И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, агйИг,— агдере = агбе1~г — агдсЦа, т. е. углы между отрезками еезы е(за и отрезками е(ьы Йьк равны. Поэтому преобразование г(ь) или ь(г) называется конформным, так как оно сохраняет подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках. Пусть на плоскости з имеется скважина радиусом го. На плоскости ь ей будет соответствовать скважина радиусом р„ причем так как радиусы скважин обеих плоскостей можно считать очень малыми по сравнению с размерами областей течения, то на основании формулы (Ш. 3. 2) г =! — )й, й =) — ~гш (1П.3. 3) (П1. 3. 4) аФ так как ш„= — — — составляющая скорости фильтрации по нора'к мали к контуру.
Но по смыслу конформкого преобразования, сохраняющего подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках обеих плоскостей, согласно формуле (П1 3. 2) имеем (1П. 3. 5) Покажем теперь, что при конформном отображении дебиты скважвн — стоков или источников — сохраняются на обеих плоскостях. Для этого окружим скважину на плоскости з произвольным замкнутым контуром 1, которому на плоскости ь будет соответствовать также замкнутый контур Х.
Пусть гоп и еь1 — элементы нормали и касательной для контура 1 на плоскости з и соответственно е(е и Ю вЂ” для контура Х на плоскости ~. Тогда абсолютная величина дебита ~ ее ~ скважины на плоскости з выразится интегралом по замкнутому контуру у 3. Виеод некотории формул длк критока к океажинам д1 Подставляя зги выражения в формулу (Ш.3.4), получаем ат Сокращая на —, будем иметь е1Ь ф~ — ~(й~ =ф~ — ~)е()о~. (П1.3.6) В правой части формулы (П1.
3. 6) согласно формуле (1И. 3. 4) стоит абсолютная величина дебита скважины на плоскости ~, равная абсолютному значению дебита скважины на плоскости г. За исходный поток естественно принять простейший вид течения, например плоско-параллельное течение и'(г) = Аз. (1П.З 7) Пусть А — положительная и действительная постоянная. Отделяя действительную и мнимую части, получаем г' (з) = Ф + 1 Ч" = А (х + 1у), Рис. 111. 5. Соответствие между аквипотенциалями и линнямн тока при плоско-параллельном течении и притоке к точечному стоку на плоскости.
откуда Ф= Ах, Ч' = Ау. (Ш. 3. 8) Таким образом, зквипотенциали Ф = Ах = сонно являются семейством прямых, параллельных оси у (рис. П1. 5), а линии тока Ч" = Ау= = сопз$ — прямыми, параллельными оси х. Проекции скорости фильтрации и, и равны дФ и = — —. = — А д. дФ и =- — —. = О. ду (П1. 3. 9) Таким образом, характеристическая функция течения г'(з) = Аз определяет плоско-параллельное течение в сторону отрицательной оси х с постоянной во всех точках скоростью и = — А.
Сделаем теперь замену переменного г —.— 1п 1е (1П. 3. 10) 8г Гл. 111. Пкоекие еадачи фильтрации к совериееннн.к скважинам ~ = $ -1- 1 ц = й ев . где Здесь о, 6 — полярные координаты на плоскости ь. Тогда г = х + ву = 1п (й е ) = 1в О + 1 О, (111. 3. 11) откуда, сравнивая действительные и мнимые части, получаем х = 1в о, у = О. (1П. 3. 12) Прямым линиям х = сопз1 плоскости г соответствуют на плоскости ~ кривые 1п о = сонз1, о = сопз1, т. е.
окружности с центром в начале координат, а прямым у = сопз1 — лучи 0 = сопз$ плоскости(рис. П1.5). Следовательно, сетке течения Ф = Ах = сопв1, Ч" = Ау = совз1 на плоскости г соответствует на плоскости ~ сетка течения о = совз1 и 0 = совв1, т. е. прн А >О приток к точечному стоку в начале координат с дебитом д = 2 я А. Рассмотрим задачу о притоке к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания и решим ее 4 при помощи конформного отображения. Возьмем за исходный поток приток к точечному стоку на плоскости ~: Р(~) = —. 1в~+ С, (П1.3.13) Рвс.
