И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3) может быть интерпретирована следующим образом: е (г(ь)) = —, 1и — = 2 1ы г +соызс, (П1.6. 4) у йк(Ь вЂ” 6) вал у ~ — 6 (-Ф " -Ф где т Оке сопе1 = — 1п — " 2л Ь Слагаемое †, !п(ь — 6) — комплек- т 2л оный потеыпиал сивая<ивы-стока, поме- с' щенной в точке г =6 в неограниченном пласте. Ч Пи Слагаемое — — 1ы ~~ — — ) — ком- 2л 1 Ь/ плексымй потенциал равнодебитной скважины-источника, ыаходшцейся в точке в Ек — (точка С', рыс.
П1. 11). Прису- Ь Рис. Ш. И. перпозиции этих двух скважин: одной реальыой — скважины-стока, находящейся в точке ~=6, и другой фиктивной — скважины-источника, находящейся ок ыа продолжении того же радиуса в точке ь= — (так называемое преобразова- 6 пие инверсии), окружность (г.) б йк оказгзвается аквппотенциалью-изобарой. 64 Гл. 111. Плескав вадачи фильжрации и свввршвнним скважинам Отделяя в формуле (П1. 6.
4) действительную часть, прибавляя зддитиввую константу и полагая Вс йе' =8 (сов В+1яп О), найдем распределение потевциала: Ф = Ф (0, 8) = Не — 1п — =. Пе — 1п ~ — б В 0( зз+(з(пб) — б 2и В" 2п Вк б 0 (соз 6+1 яп 6) —— б 4я = — 1п, +С= 0 (Всоз8 — б)в+Вез(пв0 ' ( 0 сов 6- — ) +Вв япвВ к1 б/ = — 1п В+ В С 4к Вв+ — — 28 — соз 6 бв б Постоянную С определяем из условия Ф =Ф„при о=Фб Дк+б — 20кб соз 0 В + —" — 20к —" соз В а бв Вк-)-б — 20ибсовВ В бв = — 1и +С= — 1п — +С, 4п е'„ —," (б'+ В'„— 28кб 6) (П1. 6. 5) откуда С =Фа+ — 1п — . Вк 4к Ьв Подставляя зто значение С з формулу (П1. 6.
5), получаем 0 (Е+6 20бгозз)Ев Ф=Фк+ 1п 4п (-'- ' Вв+ — — 20 — созз) бв б' б д Вв+ бв — 206 соз 6 — +Вк — 286 ° В е. (1П. 6. 6) Формула (ПП 6. 6) получена для случая, когда центр скважины лежит ва поляряой оси. Пусть теперь полярные коордиваты центра скважины будут б к а. Повернем ось л ва угол п и ввецем ковык лоляряый угол 0' (рис.
П1. 12). Очевидно, угол 0' и старый угол 0 связаны соотвошепием 0' = 0 — п. Тогда согласво формуле (П1. 6. 6) 0 Ее+ 6 — 206 со. 0' Ф = Фн+ — 1п 4к ВЕ' в — + В» — 206 соз 6' Е'и + 1 „В*+ба — 206 сов(6 — и) =Фи+ — 1п — + 8„— 266 соз (8 — а) Вк б. Приток к скгажикам В круговом пласте 95 Формула (П1. 6. 7) легко обобщается для многих сквангин, расноложеяных е круговом пласте радиусом Е„с постоянным контурным давлением рк. Пусть Л' скважин с цебвтами дг, ул,...
расположены в точках с полярными коордиватамн Ьл, ал; Ьл, ал,... Потенциал результирующего течения получится суммированием выражений (П1. 6. 7): г г 1 Е 1-6! — 2ЕЬ! соз (0 — а!) Ф= Фа+в 46 1и —,„ 4п + ń— 2001 соз (0 — а,.) л=л е, к (П 1. 6. 8) Рис. 1П, 12. Рис. П!. 13, Перейдем теперь к более общему случаю, когда контурный потенциал Фк переменный и является известной функцией полярного угла 6. Неггосрецстеенное применение формулы (!П.
