическпм, хотя известно, что при этом температура изменяется. правда, обычно незначительно.
Примером является описываемый во всех курсах термодинамиии классический аффект Джоуля — Томсона. В связи с развитием современных, весьма точных методов термометрии пластов и скважин представляет интерес составление полной системы уравнений, связываияцвх скорости, давления н температуры жидкости и пористой среды.
Пкформация, доставляеман в виде термограмм пластов н скважин, может оказатьсн полезной при изучении нх фильтрационных параметров. Из работ, выполненных в этом направлепни, следует отметить исследования Э. В. '1екалюка, посвященные аадаче о связи между гядродинамнческямв и термическими параметрами фильтрационных потоков, и предложенные нм методы непользования атой свнви !5, 6!. Вольшой интерес также представляет задача о нагнетании горячей жидкости, газа или пара в пласт для повышения нефтеотдачи и улучшения проницаемости призабойвой зоны. Для простоты будем предполагать пористую среду неизменяемой и однородной.
Замкнутая система уравнений для давления р, вектора скорости иь плотности С кли объемного веса у и температур Т и Тг жидкости н пористой среды может быть получена, как и во всех задачах механики сплошных сред, при помощи основных фундаментальных законов сохранения, справедливых для любой системы материальных тел н точек, — закона сохранения массы, азиопа изменения количества движения и закона сохранения энергии. Обычно в фильтрационных задачах вниду весьма малых скоростей жидких частид в основной области течения в уравнениях движения и энергии инерционными членами н кинетической энергией принято пренебрегать. Мы этого пока делать не будем п постараемся для общноств получить полную систему уравнений, пригодную для исследования движений, где скоростямя частпд пренебрегать нельзя, вапрямер, при притоке газа в скважину через перфорацнонные отверстия, когда условия истечения првближаются к критическим и скорости струек газа в отверстиях могут быть' сравнимм с звуковыми, а также для других случеев течения в пористой среде, где необходим учет инерционных членов.
В качестве примера мо1кно указать недостаточно еще исследоваиный кРУг аадач о распространении колебаний в пористых средах, ааполнеппых жидкостью или газом. В этих задачах, представляющих интерес для развития сейсмических, акустических и других аналогичных методов исследования и разведки нефте-, водо- и газоносных пластов, учет инерционных членов имеет приндипвальное значение нри расчете скорости распространения того вли иного вида механических колебаний. Пря отбрасывании инерцконных членов акустические скорости получаются бесконечными. В одних задачах это обстоятельство не вносит сколь-либо существенной погрешности, в других же, если, например, требуется более точно исследовать процессы, возникающие в начальные моменты после прихода фронта волны давления, яеобтодимо 1читывать конечное аначенпе скорости звука. Полная система уравкеяин для общего случая движения в пористой среде сжимаемой нли несжимаемой вязкой ноидкостн прнвднпкально может быть построена, как упоминалось выше, путем надлежащего осреднеквя уравнений Навье — Стокса и уравнения энергии, что ло сего времеви пока что ке сделано.
Вместо этого, следуя Н. Е. Жуковскому, согласно сказанному вылив в $2 можно рассматривать фильтрационный поток как идеальную жидкость в силы фильтрационвого трения отнести к объемным силам сопротивления. Тогда можно воспользоваться хорошо известными уравнениями движения идеальяой жидкости, приведенными в люббм современном курсе гкдродинамикв. г А Закон сохранения массы фияьтрационного потока И Члены Ф, Ф определяют значение величины Ф в объемах частиц, вышедших из сечения 1г и вошедших в сечение г, аа время М, (Фгг! ),, (Фгг!)етаг — ее эяачения в общем объеме П1 в моменты с и с+лг. Переход к пределу при Лг -+О и сокращение на дг дают соответственно конвективяую производную рассматриваемой величины, обусловленную переносом частиц, и локальное ее изменение в единицу времени, обусловленное нестационарносгью процесса. Лналогичным образом производится вались для движущегося объема прояавольной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