П1. 6. где С вЂ” произвольная константа. Пусть на плоскости г в точке х = О, у — а находится скважина малого радиуса го, причем ось х является одной эквипотенциалью Ф = Ф , а окружность малого радиуса г, — другой эквипотенциалью Ф = Фо (рис. 111. 6). На плоскости г мы имеем приток к скважине в полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания.
Если удастся найти преобразование ь = ~ (г) или обратное г = = г (~), которое реализует конформное отображение верхней полуплоскости г в круг о = он плоскости ~, а точку го = 1а плоскости г, где расположен центр скважины радиусом г„в начало координат ~ = О плоскости ~, то задача будет реанена, р 8. Вивод некотории формул длл лритока к скважинам 88 Это и другие преобразования, которые нам потребуются ниже, приведены в любом учебнике по теории функций комплексного переменного и являются простейшими примерами конформных отображений. В нашем случае искомое преобразование имеет вид: (П1. 3.
14) яо = ~ ~ ()го. Отсюда согласно (П1. 3. 14) получаем (г+га) — (г — га) ( ( 2га ( ек Е.= Е.! — ~~ . г = й.~~ — -~~г. = г.. (П1.3.13) (к+ го)г ! г=га ~ (2га)г [ 2а Для комплексного потенциала на плоскости з получаем к'[г",(з)) =г'г(з) = .~ 1пйк — . +С=- с г — 3а г = — 1в,, -)- С, 2н г г-га (П1. 3. 17) где С вЂ” новая константа, равная С' С+ .~ 1пр. 2л (П1. 3. 18) Для дебита согласно формуле Дюпюи имеем 2а (Фк — Фо) Ч =- )и Ск Действительно, полагая з.= га, из формулы (Ш. 3.
14) получаем ~ = О, т. е. центру скважины на плоскости з соответствует начало координат г, = О на плоскости ~. Точки вещественной оси х плоскости з переходят в точки окружности о = ок плоскости ~. Действительно, полагая в формуле (1П. 3. 14) з = х — любому вещественному числу, имеем а — г агога— а откуда следует ф = йк. Таким образом, действительная ось з =- х перешла в окружность Ек плоскости ~, а точна верхней полуплоскости з.= га в начало координат ~ = О. Отсюда ясно, что формула (П1. 3. 14) и есть нужное нам преобразование. Радиусы скважин обеих плоскостей согласно формуле (1П. 3.
3) связаны соотногпением В4 Гл. 1!1. Плоские еадачи фильтрации к еовершенннм екваоеинам Подставляя сюда Ео из формулы (П1.3.16), получаем 2к (Фк — Ф~ ) 2я (Фк — Фе) ек 2а 2а 1а 1в— Ек ге ее (П1. 3. 19) Покажем теперь, как из формулы (П1. 3. 19) получить дебит скважины, зксцентрично расположенной в круговом пласте. Возьмем то же преобразование (П!.3. 14) ь=е 1у — еа у — а ~=-е,,—, =е. у+., удава (1П. 3. 20) откуда следует, что при измененииу в пределах 0(р( со з изменяется в пределах — Е, ( З ( Ек, т) = О. Центру скважины С плоскости з(х= О, у= 6) на плоскости г будет соответствовать точка С: Ь вЂ” а ьс=б=йк ь+ ° (П1. 3. 21) т.
е, на плоскости ~ скважина будет расположена эксцентрично. Радиусу г, согласно формуле (П1. 3. 3) соответствует радиус Ел „=ь у=ь 2еа ! 2а Ек = Ек ~ 0~ ~ Ы, ( Г, =, Го. е. (П1. 3. 22) Пусть на плоскости Ь заданы Е, и Ь, Выражая из (П1.3.21) 6 через б, а радиус ге через Ео, полу- чаем 6 — а =- — (6+а), б Ек б 1+— Ек 6 =- а —, с :к (П1.
