Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 12
Текст из файла (страница 12)
((У. О О О Отсюда и из (4.21) следует, что величина (4.22) О не зазись. от времени. Квк нетрудно получить из начальных условий, .М к 14) "с . Рассмотрим теперь времена порядка О Х О/ф , когда рознер прогретой области уке много больше О расстояния от источника до бликнего края ж , но еще сущест- -О ванно меньше расстояния от дальнего края л= ос . Для много больших ,х влияние деталей распределения температуры, О сформировавшегося, когда область прогрева достигла бликнего края стеркня От = О, долкно исчезнуть и температура будет зависеть только от величин ~ 4О , ЭГ , .Я , ОО (4.23) Здесь ь - некоторое зффектизное время начала рассматризае- О иой второй стадии процесса, которое ыы определим позднее. Соот- 8 ношение (4 22) показывает, что ~М~ 9.Е-ю , так что из анализа размерностей получаем вполне аналогично предыдущему (читатель легко проделает сзи соответствующие выкладки) Подставляя (4.24) з уравнение (4.3), находим, чйо функция ф Ю удовлетворяет обмкновенному л)ер()еренциальнсму урав нению (Рф ~ф ,2 Ф+ ~2) ';ф-О.
(4.26) Лакее, Функция ф удовлетворяет, очевидно, уоловкям пря ф 0 и на бесконечности ф(О)-0. Ф~ )-О. (4.26) Условие (4.22) позволяет получить, вколне аналогично ооотноиению (4.16), интегральное ооотношение, которому долина удовлетворять 4ункция ф у ' /Ф Ф, ®'Ф О (4Ю) Звметим, что, как нетрудно убвдитьоя, производнвл к~ф/арф бункции (4.1т) удовлетворяет и уравнению (4.О6), и уолоеию (4.26), твк что реиенне уравнения (4.25), удовлетворите(ев уело ° вию (4.26), представляется в виде ,ь 2~4 ф=23Фе (4.26) где,Я - поотоянная.
Для ее определения воойользуемоя уело- Здесь мм , воспользовалиоь невест~ам значениен интеграла гиен (4,37), имеем оо ЛЯе-4'"~Г-ЗЗ /ге 'Ч-РЗЯ-~ „„, О О юо /л~е Чс Щ~е О Отсела н из (4.28) получается окончательное вмреюзние для ре- юеьия, описнзающвго в ярую промежуточную стадию процесса: р М~- -«94х(ь-ее~ ( ) ГЩ )гй-4/ „е Ость аееся неопредвленньм зф(ективное время начала второк стадии ь находится следующим образом.
Решение (4.30) при И',Лег б' можно разложить в ряд по шелому параметру ~~/Е о м представить в виде - ~~Гч(лг и' 2Я (м е)~~ -яи + величина порядна ( ~о Л Р . Занетин теперь, что в рассматриваемом диапазоне времен распределение температуры должно отвечать сосредоточенному в сечении осз ю: мгновенному источнику тепла ~ в полубеско Ф ночном ствркно, Соотзетствующве решение просто строится при по- мощи полученного в предндушен разделе решения задачи о мгновюь ном источнике в бесконечном стержне. Именно, стропи решение двя бесконечного старина, отвечающее мгнозенннм источникам мощ- ногти ф в сечении зсюб~, н мощности-4) при о~и-зг / ~~- Гас+еще~ (У)~ — - ~Е ЕЮЮ вЂ” Е Им ~~. (4,Зг) ~~'л')гЮ Нетрудно задеть, что услозне д/0~ 'д д длн мого " 91- решения выполняется.
Разлагая решение (4.32) в ряд по малому параиетру шс /м, получаем с той ше точностью, что и (4.31) л,~~6 мш э ос /4мш' в Япэ е ,Рф (я~(~ У/л уэг~) Сравнивая вторив члены уравнений (4.31) и (4.33), находим 3' ° -.х Ф» . л Иногда полученное выше ре.пение (4.30) называется тепловым диполеи. Как видно, оно тоне обладает свойством автомодельности. Нетрудно найти сечение ж~:с Я ~ , где температура - решение (4.30) - достигает максимума. Обращая з нуль с' о) накоднм, что з этом сечении ~ ' (/Т , тэк что ~ ..ш у), ~ъ я-'э,'т ; максимум температуры достигается в подвииной точке, Подставляя это выраиенне в (4.30), находим зе- личину максимума температуры -и РХ у-э - „алэ —.„ (га)у"х~4-~ ) .' )гМ- 'о,) Построенное решение представлено нв рис.
4.8. Оно годится / З для описания явления увв для времен, болыких си~,/», но зсе вие меньших времен порядка 0 Ф ( к -сев,),/А' . для иоторых г зяияние подогрева. достигает дальнего края. Полученные результаЯ ты показательны: при временах, много больших О г'а, /л', но меньших О У Х' /К распределение температуры близко к азтомодвльному, данному формулой ~4.19): я -~~-~ ув/Фкшс 1У" —, Е Я1'Ям4 (4.38) 41 у ~~/у ПС ~< Ф у~~ /м С другой стороны, в интервале времен от шс 'й/)т до в а т Юввс М~ ~ЮО.х> Г)г Распределение температуры близко к автомодельному, данному Формулой (4.30): [4.36) х ~» ~~ Ю~)~ ~», Таким образом, автомодельныв точные решения (4.19) и (4.30) частных идеализированных и сильно схематизированных задач ярвдставляют собой приблияенные представления решения более широкой задачи, пригодные с хорошей точностью в определеннмх достаточ- но широюпс (два порядка!) диапазонах времен наблюдения.
