И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1П. 3). Пусть в точке х = а, у = О находится скважина-сток, в точке х = — а, у =- Π— скважина-источник. Найдем потенциал движения, образованного совместной работой двух скважин. Потенциал и функция тока для первой скваячины (опуская постоянные слагаемые) будут равны Ф1 = —, 1п г, Чсс =- — 0, о Ч вл ' зк (1П. 2. 7) Нас сейчас будет интересовать картина движения, образованная равнодебитными источником и стоком. Физически это означаетдвижение, обусловленное работой двух скважин в неограниченном пласте: первой — инжекционной, второй — эксплуатационной. Прежде чем рассмотреть эту задачу, посмотрим, что изменится, если источник или сток будет помещен не в начале координат, а в какой-то точке, у которой комплексная координата будет го = хо + + суо.
Легко видеть, что для этого случая нужно взять функцию того же самого вида, но заменить в формуле (П1. 2. 5) з разностью (з — зо). Для характеристической функции получим И Гл. 111. Плоские садани фильтрации и совершенным скважинам где гт — расстояние от точки М, где определяется потенциал, до первой скважины; 0, — угол, составляемый радиусом-вектором с осью л.
Совершенно аналогично для второй скважины (также опуская константу) получим Фа = — ~ 1пгм Ч'а = — 2„0те (П1. 2. 8) где Гт — расстояние от точки ЛХ до второй скважины; 0а — угол, составленный гт с осью т. Рис. 1Ц. 3. Течение при равкодебитвых стоке и источнике ка плоскости. Добавляя произвольную постоянную С, получаем выражение комплексного потенциала результирующего течения в виде Р(з) — .Я„1 — + С. (111. 2. 9) Докажем, что линии тока будут окружностями, выходящими из нагнетательной скважины и ааканчивающимися в эксплуатационной. Отделяя вещественную часть в формуле (111.2.
9) и учитывая формулы (111,2,8), найдем потенциал и функцию тока результирующего движения: Ф = Фх + Ф, = т 1п —" )- сопз1, Ч' = Чес + Ч'а .= —. (0 — 0т) (Ш. 2. 11) Г л. Приток к токскким стокам и истоккикпм кп плоскости 7о Условию Ч' = сопз1 соответствует, что на линии тока 0з — 8з = сопзь. (П1. 2. 12) Но, очевидно, 8з — 0о — угол, под которым виден отрезок [ — а, а[, если на него смотреть из точки М.
Следовательно, линия тока есть геометрическое место точек, из которых отрезок — а, а, соединяющий скважины, виден под одинаковым углом 0г — 0к = сопзо. Из злементарной геометрии известно, что таким геометрическим местом точек является окружность, Следовательно, в зависимости от величии угла 8, — 0к будем получать разные окруясности — равные линии тока. Таким образом, семейством линий тока являются окружности, проходящие через сток и источник.
Легко видеть, что семейство эквипотенциалей, пересекающих линии тока под прямым углом, также будет семейством окружностей, ортогональных первому семейству (рис. 1П. 3). Любую из этих окружностей-эквипотенциалей можем выбрать за круговой контур питания. Действительно, согласно формуле (П1. 2.10) Ф = сопзс в точках, где — = сопз$. сс со Геометрическое место точек — '= сопзс является кривой, уравск ненне которой в декартовых координатах имеет вид: (к п)о.[ Гк (*+ и)*+ Гк =с, (1П. 2. 13) где с — некоторая постоянная. Последнее уравнение можно представить так: (х — а)о -[- уо = с (х -[- а)о + сук, (1 — с) ха + (1 — с) у' — (1 + с) 2ах+ (1 — с) а' = О, хк + ук — 2а — х + а' = О. (П1.
