Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 10
Текст из файла (страница 10)
предыдущий пример). Приведенный примвр показывает, в частности, что надо быть остороиньзе при опрвделении парамвтров подобия. Например, считая размерности механической и тепловой энергии независимыми и нв приняв во внимание определяющий параметр - механический эквивалент тепла, ыы не увидим ограничений на толщину слоя в модели.
изиду тем,явления в толстых и тонких слоях существенно раз- личаются, подобия изиду ними нет, и первсчет тепловых потоков по простому соотношению (3.27), вообще говоря, невозмоиен. Дв- лэе очевидно, что если измерять тепловую и механическую энергию'одншчи единицвми (т.е. перейти от класса 1МТ96~ к классул г1Т9) ничто в сделанных выводах не изменится: хо- тя механический эквивалент тепла исчезнет из рассмотрения,но разность общего числа определяющих параметров и параметров о независииыми размерностями остается постоянной. Несуществвнность вклада вязкой диссипвции в тепловой баланс будет означать, что явление определяется не теплоемкостью С и теплопроводностью Ъ в отдельности.
Определяющим параметром будет их отношение, входящее в так называемый коэффициент теыпературопроводности Зг ~ ~) /~с ( о нем подробнев см. главу 4). Это приведет к уменьшению общего числа опредвляацих параметров и исчезновению параметра подобия Л ГЛАНА 1У. АВТОЮДЕЛЫЮСТЪ. АИТОЮДЕЛЫЛЫ РБАЕНж 1. Автомодельность Решающий шаг зо всяком исследовании — установление того минимума сведений об изучаемом явлении, который на самом дале необходим. Все остальное следует оставить при исследовании "за кадром", Именно по такому пути идет точное естествознание, начиная с Ньютона. Заведомо всегда отбрасываются детали, от слу- чая к случаю нв воспроизводящиеся и не рвгистрируемые в опы- тах. Таким образом, для исследователя на свмом деле представлявт основной интерес нв столько таблица значений функции тс' задающая зависимость изучаемой характеристики а.
от определяющих параметров бь ... СУ 3 Ф а ~~сгт,...,ср ), сколько закономерности, определяющие зту зввиашюсть в чем-тс главном. Лля иллюстрации этой мысли приведем пример из области изобразительного искусства: на достаточном, но все ие не слишком большом удалении какдый узнает на рис. 4.1 Мону Лизу Леонардо. Если ие рассмотреть этот рисунок вблизи, станет видно, что он предстазлявт собой располоиенные в определенном порядке 560 одноцветных кввдратоз.
Известно, что у специалистов па полиграфии существует нумерация цветов, так что зсе, двие тонкие от- танки цвета на рис. 4.1 имеют свой номер. Таким образом, "точным" представлением рис. 4.1 была бы таблица иэ ббб ячеек та- кого примерно вида; Таблица 4.1 Ф квад- рата М цвета квадрата бР КОЛОНКИ 1 1 1 2040- бг' 20 У 2 1 2 4000 4,20У Такая "точность", очевидно,не вносит, а убивавт понимание яв- пения, в данноы случае — художественное восприятие картины..И совершенно так из обстоит дело в любом научном исследовании. Поэтому первое, что обычно интересует исследователя, это раэ- рые и представляют основной интерес. Тек вот, очень чаото явления в таких проыекуточных диапа- зонах времен иля расстояний от границ как бы утрачивают харак- Рббббббб.б хвш'.
р.В - 'р-- - -"" яээиюю яй " *вррре " "' яр'.лрвэк ' ш! р рию рр ~ рр р бр б б Например, овойотвОЫ автоыОдЕЛьНОоти Обладает движение га- за, возникающее при атомном взрыве на промежутках времени, когда ударная волна прошла раостоянил, большие Оравнитвльно о рази ром заряда, но вое ке еще достаточно малые, чтобы ударная волна оставалаоь сильной (ср. главу 2, ривер 2, с . % ), так I что пеРепаД давления на волне остаетсЯ все еще много большиы витие явления на таких проыеиутках вреыени и таких раеотояниях от границ, где влияние случайных начальных деталей или тонких деталей пространственного строения границ уже изчезло, но систе- ма еще далека от своего конечного состояния.
Именно здесь на- иболее четко проявляютоя главные закономерности явлвния, кото- - 77- атмосферного давления. Автомодельность явления означает, что его "мгновенные фотографии" зсе время остаются одними и тами ке: меняются только масмтабы. Возьмем для определенности зависимости давления от расстояния т от центра взрыва, схематически ивобраиенные для разных моментов времени 6 кривыми на рис. 4.2. Эти кривые подобнм одна другой. Если ввести зависяцие от времени масвтаб расстояний от центра взрыва, наприиер радиус фронта волны Ф~, к мвсмтаб давления, например давление на фронте волны ф~~, то в приведенных переменных в/к ~~ ) ф/ф~у Я) все кривые рис.
