И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 25
Текст из файла (страница 25)
3. 10) Поскольку левая и правая части (Ч. 3. 10) аависят только от одной переменной — соответственно г, т, равенство (Ч. 3. 10) может выполняться тождественно только прн условии, что левая и правая части равны постоянной величине.+ йв, которая предполагается вещественной. Уравнение (Ч. 3. 10) расщепляется на два уравнения: т~л 2=о, В" + — В'-ьЛ2В = О. Если в (Ч.3.10) при Хв стоит внак минус, то линейно независимые решения уравнений (Ч. 3.
11) н (Ч. 3. 12) имеют вид. Я = е *, е *; В = йо(Хт), Уо(Хт), (Ч.З.13) гДе йо, 2'о — фУнкЦии БесселЯ соответственно пеРвого и втоРого рода нулевого порядка вещественного аргумента. Если в (Ч.3.10) при Хв стоит знак плюс, то линейно независимые реп2ення уравнений (Ч.3.11) и (Ч.3.12) суть Я = е1п йг, созйз; В = У,() т), К,(Х т). (Ч.3.14) где !о, Ко — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка мнимого аргумента (20). При 1= 0 Я=сев+се, В=с )пт+са. (Ч.
3, 15) Так как при з = 0 согласно граничным условиям должно быть аф — = О, то решения (Ч. 3,13), а следовательно, н анак минус отпадают. Этому же граничному условию из решений (Ч.3,14) удовлетворяет только функция соз Х з. Для выполнения условий на С 3.
Расчет фиаотриционново еонротивнениа Решение уравнения (Ч.З. 8) будем искать в виде (Ч.З.11) (Ч. 3. 12) рк. 'е'. Приток к несовершенны скваокинам подошве пласта ( — = 0 при х = й) необходимо, чтобы — Лз(п Л й = /дф Ъ дх = О, откуда Л =- — "„(и =1, 2, 3,...). Зто дает основание искать решение в виде Ф = со + сх 1п т + + „~ ~Аи(о( „)+ВиКо( ~" )~соз —" — „(Ъ'.3.16) и=! или в общем случае к та 1 в виде Ф=с,+с,1пт+ + )о ~Аиро( — ь — )+ ВиКо(, )|сов ~ ° (Ъ'.3.17) где й'=лй; (Ъ'. 3. 18) да = й ! д (2) ИХ~ ди = — ) д (2) СОЯ вЂ” С12 1 (' 2 иле (Ъ'. 3, 20) После простых вычислений получаем распределение потенциала, удовлетворяющее всем граничным условиям, в следующем виде: (иле) ( †) Ф = Фо — — '1п — '+ ко По д„сов —, (У.
3. 21) илх 2л е 2лоео,(иле ) й иУ' ( ь где '( — ".".-")= ( — ":.") ("."."')- ("Г) ( — ".".") ' '(."") ='(' ')'(:."')+ +)о( ~ля ) Кх ( нь )' (Ът.3. 23) со, сн А„, „— постоянные, подлежащие определению нз граничных условий на поверхностях т = т„ т = Во. Для решения необходимо предварительно д(2) разложить в ряд Фурье по косинусам в интервале 0(2(й: д(2) =- до + ~ д соз " (Ъ'.
3. 10) и=$ о В. Расчет отияьтрациоммоео еолротиеяения Здесь Д вЂ” дебит скважины, равномеряо распределенный вдоль отрезка Ь. Ниже скважина обсажена. Из (Ч. 3. 20) для этого случая имеем до= й е дя= Ь втп 20 ° л л Ь (Ч. 3. 25) тогда формула (У. 3. 21) принимает вид: 0 Не Охй Ф = Фо — — 1п — '+ — Х 2лй г леЬго ллг ) Х ъ хй ) .
ллЬ лле в1п й сов — „ а=! (У. 3. 26) Найдем теперь среднее значение потенциала вдоль вскрытой части на некотором участке 0<в<Ь„причем возможны случаи Ь, = Ь, Ь, + Ь: Ьо — Г Фо, = ь ~ Ф (гс, в) с)в Фо— 1 о — 1п — + 0 но 2лй гс в1п " ' . (Ч.3.27) О хйс + ле ЬЬдгс В реальных условиях на вскрытой части стенки скважины задано забойное давление, т.