6. 8) не приведет к цели, так как согласно (П!. 6. 8) нрк Е = Ек контурный потенциал Фк постоянный (Фк =- совет) вместо того, чтобл обратиться в заданную функцию угла 6. Для решения задачи возьмем сумму Е'+ Ь,'. — 2ЕЬ! ° ч (0- а!) Ф(Е 0) Фк+ ез1П— 4ц ь. ' — + р(0,0),(П1. 6. 6) ло — 1- Ек — 2ЕЬ! соз (0 — а,.) л=! е к где Фк — средний потенциал по периметру е — -ек (постоянная составляющая): зк Фк= — ~ Фк(0) г)0, о (П1.
6 10) а ф(о,е] — новая неизвестная функция, удовлетворяющая, как н потенциал Ф, уравйепию Лапласа. Функция ~р(0,0) внутри круга не имеет логарифмических особенностей и обязана своим происхождением переменной составляюплей контурного потенциала Фк (0). 90 Гл. 111. Плоские задачи фильтрации к совершенным скважинам Всякую периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье [7[ Ф„(0)=Ф„+ ~, (Ф„соз пО+Ф„з1п и8), и=1 (П1. 6.
1Ц где коэффициенты Ф„и Ф„определяются яз формул 2зс 2и Ф = — — [ Ф„(0) созп 030, Ф' = — ) Ф„(0) э1пп030. (П!. 6. 12) и=, и о и о Эти коэфФициенты всегда могут быть определены аналитически или численно. Очевидно, если потребовать, чтобы функция цз(9,0) на окружности 8=8» обращалась в переменную составляющую ряда (П1. 6. 11) %(У О) — ~„'(Ф соси О-[-Ф шипе) (1П. 6. 13) и=1 /О'1и ф(8,0)= ~„(Ф„соз п 8-[-Ф„з)в и 0) ~ — ) . Ок (П1. 6.
14) Таким образом, согласно формулам (П1. 6. 9) и (П1, 6. 14) потенциал Ф = Ф (О, 8) определяется уравнением ци Ф=Ф(ФО)=Фк-[- ~~ (ФисозпО-[-Ф з1вив)( — ~ + и=1 зч 3 3 Чь1 9 +61 — 2861соз(8 — а ) + — ' д;1и 4я 18 — + ΄— 2861 соэ (Π— аг) е', (1П.
6. 15) Если заданы забойные потенциалы Фы на скважинах радиусами 9„., то дебиты могут быть найдены следующим образом. В какой-либо точке М контура 1-й скважины радиусом Ост (рис. П1. 13) е з член 9 + 6. — 206. соз (Π— а ), очевидно, будет квадратом расстояния этой з ' точки до центра скважины, т.
е. О +6. — 206 сов(0 — ау) =8 .. (П1. 6. 16) В остальных членах формулы (Ш. 6. 15), пользуясь малостью радиуса Ое1, при нахождевии забойного потенциала Ф,з полагаем 9=61, 8= аз. го согласно формулам (П1. 6. 9) и (П1. 6. 11) задача будет решена. Таким образом, функция ц~(8,8), удовлетворяющая уравнению Лапласа, должна быть найдена внутри круга р=йк по ее известному значению на окружности 0=8к, которое дается формулой (П1. 6. 13) — это задача Дирихле для круга. Решение ее хорошо иввестно и приведено во многих руководствах по математическому анализу [7). Оно имеет вид: р и. Приток к скважин м о круговом нлкстс Тогда получим со I .'« /6. « Фсг'----Фк+ р (Ф«сова О+Ф„в(п а О) ~ — ) т Ок Л + — Ос 1и 4я с=г 1 Ос) + — дг 1п 4л — в+ Ек — 261 В г Ок или со 6, 1« Ф, =Ф„+ т (Ф„сов кв+Ф„в(пк о) ~ — г~ + сг к « ~ Ок «=г 6;+6 — 26161 сов(а.— а ) и — — 1п ~ — (1 — —,' )~.
