Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поучительно, что фон Карман сохранил в своем анализе не очень-то удачные исходные параметры (~) и 'у , выбранные экспериментаторами. Размерности рассматриваемых величин для определенности в классе .~г~Л~ 2 выра- жаются следующими соотношениями: Как видно, первые три определяющих параметра: Г , Я /4 — имеют незавксимые размерности. В самом деле, размерностью содержит массу,два других параметра ее не содержат. Поэтому ни в. какой степенм,кроме нулевой,размерность вязкости входить в'выражение размерности остальных не может.Далее,размерностьш содержит только длину, а размерность 'à — только время, Поэтому ника- кими комбинациями степеней нельзя получить размерность одной иэ этих величин через размерности двух других.
Напротив, размерность определяющего параметра 42+ ~ ф выражается через произведение степеней размерностей Г , (~ и /4. (2.9) (д 3- ~т3ГЯ3 Гу 3. Размерность опред ляемой величины сФ. .Р ется через размерности определяющих параметров также выража- 'Г,Я и Р О [у3-[т) ЕЮ ГР3 . (2.?0) Таким образом, 'Й = 3, так что гэ - Ф т . йналиэ размерностей дает (2.11) где (2.12) -'ледовательно, согласно (2.П ), отыскание исковой зави- симости перепада давления от определяющих его четырех переменных 2 = /'~х, (Р,„эг ф ) сводится к определению функции ф одной составной переменной Л : ф [~?й ) носк,льку соотношение (2.11) кожно записать в ваде (2.13) ностей был проведен заранее, то обьем экспериыен алькой ргботы физико-хкыиков сократился во много раэ. 2.
Замечателен следующий приыэр. При атомном взрыве про- -.2/З л Ф Зто означает, что в координатах фф щ я , )с ~,/4 Х все опытные точки долины лечь на единую кривую. Выполненная Т. фон Карманом обработка данных иэыерений Бозе-Рауэрта-Бозе подтвердила это (рис. 2А). Ясно, что если бы анализ размер- исходит быстрое (можно сказать мгновенное) выделение вначительной энергии лГ в малой области (можно считать в точке), В месте взрыва возникает сильная сферическая ударная волна (рис. 2.о), давление за фронтом которой на начальной стадии взрыва во много тысяч раэ бельме, чем началькое давление воздуха, вли- янием которого на первой стадии взрыва можно пренебречь. Таким образом, радиус фронта ударной волны х ха через промежуток времени 1 после взрмва зависит от величин Ю Ю т ° и начальной плотности воздуха ф су , так что 0 и. 3. Размерности определяющих параметров в классе .ЕьМT суть соответственно [Х3-3 ИЧ .Е~1 7;Е~ 3-МЛ, ~.
(2 „) Нетрудно показать, что размерности всех определяющих параметров независимы, так что Ф токе равно трем, л - + ю О Поэтому функция ф в соотношении (2.6) в данном случае не вависит ни от одного аргумента, т.е. представляет собой просто постоянную: ф~ Со ~а1 . Далее, размерность определяемой величины т. юса выражается через степени размерностей опре- Ф делающих параметров: как нетрудно проверить ~-~Ю ~ГП Ь,Г ~ Стало быть, (2.1о) откуда получается (2.16) Эта формула показывает, что если измерять тем или иным способом радиус ударной волны в разные моменты времени, то в логарифчических координатах ~~ Е ~Т/Ю~ ~~ йлс экспериментальные точки должны лечь на прямую Х .Е г'~ г Л ~ и и ф~(Йеэл)т ~~ + ф~л Уо (2.17) имеющую наклон, равный единице.
Это подтвердил Дж.И.Тейлор, ко- торому принадлежит приведенное выше рассуждение, обработавщий хинофильм о распространении огненного шара, снятый во время американских ядерных испытаний Дж.Маком (рис. 2.6). Решение со- ответствующей задачи газовой динэмики (Д.И.Седов, 1946; Дж.И. Тейлор, 1941, 1050; Дж.
фон Нейман, 1941, 1963) показало, что эначенке постоянной СЬп.э~ близко к единице. Зная это, пинк, т.е. по отрезку, отсекаемому пос роенной по эксперимен- тальныи точкам прямой (рис. 2.6) на оси ординат, определить энергию взрыва. Публикация Дж.И.Тейлором этой величинм, оказавшейся равной примерно 10 эрг, вызвала в свое время, по его словам, немалое смущение в американских правительственных кру- гах: зта цифра считалась строго секретной, хотя фильм Дк.Мака секретным не был. 3.
Н замечательных опытах Дж.Бенбоу и Ф.Реслера (1956, 1960) штамп с малым плоским торцом круговой формы вдавливался можно по экспериментальной завксимости радиуса фронта от време , в грань образца ив хрупкого материала - стекла или плавленного кварца (рис. 2.7). Под штампом образуется и с увеличением нагрузки распространяется коническая трещина: диаметр основания трещины быстро становится гораздо большим диаметра штампа.