е. забойный потенциал Ф„а на не вскрытой обсаженной части — условие равенства нулю радиальной скорости фильтрации. Таким образом, в точной постановке имеем задачу Гильберта теории потенциала для осесимметричного движения. Для коэффициентов в (Ч. 3. 16) при этом получается бесконечная система уравнений. В такой постановке задача впервые рассматривалась М. М.
Глоговским [10), давшим ее приближенное решение заменой бесконечной системы уравнений усеченной системой из 10 уравнений, которые решались численно. Выше рассмотрена более простая задача с однородными граничными условиями. Покавсем теперь, что если на некотором участке вдоль стенки скважины одно распределение давления заменяется другим, статически эквивалентным, то дебит скважины в реальных условиях будет меняться незначительно. Для этого выберем функцию д(в) следующим образом: д(г) = — = сопв$, 0 < в < Ь; д(в) = О, Ь < в «. л. (У.
3. 24) 0 Гл. У. Признак к кесоееркзенкк.«скеазаинак И4 Последнюю формулу можно представить еще так: 0 Фь =Фо —— 2лЬ ~ 1п —— Пе го клЬ ° клЬ, х в1в, в(п — „' (Ч. 3. 28) Обовначим л лЬз рз Ь ! лв ср =— Ь з (Ч. 3. 29) 2к Ьз С=— лз ЬЬ,г, П ( к л гс ) лЬ. Ь, в(п — в1п Ь " Ь кзП, (н лес) (ил го) ку' ( — с) к=з (Ч.3.
30) ни к<р а 1 Тогда согласно (Ч. 3. 28) (? Пе Фь = Ф вЂ” — (1п — '+ С) 2лЬ(озо Язь ) о=~. [з.ззн 1в По+С ° У лго / илге) П( „) (Ч. 3. 32) Рассмотрим теперь два крайних случая. 1. Пусть Ь и Ьз малы, причем пусть Ь вЂ” +О. Тогда согласно (Ч. 3. 30) ( кЬ ) з1вк~р, (Ч. 3. 33) кУ' ( — „) Таким образом, С можно рассматривать кав фильтрацнонное сопротивление, обусловленное несовершенством скважины, если под забойным потенциалом подравумевать Фьи Для случая л = 1, Ь = Ь, (Ч.3.30) обращается в формулу Р о. Расчет Срильтрационноео сопротиеяения 2. Пусть теперь Ь = Ь,.
Тогда [ плсо\ У 2кй на / аьпьп<р С= —— лес пи [ н=! [, нь (У. 3. 34) (У. 3. 35) где с — коэффициент фильтрации; з — понижение уровня в скважине (рис. 'Ч. 9); $ определнется из формулы (ьс. 1. 4). Сопоставление с опытными данными Ю. Г.
Трофименкова было выполнено по нашей просьбе А. А. Ланитиной. Результаты приведены в табл. 1. В опытах Ю. Г. Трофименкова Ь = 12 см, Во = =- 30 ам. Из табл. 1 следует вполне удовлетворительное согласие экспериментов и результатов расчета с осреднением потенциала вдоль вскрытой части. иль! Прн малых значениях <р, = — „оба ряда близки. Таким образом, такие крайние случаи — сосредоточенный расход (Ь =- О) и равномерно распределенный расход (Ь = Ь!) — мало отражаютсн на величине С, если Ь! мало.
Отсюда следует, что так как С определяет среднее зкаченпе потенциала вдоль д! при фиксированном дебите се, ьь то различные вариации потенциала вдоль Ь! при сохранении его среднего значения мало отражаются на величине дебита. Этот факт был установлен также К. Ф. Шириновым [21), который непосредственно вычислил величины С при разных видах функции д (г), и использован далее В. Н. Нико- Ряс. о.
