И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 14
Текст из файла (страница 14)
бд Гл. Ш. Плоские вадаки фильекрации к совериеенким сквахеинок Наедем связь функции тока с потенциалом скорости Ф = Ф (х, у). Вдоль линии тока Ч'(х, у) = сопзь. Следовательно, полный дифферевциал функции тока определяется уравнением ЫЧе = — г(х + — г(у = 0- дЧ' дЧ' дх ду (П1.1. 7) Уравяеяия (П1.1.5) и (П1.1.7), очевидно, совпадают. Таким образом, е)Чг = — г)х + — е(у = и Нх — и г(у = О. (Ш.
1. 8) дЧе дЧ' дх ду Сравнивая в уравнении (П1.1.8) коэффициенты при е(х и Ыу, получаем дЧ' дЧ' и= —; и= — —. дх ' ду Сравним проекции скоростей и и и из системы (Ш. 1. 9) с проекциями скоростей из основной системы (1П. 1. 1). Получаем дФ дЧ' дФ дче и= — — =- — —; п= — — = —, дх ду ' ду дх откуда дФ дЧ' дФ дЧ' дх ду ' ду дх (П1. 1. 10) двФ деЧ' деФ де Че дх ду дув ' ду дх дхе Вычитая второе ураввеяве из первого, получаем деЧ' д'Ч" — + — = О.
дхе дуе (П1. 1. 11) Уравнения (П1. 1. 10) имеют связь с теорией функций комплексяого переменного, Введем комплексяое перемеяпое. Пусть плоскость течения примята за плоскость комплексяого перемепяого г = х + (у, ьт = — 1 а. ь Здесь ве возникает опасевия в смешении коьшаексвого переиеввого х = х+ гу с третьей отсутствующей коордипатой х. Уравнения (П1. 1. 10) называются обычно уравнениями Коши и Римана. Докажем, что Ч" (х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа, Иа системы (П1.
1. 10), дифференцируя первое уравнение по у, второе по х, получаем у 7. Се ег теории у»ункций комплекеного переменного Аналогично тому, как составлено комплексное переменное з = х + 1у, составим новую комплексную функцию Ф (х, у) + + 1 Че (х, у). Возникает следующий вопрос: можно или нельзя представить эту функцию в виде некоторой функции комплексного переменного Р(з) = Р(х+ 1у)? Не всякая комплексная функция М(х, у) + 17»Г(х, У), где ЛХ(х, у), Х(х, у) — произвольные функции двух переменных х и у, будет функцией комплексного переменного з = х+ 1у.
В том, что это так, можно убедиться на очень простом примере. Возьмем функцию Р(з) = г» = (х+ (у1)«Раскрывая квадрат суммы, получаем Р (з) = в» = х* — у'+»2ху. Таким образом, если взять две функции М(х, у) = х» — у», Л" (х, у) =- 2ху, затем составить комплексную функцию М(х, у) + (дг(х, у) = = х» — у»+12ху, то в данном случае мы «экспериментально» убедимся, что эта функция х» — у» + 12ху действительно является функцией комплексного переменного г = х+ гу. А теперь возьмем и «испортим» какую-либо из этих функций, например, положим М,(х, у) =х'+у'. Если составить теперь функцию М» (х, У) + (дг(х, У) = х»+ + У'+12хУ, где одна из этих функций «испорчена», то такой комплекс уже не будет функцией комплексного переменного з = х+ (у.
Оказывается, что уравнения (111. 1. 10) являютсн необходимым и достаточным условием для того, чтобы комплексную функцию Ф(х, у) + 1 Че (х, у) (где Ф вЂ” потенциал скорости; Ч" — функция тока) можно было рассматривать как функцию комплексного переменного з = х+ (у. Важность этого обстонтельства заключается в том, что функции, зависящие от двух переменных х и у, заменяются функцией, зависящей формально от одного переменного г = х+(у. Чтобы доказать, что Ф+(Че является не просто комплексом, а функцией комплексного переменного, обратимся к уравнениям Коши — Римана (111. 1. 10).
Прн этом будем рассуждать так: если Ф + г Че является функцией комплексного переменного з = х -)- (у, Ф(х, у) + ~ Ч'(х, у) = Р(г) (111. 1. 12) о7г то, следовательно, производяан — доля«на иметь одно и то же значение независимо от закона стремления г»з — е О. Имея это в виду, продиффере~цируем уравнение (111. 1. 12) по х. Учитывая правило дифференцирования сложных функций (а также, УО Гл. П1. Плоские задачи фильтрации к соееримнним скважинам что г = х + (у), получаем: дз дз — =1 дх ' ду дф .
дЧ' НР дз ИР— +з — — — — —— дх дх дз дх Из Продифференцируем теперь уравнение (1П.1. 12) по у: дФ .дЧ' др дз .дР— +1 ду ду дз ду дз Разделив последнее уравнение на 1, получим — дФ + дЧ' — дЧ' ' дФ (Ш.1.14) дз 1 ду ду ду ду Таким образом, из уравнений (1П. 1. 13) и (П1. 1. 14) следует д дФ .дЧ дЧ .дФ (1П. 1. 15) дх ду ду з Сравнивая в уравнении (П1.1.15) действительную и мнимую части, получаем уравнения Коши — Римана дФ дЧ' дФ дЧ' дх ду ' с~у дх полностью совпадающие с уравнениями (П1. 1.