2. 14) Уравнение (1П.2.14) можно далее представить в виде х' — 2а — х+ (а — ) — (а ) + уз+ а = О или (х — а ~+')-[-у'=а'~( +') — 1~= ';, . (П1.2.15) Последнее уравнение является уравнением окружности радиусом 2а)~'с/(1 — с) с центром в точке хо = а(1 + с)/(1 — с), уо = О. Таким образом, меняя с, будем переходить от одной окружности-эквипотенциали к другой. 76 Гл. Пе. Плоские садани фильтрации к совершенним скваасинам га = Аи — б; га = 2а — (˄— б) где С вЂ” постоянная. Второе уравнение получаем, используя известный потенциал Ф, контура скважины. Для точек контура скважины гг =го.
Что касается г,— расстояния до скважины-источника, то адесь целесообразно сделать следующее приближение. Величина га будет заключаться в пределах 2а — г, <г,~(2а+гс. Так как гс считается малым по сравнению с 2а, то положим гз е-е 2а. Тогда второе уравнение будет иметь следующий вид: Ф,= ~ 1п — '+С. с — 2я 2а (П1. 2. 17) Вычитая уравнение (1П.2.17) из (1П.2.16), получаем Ф вЂ” Ф = ц 1п 2а(ик б) 2л ес 12а — (Л вЂ” б) ] (Ш. 2. 18) Остается найти связь между а, которое неиавестно, и параметрами Яке б. Для этого можно воспользоваться условием, что потенциалы точек М' и М" одинаковы, откуда следует, что Эти отношения имеют вид: Ан — б Пи+ б 2а — (Ян — б) 2а+Пн+б Ь удем считать известными радиус гк -= Л„одной эквнпотенциали— контура питания — и эксцентриситет б, характеризующий положение скважины. Нам придется в дальнейшем выразить линейный параметр а в (111.
2. 9) через б и Л . Найдем сначала дебит д скважины, предполагая величину а известной. Обозначим потенциалы на контуре Лн и контуре скважины гс через Ф„и Фс. Так как окружность егн является эквипотенциалью, то для потенциала точки М вЂ” левого конца диаметра — согласно формуле (111. 2.
10) и рис. И1. 3 можем написать следующее уравнение: о 2. Приток к то»синим стокам и источникам на ллоскости сс Последнее уравнение позволит нам найти 2а. Получаем 2а(В»+ Ь) — В„+ Ь = 2а (Вк — Ь) + В» — Ь, 2аб — В„+ Ь = — 2аб+ „— Ь, „г г » 2а = (П1. 2. 19) Теперь остается найденное значение 2а подставить в формулу (Ш. 2.
18). Предварительно определяем величины, входящие в (П1.2.18): 2а Пк г Ь сс 2а — („— Ь) = " — (Вк — Ь) = — "(Вк — Ь). 6 Формула (Ш. 2. 18) принимает вид: ч (Пк Ь )(Вк Ь) Ь или Ф» — Фс =,~ 1п ~ " (1 — —,)1. (П1. 2. 20) Для дебита получаем 2я (Фк — Фс) Ч= (П1. 2. 21) 1в ~ —" (1 — — г)] При Ь = 0 формула (П1. 2.
21) обращается в формулу Дюпюи. Покажем в общих чертах, как, имея эту формулу в виде исходной, получить формулы для ряда других случаев расположения скважин. Ранее была установлена связь между теорией функций комплексного переменного и теорией плоских фильтрационных потоков. Эта связь позволяет каждую функцию Р (г) комплексного переменного г = х + 1у трактовать, как поле некоторого плоского движения. Теперь заменим переменное и введем новое комплексное переменное ь = ь +1г), связанное со старым переменным г соотношением г = г (ь), где г (ь) произвольная аналитическая функция.
Первое движение происходило на плоскости комплексного переменного г и характеризовалось комплексным потенциалом Р (г). Подставляя вместо г = г (~), получаем Р (г) = Р (г (ь)] = Р, (ь), где Рг — новая функция. 78 Гл. 111. Плоские садаки фильтрации к совершенным сквасаинам ф 3. Вывод некоторых формул для притока к скважинам при помощи коыформного отображения Предположим, что на плоскости комплексного переменного г =- = х + [у дано некоторое течение с комплексным потенциалом р' (г). Введем новое комплексное переменное Ь =- З + 1 ч[, связанное со старым переменным г зависимостью г = г (Ь) или Ь = ь (г).