9. Схема баанапорвоге притока лаевским [45). Прямым до- к несовершенной скважине. полнптельным подтверждением этого положения, высказанного ранее в работах [22, 23), являются эксперименты Ю. Г. Трофнменкова по электромоделированию безнапорного притока к несовершенным скважинам (рис. Ъ', 9). Из осреднения потенциала вдоль вскрытой части стенки окна>кипы, который при безнапорном притоке является линейной функцвеп высоты, для дебита получается формула, вывод которой дан виже в $5 главы а'1: р о. Расчет филътрационноео сопротивлении Согласно (У.3.22) и (У.З.
23) при х -+ со получаем , — ! — + и —. //' и/в гс 2 а (1+1 2хь + Из (У. 3. 34) для С получаем 2хь — я~р)п ч! ч' ! пв1п'п<р 21 е4 у в1п и!р (У.3.37) ягс хб гс -«и пв(рв гс «в пвфв и=! Ряд в (Ч. 3. 37) суммируется (24] вцв в1ав <рв ! во в 1 — сов 2п !р 1 / ~~ 1 ~у сов 2п !р ) «,~ и! (рв 2рв е' О пв 2!рв ( .Ьа пв ~й пв и=! и=! и= ! в=! = 2, [ з — ( ~ — я<р + вр )1 = 2 ( — — 1) . (У. 3. 38) Таким образом, согласно (Ч. 3.
37) и (У. 3. 31), учитывая (Ч. 3. 29), С = 2 1п — ' — ( — — 1) = ( — — 1) 1п — ', 2я " (Фо Фь,) 2л Ь !р (Фо — Фв„) еНо 1п — +( — — 1) 1а— л1п— гс (, !р ) гс гс 2л Ь(Фо Фь ) (Ч. 3. 39) ио 1в— гс что совпадает с формулой Дюпюи. Для расчета С по указанным выше формулам в случае однородно-анизотропного пласта можно пользоваться формулами для изотропного, но следует заменить Й на Й' = — х Й. Значения С из формулы (У. 3. 34), как нетрудно видеть из формул (Ч.
3. 22) н (У. 3. 23) при Во > 0,5 х Й, практически не зависят от Во и определяются только условиями вскрытия. Сходнмость ряда (Ч. 3. 34) была улучшена Я. И. Алихашкиным (25), который по нашей просьбе вычислил значения С, приведенные в табл. 2 для значений х Й =-= 10 м, гс = 0,1 м, хЙ/г, = = 100. При х -+ со согласно (У.З.39) (У. 3. 40) / гс Для значений г, и Во, не указанных в табл. 2, величина С может быть найдена интерполяцией численной или, что предпочтн- Гл. К Приток к нвсоввршвкным скваксикам Таблица 2 По гс По' 0.25 0,75 0,125 0,5 9,361 3,318 19,36 1931 14,07 10,403 4,500 1,040 1,019 0,7203 0,5116 0,2936 10 1 0.5 0,2 100 50 10 5 2 9,165 3,228 6,482 2,170 4,603 1,550 2,642 0.6682 Прккокакко.
С=08811 800 ивк Ко>10 и. Е= 0,0082. (У. 3. 41) Последнюю формулу можно представить в таком виде: 1)1, го ~1 1)1„~ го "") (1 1)1 001 к й (Ч. 3. 42) Таким обрааом, при + 100 можно сначала вычислить С при кй го помощи табл. 2 и результат увеличить на ЬС согласно формуле (У. 3. 42). Укажем еще способ пользования табл. 2 при малых вскрытиях, яй когда ф = — = яй мало. Л тельнее, графической.
При кЫго+ 100, чтобы не обращаться к ряду (У. 3. 34), можно воспользоваться табл. 2, исходя из следующих соображений. Проведем мысленно концентричную со скважиной цилиндричекй скую поверхность такого радиуса го, что — = 100. Тогда, конечно, если г, (( к й, движение между цилиндрическими поверхностями го и г, можно считать плоско-радиальным, следующим формуле Дюпюи (У. 3. 39), где под Фо и ФО, следует подразумевать потенциалы на поверхностях го и г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