10). Следовательно, если взнть любузо функцию комплексного переменного Р(г) = Р(х+ (у) и отделить в ней действительную часть Ве Р(г) от мнимой 1шР(г) т, то можно трактовать действительную часть, как потенциал некоторого плоского фильтрационного потока, мнимую часть — как функцию тока этого течения: Ке Р (г) = Ф (х, у)е 1ш Р (г) = Ч'(х, у). Приравнивая действительную часть постоянной величине, получаем семейство эквипотенциалей: Ф(х, у) = сопз(.
Приравнивая мнимую часть другой константе, получаем семейство линий тока Ч' (х, у) = сопзг. з Ке Р (з) — обоаначевие действительной части функции комплексного переменного Р (з); 1нс Р(з) — обоаначение ее мнимой части. Символы Ке и 1ез ввллкется первыми буквами фраипуасвил слов «дейстаительный» (тес)) и емвимыйе (1зваи(ва!се). у е. Секеь теории едуккиий комкхекекого перемеппого 1(111.
1. 16) (111. 1. 17) Ф(х, у) = сопз1, Ч'(х, у) = сопзь. Отсюда дйд дФ дЧ' дЧе — д!х+ е(у =О, — е!х+ — е1у = О. дх ду ' дх ду Угловой коэффициент ~ — ~ = еед касательной к эквипо- 7 ду '1 Ф =еопед тенциали определяется из первого у1авнения (1П.1. 17): дщ ду (Ш. 1. 18) Совершенно аналогично найдется из второго уравнения (!11. 1. 17) и угловой коаффициент Йд касательной к линии тока: (111. 1. 19) Из уравнений Коши — Римана следует, что дедко = — 1.
Действительно., учитывая (11!.1. 10), получаем дФ дче дх дх д"диз = ду ду что (как известно из аналитической геометрии) имеет место для прямых, пересекающихся под прямым углом. Таким образом, линии тока будут пересекать эквипотенциали под прямым углом.
Таким образом, каждой функции комплексного переменного можно сопоставить некоторый плоский фильтрационный поток. Зная функцию комплексного переменного Р (х) = Ф (х, у) + + д Ч' (х, у), х = х + ду, называемую характеристической функцией течения или комплексным потенциалом, сразу получаем всю картину движения: семейство эквипотенциалей, семейство линий тока и поле скоростей.
Теория функций комплексного переменного в настоящее время имеет широчайшее применение в гидродинамике, аэродинамике, теории фильтрации, теории упругости, теории электричества и теплоты и т. д. Докажем, что линии тока и эквипотенциальные линии образуют ортогональную сетку, т. е. каждая пара кривых атих двух семейств пересекается под прямым углом (рис.
111. 1). Уравнения эквияотенциалей и линий тока имеют вид: 72 Гл. 111. Плоские еадаьи фильтрации к совершенны скважинам Ф= —,1пг+С. ц 2я (1П. 2. 1) Севеейство эквипотенциалсй будет окружностями г = сопз1, так как Ф = сопз1 при г = = сопз1. Напомним, что дебит д на единицу мощности пласта считается положительным для скважины-стока (эксплуатационной) и отрицательным для скважины-источника (нагнетательной). Семейство линий тока будет ортогонально эквипотенциалям, т. е. линии тока будут представлять собой лучи, выходящие из начала координат. По этим лучам будет направлен вектор скорости. Для стока вектор скорости будет направлен к центру. Каждая линия тока осями координат постоянный угол тока функция тока — постоянная оординатах г, О ее выражение будет Рис.
П1. 2. Приток к точечному стоку ва плоскости. является прямой и составляет с О (рис. Ш. 2). Вдоль линии величина; значит, в полярных к иметь простой вид: Ч'=АО+В, (1Н. 2. 2) где А и  — некоторые постоянные. Составим теперь комплекс: Ф+1Чс =,ц 1пг+ (А 0+ (В+ С. 2к Спобенно простое выражение последнего комплекса получится, если придадим А значение А = —: ц 2н Ф+ 1Ч' = — „(1пг+ 10) + сопз$„ (111. 2.
3) й 2. Приток к точечным стокам и источникам на плоскости. Случай равиодебитных стока и источника. Приток к скважине, эксцентрично расположенной в ируговом пласте Рассмотрим частный случай движения, которое будет нас интересовать, — приток к стоку или источнику, помещенному в начале координат.
Известно, что потенциал точечного источника или стока определяется формулой (1. 2. 18): Г 3. ПРиток к точсчним стокам и источникам на плоскости Уз где сопз1= 1В -[-С. 1и г + 10 = 1и [г е ). Далее Комплексное переменное з в декартовых координатах имеет вид з = х + 1у, а в полярных координатах, так как и = г соз 0, у = гз1п0, з = г (соз 8 + 1з[п 8).
Но согласно известной из дифференциального исчисления формуле Эйлера сов 0+ (гйп8 = е ов Таким образом, 1п(ге' ) =1п[г(соз8+1з[п0)] =1пз. (1П.2.4) Отсюда получаем выражение, уже окончательное, характеристической функции источника или стока, помещенного в начале координат: г'(з) = — „1пз+ С. (Н1. 2. 5) Г (з) =,~ 1п(з — з,) + С. (П1. 2. 6) Перейдем теперь к указанному выше случаю двух скважин— нагнетательной и эксплуатационной. Для простоты разместим их вдоль оси х (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