Естественно рассущдать так: диаметр З основанил конической трещины зависит от действухш(ей нагрузки Р и характеристик материала; его трещиностойкости, модулл сцепления К специфическсй характеристики, определяхщей сопротивление материала распространению в нем трещин,и коэффициента Нуассона ъ~ ; размер диаметра штампа при достаточно больших нагрузках гораздо меньше диаметра основания трещины,и его можно считать несущественным . Как показано в теории хрупкой прочности, с точностью до пост"янного множителя трещиностойкость К равна произведению максимума напряжения сил сцепления сз , действующих в головке трещины, на квадратный корень иэ размера ху головки, Л ' сж у Р .
Напряжение имеет размерность давления. Следовательно, для размерностей (в классе ,~х 7 7 ) получается зд ~~~~ ~,~~ -~-~" ЕХ1- )С'~.,(м.7- Ф. (2.1Н) Таким образом, размерности определяющих параметров Р, Уь независимы и анализ размерностей дае-, очевидно> ,8/З ..Г) (2(з/Ж ФЫ. (2.19) 1) Как известно иэ теории сопротивления материалов, при задании нагрузок, действующих на тело, поля напряжений, дейст- вующих в теле н определяющих размер трещины, от другой упругой постоянной, модуля Юнга, не зависят. Г ~этому модуль Юнга сре- ди определяющих параметров не фигурирует.
Выполненная Дж.Еенбоу обработка опытов, проведенных со штемпа- ми Разнмх диаметров при разных нагрузках,подтвердила это соот. ношение (рис. 2.8). 4. Приведем еще один, на этот раэ скорее забавный, примеР применения анализа размерностей: "докажем" с его помощью теорему ПиФагора . Площадь прямоугольного треугольника 5' вполне 1) определяется его гипотенуэой С и для определенностл мень . шим из его остРых Углов (ур . Таким обРазом, 5 = т' ("с 9>~ фь 2. Ясно, что д 1, поскольку гР безразмерно. Анализ размерностей дает Высота,перпендикулярндя гипотенузе основного треугольника, раек вает его (рис.
2.9) на два пряиоугольных треугольника, по- добных основному, с гипотенузами, равными соответственно катетзм основного треугольника а. и ~ . Соотношение (2.2()) дает для площадей эти» треугольников (2.21) Здесь ф~(уй~ ' — та же функция, что и для основного треуго- льника. йо суима площадей треугольников 5 и 5~ равна площади 1) Этот пример Рйссматривался также в книге А.Б.Мигдала (1975).
Слово "докажещ" взято в иавычки по следующей причине: это доказательство опнрается на соображения подобия, которые в строгих курсах 'еометрии излагаются после теореыы ПиАагора. Автор ни в коем случае Ие рекомендует зто доказательство для замены существующих в шйольных курсах. 5 основного треугольника: 5 5 ° 5 шс ф( р) гйа ф;,р)+ К~фар) и.22) Сокращая в последнем равенстве на фДйру, получаем С =я ть8 что и требовалось доказать. Заметим, что теорема существенно опирается на евклидовость геометрии: в римановой геометрии и геометрии Лобачевского имеется внутренний параметр размерноети длины з . Поэтому Функция ф зависит уже не от одного, а от двух безразмерных аргументов: угла Гр и отношения гипотенузы к внутреннему параметру. Для основного треугольника вто- рой аргумент составляет с/ А , а для первого и второго вспомогательных треугольников соответственно а / .х и 6'/ А , так что сократить в равенстве (2.22) на ф нельзя, и приведенное доказательство теряет силу.
Рассмотренные примеры подтвердили то, что было сказано выше о пользе применения анализа размерностей. Они показали, что тривиальные, казалось' бы, соображения анализа размерностей могут дать вполне содержательные результаты, особенно если чис- ло определяющих параметров с независимыми размерностями нена- много отличается от общего числа определяющих параметров. Поэтому важнейшим элементом становится правильный выбор совокупности определяющих параметров; важно не только учесть все существенные параметры, но и не привлечь ли~вниз! Совокупность оп- ределяюших параметров находится относительно просто, если имеется мктематлческзя 4ормулирозка задачи . Зто — независимые 1) Как чы увидим в главе 5, тут тоже есть свои немалые тонкости. переменные и постоянные параметры задачи, входящие в уравнения, граничные, начальные и т.п.
условия, определяющие, и притом единственным образом, решение задачи. Правильный выбор определяющих параметров в задаче, не имеющей явной математической формулировки, определяется прежде всего интуицией исследователя. Успешность применения анализа размерностей в таких задачах связана с правильным пониманием того, какие определяющие параметры на самом деле ваки", а какими можно пренебречь. Напомним, что возможность пренебрежения каждым определяющим параметром в звдаче на порядок пон"жает трудность ее решения! ГЛАВА Ш. ПОДОБИЕ 1. Подобные явления Прежде чем изготовлять дорогостоящее и крупное сооружение, например, корабль или самолет, для получения наилучших его характеристик в предстоящих условиях работы прибегают к кспыта- ШЬЗШШ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