е (П1. 6. 17) оаначает, что при суммировании от с =1 до г =го' Ь, в мотором расположены скважины с дебитами к давлениям и вспоминая, что Ф= —, ус =-— Од (). и получаем ив (111. 6. 15) (е)". Р (ФО)=Р«+ ~Р (Р сов и О+Р„юп ко)1 — ) + Ок О + 6; — 266 сов (Π— аг) 1с1 1п Огр , +ń— 2ЕО< (Π—,) Ек (Ш. 6.
18) с=г гт Штрих (') у суммы ~' г=г опускается член 1=1'. Для пласта мощностью 9о переходя от потенциала 6 +6; — 26 6; сов (а — а ) — + Π— 2616. сов ( а) — аг) О к 6;6,. — +΄— 26 6; сов(а.— а;) Ок '98 Гл. 1ГГ. Плоские задачи фильтрации н ссеершенннлс снеажинам Ив формул (1И. 6. 16) и (П1. 6. 17) для аабойных давлений будет сс — ъч / бз'1" Рс/=Рк+ Д (Расоз иВ+Р жни В) — + и ~бн~ а=! б; Рб,.— 26/б; сов(а.— а,) ; в б,б/ — е.йо„— 2б,б.соз(а.— а,) 6„ 4лЛЛ ~У ес,,„~ла(, е*')~ (И1.
6. 19) Кслн скважины несовершенные, то, как будет показано в 62 и 4 главы У, под дс/ следует подразумевать приведенный радиус, учитывающий ее несовершенство. Полученные выше формулы могут быть примонены к исследованию пластов и скважин при помощи карты нзобар следующим образом. Пусть для какого-либо месторождения известны карта изобар, дебиты и забойные давления скважин.
Усредненное значение параметра ЛЛ/р вдоль некоторой площади можно опреде- р, лить «ри помощпформул (И1. 6. 18) О С4 н (П1. 6.19) следующим образом. Р Выделим на карте изобар место- рождения круг желаемого радиуса 9» ,л оС; С Р (рис. П1. 14). Центр круга О следует / поместить в точке, удаленной от / р скважин на расстояние не меньше -Гн 4 нескольких мощностей пласта, По ! карте изобар непосредственно можно / определить пластовое давление в лю- /Рл//)/ бой точке круга и, следовательно, у давление Рк на контУРе Ои, котоРое, оду таким образом, будет известной фувждней р„(6) поляряого угла О.
Из уравнений (П1. 6. 12) численно [7) могут быть найдены козффидиенты Фурье р„и Р„. Тогда, вная по карте изобар давление Р (9, 6) Ркс Ш. 14. Схема каРты изобаР в любой точке и дебиты ()и из месторождения. уравнения (П1. 6. 18) можно найти йараметр Л/с/)с. Если пласт однороден, для любой точки внутри круга с координатами 6, О из формулы (1И. 6. 18) будет получаться одно и то же значение параметра ЛЛ/р. Если пласт, как зто обычно бывает, неоднороден, для разных точен с равными координатамн 6, 6 будут получаться неодинаковые значения ЛЛ/р.
Можно предполагать, что среднее вдоль площади значение Лй/р получится по давлевню рен дентре круга — ~очке 9 = О, которое также берется по карте изобар. у 6. Лриток к скважинам в круговом элисте Для этой точки из (Н!. 6. 18) имеем в я — Ъч ок г.г' !П = рн — —. д г,г! !В— 2л (сд 14 я )с 'в- рк+ 4гсуй 4.~ откуда !т Ог!и— 61 йд Р 2гс (Рн — Ро) (!!!.
6. 20) Определив из (Н!. 6. 20) lсМР, по известным забойным давлениям рой иэ уравнения (3. 6. 19) можно найти приведенные радиусы скважин поВ Такам образом, строя на карте изобар круги желаемых радиусов, содержащие внутри хоть одну скважину, можно найти усредненные вдоль этих кругов параметры пласта и скважин. ЛИТЕРАТУРА 1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Физматгиа, 1958. 2. П а в л о в с к и й Н. Н. Теории движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