4.2 ломатся на одну едяную крирую (рис. 4.3). Читателю полезно проверять все зто самому, опираясь на рассувдення примера 2 главы 2. При ясследовании автомодельных явлений применение анализа размерностей приобретает фундаментвльное значение. Дело в том, что рассмотрение методом анализа размерностей задач, для которых имеетоя математическая постановка: дифференциальные (или интегральные, или интегро-дифференциальные и т.д.) уравнения, начальные и граничные условия н т.п.-возволяет установить автомодельность явления в тирском класса случаев .
Более того, в таких случаях анализ разиерностей дает возмовность найти при- веденные ("автомодвльные") переменные. Мы продеьонстрируем сяа ванное здесь на показательных примерах задач математичеокой теории теплопроводности. 2. Уравнение теплопроводности. Начальное и граничные ус- ловия Рассматривается распространение тепла в длиннои старине Хотя и далеко не всегда, ср. главу 5.
- 78- (рис. 4.4) с постоянными вдоль всего стержня сзойстззми материала (какими - будет сказано нике) и плошадью поперечного сечения. Боковая поверхность стержня - теплоизолирозана. Поэтому притоком (или оттоком) тепла через боковую поверхность стержня пренебрегается,и распределение температуры поперек стериня считается равномерным. Таким обрезом, теьпературэ Ю зависит только от продольной координаты поперечного сечения стержня юе и времени 6 , но не зависит от поперечных координат точек сечения. Возьмем участок стержня между близкими поперечными сечениями с координатами м и ж т с6~ .
Объем выделенного участка стержня составляет Л а~х , где Я - постоянная 1по условию) плошадь поперечного сечения стержня. Количество заключенного в этом участке стержня тепла составляет (с точно- стью до малых величин более высокого порядка, вклад которых пренебрежимо мал при с/зс -и 0 ) З~зС 85 «йсю , где ф> постоянная плотность материала стержня, а С вЂ” теплоемкость единицы массы, такие являющаяся постоянной характеристикой ма- териала стериня, Изменение этогь количества тепла эа малый промежуток времени между моментами ю' и й' югч: составляет, также с точностью до малых величин более высокого порядка ~В Мах+ Р(цсВБах) й]-усей -~сБ~В у .й. 6 Поскольку тепло в стеркне не пороздается, не уничтожается и не уходит через боковую поверхность, это изменение создается только за счет равности между притоком тепла в рассматриэземый участок стержня через сечение ас и оттоком тепла через сеченые ос г атэс .
По через сечение юю внутрь рассматри- завмого учаотка отаркня эа время М втекает количество тепла 5~ а~ч . Здесь Я - поток тепла, т.е. количеотво тепла, протекающее за единицу времени через единицу площади поперечного сечения. Через сечение Х' 'ау~ из рассматризаемого участка стеркня за то ке время вытекает количеотзо тепла Л ( щ. зь с) с3 а(~ ) о( 6 .
Поэтому в данном участке отериня за время с~~ накапливается количество тепла - 5Д с» сйэачтит, Приравнивая оба выракення для изменения количеотза тепла, заключенного з рассматриваемом у,астке отериня за время а46 , и сокращая на 5Ж~:~6 , находим (4,1) П математической теории теплопрозоднооти принимается ос- новноя закон Фурье, согласно которому поток тепла Я пропорционален градиенту температуры и направлен яротив него: (4.2! В этом уравнении Ъ вЂ” теплопроводнооть, характеристика матв- риала отеринл, величина, по уоловию, постоянная, так ке как площадь Б , плотнооть ~ и твплоемкость с . Подставляя (4.2) и. х ), у * р ур далилам у лнт пение теплопроводности: рр.
р2 (4.3) ~ее Постоянная величина лг А/~с назызаетоя, по пр())~- ломанию Кальвина, твмпературопрозодноотью материала. Уравнение (4.3) необходимо дополнить начальным условием которое определяет, как была распределена температура по старк- (4.4) отераня. Будем для определенности считать, что температура на кразх стераня подаервквается постоянной и разной нулю. Тогда граничные условна, выражающие зто обстоятельство, имеют зид (4.5) 3.
Первая ввтомодельная промеиуточная стадиа Рассмотрим званый частный случай, когда з нвчакыей момент все тепло сосредоточено в малой области толниной ль вблизи сечения ~ 'Х' (рис. 4.4), в в остальных сечениях отервня начальная температура равна теинературе, при которой подяерииваются юнцы стернин, т.е. нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