5. Значение автомодельных решений Проведенное в втой главе рассмотрение было предназначено проиллюстрировать идею автомодельности и автомодвльные решения Получение автомодеяьных решений всегда считалось успехом исследователя. Дело в том, что автомодельность позволяла во многих случаях свести решение уравнений в частных производных той или иной задачи математической физики, зачастую нелинейных, для которых зто было особенно вакно, к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. По сушествовавшей в домашинную эру иерврни, зто уменьшало трудность исследоввния. (;эявление вычислительных мешин изменило отношение к авто- - 93- модельным решениям, но не уменьшило интереса к ним. В домашинную зру считалось, что переход от уравнений в частных проиэво-.
дных к обыкновенньти уравнениям всегда упрощает исследование. Постепенно ситуация усложнялась. Во многих случаях оказалось, что численное решение обыкновенных уравнений, к которым пригодилось построение автомодельных решений, не проще, а сложнее численного решения уравнений в вастных производных. И тем не менее, автомодельность по-прежнему продолжает привлекать внимание как глубокое физическое свойство процесса, свидетельствующее о наличии определенного типа его стабилизации. Действительно, хорошо понятно, насколько информативно такое утверждение: явление устанавливается, оно выходит на стационарный режим.
Столь же информативно утверждение о том, что явление выходит на автомодельный режим. Автомодельные решения всегда представляют собой решения предельных, "вырожденных" задач, в которых входящие в задачу параметры размерности неэависимь:х переменных принчмаот нулевые или бесконечные значения. Так, в рассмотренных выше идеализированных постановках задач стержень считался бесконечным или полубесконечным, протяженность области начального тепловыделения - бесконечно малой, тепловыделение-мгновенным.
Коли бы ото было не так, автомодельность не имела бы места. Поэтому в представлении большинства исследователей авто- модельные решения длительное время оставались лишь изолированными "точными" решениями отдельных частных задач: иэящныыи, иногда в меру полезными, но все же весьма ограниченными по своему значению . атрибутами физических теорий. Только постепенно осознавалось, что значение этих решений много шире. На самом деле оказалось ( мм видели это в предмдущих разделах на примере задач теории теплопроводности 1, что автомодвльные решения опи- смвавт нв только поведение физических систем в некоторых частагх условиях, но и "промекугочно-асимптотическое" поэеденив реиений более вироких классов задач з тех областях, где этн реяения перестают зависеть от деталей условий з начале или на границах, но система еще далека от предельного состоянкя.
Такой, полокенив типично,и это сильнеймим образом уэелкчиэзет значение автомодвльних ревений. гам у. йьтомодкльннк РБ)и)ии пкрього и второго Родй. палили и нкпалнлн йвтамодкльность Для задач теории теплопроводности, рассмотренных в предыиуигй главе, оказалось воэмоиньм установить автомодельность решений и определить автомодельные переменные, опираясь только на анализ размерностей. Так бывает, однако, далеко не всегда. Часто оказывается, что автомодельное решение в задаче имеется, но одного анализа размерностей для вго получения недостаточно. Мы увидим это сейчас на простом примере - задаче обтекания кли на идеальной 1лииенной внутреннего трения) иидкостьв. После этого мы разберемся, почему в одних случаях анализа размерностей для построения автомодельных реиений достаточно, а в других - нет.
Это приведет нас к покаэательныы обеим выводам. 1. Пример - задача обтекания клина Рассматривается (рис, 5. 1а) установивиееся симметричное обтекание клиновидного тела поступательным потоком идеальной яидкости постоянной плотности, двикущимся со скоростьв ~У пер- пенцикулярно передему ребру клина. Систему прямоугольных,цекартовых координат выберем, как показано нв рис.
5.!а: ось ~ проведем в плоскости симметрии клина параллельно скорости по- тока, ось у. проведем вдоль переднего ребра клина, ось ,у проведем перпенцикулярно обеим этим осям. Мокно считать, что двикенне одинаково зо всех плоскостях, 1к1рпендикулярных перед- нему ребру клина. Таким образом, компонента и , скорость вдоль оси у , равна нули, а продольная и и поперечная и компоненты скорости зависят только от координат .~ и у .
Об- пасть движения кидкости очень велика; будем считать ее бваконечной. Кратко напомним вывод хорошо известного гидродинаыическо- го соотношения:уравнения неразрывности. Это уравнение отража- ет тот факт, что жидкость в потоке не порождается и не уничто- которые возникают иэ-за переменности скорости вдоль граней: ик относительный вклад стремится к нулю с уменьшением размеров элемента). Стало быть, превышение объема вытекающей инакости над объемом втекающей составляет /Э и г Э,иш, )«(ж:ю~у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