3, 23) но предположим теперь, что на плоскости г центр скважины радиусом го расположен не в точке х = О, у = а, как ранюяе, а в другой точке С мнимой оси х = О, у = Ь, причем Ь+ а (рис. П1. 6). Нетрудно видеть, что точкам з = (у, у ) 0 мнимой оси плоскости з соответствуют точки действительной оси Ь, располояеенные на дей- СтзнтЕЛЬНОМ дИаМЕтрЕ ОКружНОСтИ Е„вЂ” Е» < $ К.
Ек, т) = 0 Дсйствительно, полагая в формуле (П1. 3. 14) з =- (у, имеем у д, Вывод некоторых формул длл нрытока к еквакеынам дд (+Иск У' зак (Ь+а)'= (а +а1 =- йн / (Ь+а)~ос 4и Ос 2а о~ (П1 3 24кв 2аок (( Ь )к 2азк (( Ь )е С а Уг к Рис. Ш. 7. Если на плоскости з скважина отстоит от действительной оси не на расстоянии а, как раньше, а на расстоянии Ь, то, очевидно, сохранит силу формула (П1. 3.
19), в которую вместо а нужно подставить Ь: 2Ь 2з (Фк — Фо) (П1. 3. 25) )в— ео Заменяя Ь и т, согласно формулам (П1.3. 23) и (П1.3. 24), получаем из формулы (П1.3. 25) формулу для дебита скважины радиусом р„эксцентрично расположенной в круговом пласте радиусом рк на расстоянии Ь от центра круга (рис. П1. 6): 2к(Фк — Фо) 2к(Фк — Фо) (П1 3 26) Формула (П1.
3. 26) совпадает с формулой (П1. 2. 21), выведеннои другим путем. Выведем теперь, исходя из формулы (П1. 3. 26), формулу для дебита скважин в круговой батарее нз т равнодебнтных скважин (рис. П1. 7). Пусть на плоскости з в пласте радиусом Л„вдоль окружности радиусом л(к расположено т равнодебитных скважин в вершинах дб Гл. 1П. Плоские задачи фильтрации к соверилекким скважикаи (П1. 3. 27) Полагая з = ге и и ь = йе', получаем (1П. 3.
28) Таким образом, преобразование (1П. 3. 27) переведет угол 2и — = Р плоскости з в угол тр = 2п на плоскости ь, т. е. развернет угол (л плоскости г в окружность. Согласно формуле (1П.3. 28) центру скважины г= В, на плоскости ь будет соответствовать й =В™~. Радиус скважины йс согласно формуле (П1.3. 3) равен эът» — ь йс= ~ ~ г,=тВ, г,. да ~.=., (Ш, 3. 29) Радиус окружности й» согласно формуле (П1.3. 27) равен т Е„= Вк (Ш. 3.
30) Таким образом, ва плоскости ь получается течение к скважине, зксцентричяо расположенной в круговом пласте й~=Вк на расстоянии б = В, от центра, Дебит скважины согласно формуле (П1. 3. 26) после замены значений й„й„б равен 2л (Фк — Фс) / я,зт При числе скважин в батарее т> 5 обычно член ( — ') Нк и формула (Ш. 3. 31) упрощается: 2л (Фк — Фс) 7 = (Ш. 3. 32) т!и — +)и Нк я, ' тес правильного т-угольника; радиусы скважин г„забойные потенциалы Фс Согласно симметрии достаточно рассмотреть приток к одной скважине в секторе с центральным углом р = 2 я/т.
Возьмем преобразование р д. Вивод нвкоторкк формул длк аритока к скважинам дв Формула для дебита скважины в прямолинейной бесконечной цепочке (рис. П1. 8) получается при помощи преобразования ~ =Еке' Положим з = х+ (у. Тогда вк кк .кх — (х+ во) — — в— 4 =- о„ео =. о„е о е откуда к к о ", О=— а (П1. 3. 34) Рвс, 1П. 8. Из формулы (1П. 3. 34) следует, что 1(ействительная ось у = О плоскости з переходит в окружность О =- ок плоскости ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