Отделяя в функции г = г (~) действительную часть от мнимой, получаем г (ь) = г Я + с т[) =- х Я, ч[) + су Я, ч[), откуда х=хЯ,т[), у=уф,т[), $ = $ (х, у), ч[ = т[(х, у). (1П. 3. 1) Уравнения (111. 3. 1) устанавливают соответствие между точками плоскостей Ь и г. В зависимости от того, однозначна или многозначна преобразующая функция г = г (~), каждой точке плоскости й соответствует одна или несколько точек плоскости г. Полученная из Р фуыкция Ес определяет некоторый плоский фильтрационный поток ыа плоскости ь. Очевидно, изучив первый поток Р, моясыо легко изучить поток рс (ь).
Таким образом, задаваясь той или иной преобразующей функцией г = г (~), из одного потока Р (г) плоскости г можно получить бесчисленное множество других потоков на плоскости ~. Как принято говорить в теории функций комплексного переменного, функция г =- = г (ь) реализует конформыое отображение плоскости г ыа плоскость ~. Для решения задач интерференции скважин в качестве исходного потока удобыо взять рассмотренное выше течение к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте, являющееся вместе с тем, как было показано ранее, течеыием между равнодебитными источником и стоком. Применение метода конформного отображения позволяет получить решения ряда задач интерференции скважин значительно быстрее, нежели методами, основанными на прямой суперпозиции источников и стоков. Метод конформных отображений в настоящее время широко применяется во многих физических и технических задачах.
Ряд примеров можно найти в книге М. А. Лаврентьева и Б. В. П1абата [1[. К задачам гидротехнической фильтрации — расчетам обтекания подземных контуров плотин фильтрационным потоком — систематическое приложение метода конформыых отображений было сделано впервые акад. Н. Н. Павловским [2[. При помощи этого метода удается решить ряд плоских задач напорной и безыапорыой фильтраций. Подробное изложение и ряд примеров приведены в [Лт.
11. 2, 3, 4, 5[, а также ниже в ~ 3, 4. Х 8, Вывод некоторык формул длк притока к скважинам 79 Точно так же каждой линии одной плоскости соответствует одна или несколько линий на другой плоскости. Таким образом, линиям тока и эквипотенциалям, т. е. сетке течения одной плоскости, будет соответствовать вполне определенная сетка течения на другой плоскости. При этом, разумеется, сами значения потенциала скорости Ф и функции тока Ч" будут одинаковыми на соответствующих друг другу линиях обеих плоскостей.
Рис. П1. 4. Производная в(зЩ есть также некоторая функция комплексного переменного, вполне определенная в соответствующих друг другу точках обеих плоскостей г и 7. Зто означает по самому определению производной, что предел отношения 1пн — = 1 пи Ьв . Ли+ е Лу ас.-э ~ь л1-е;ач-е ~э+ ~" не зависит от закона стремления к нулю отрезков Л4 и Лк). Отсюда следует, что в каждой точке плоскости Ь и соответствующей (или соответствующих) ей точке плоскости з отношение соответствующих бесконечно малых отрезков с(з и с(ь постоянно. Но из каждой точки плоскости ь можно провести бесконечное множество отрезков о)ьа, с(ьк, ... Им будут соответствовать на плоскости з бесконечно малые отрезки се'гн св'га, ..., также исходящие из точки плоскости г, соответствующей рассматриваемой точке плоскости ь (рис.
1П. 4). Ие Так как —. з каждой точке есть вполне определенная валид" чина, то дав сйв дв„ 1(в (1П. 3. 2) ВО Гл. П1. Плоские садаки фильтрации к совершенным скважинам Из (П1. 3. 2) следует пропорция ась Н1~ аее аье Аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя. Но агйеЬ,— это угол между направлениями элемента еЬ, и осью х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
