Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для последующих оценок естественно к удобно г у Ф перейти от параметра С .~ к обратной ему величине /7 сж 1 екм Г/» 7ге , имеющей смысл локального числа Рейнольдса, и и б ' 4 аналогичной величине,П л ( ~Р~ *ч ы~Л Г~~ ! имеющей смысл глобального числа Рейнольдса. (В локальное чилло Рейнольдса входит локальная координата р , а в глобельное— внешний размер (ь . Глобальное число Рейнольдса ~с~ отлича- Ф ется от обычно используемого в гидравлике течений в трубах и каналах числа Рейнольдса тем, что в него входит динемичеокея скорость ве , а не средняя скорооть потока в трубе).
Итак, получаем д .б Р и/ьгв ф (7ъ, /гь„„). (6Л) Оценим теперь величину параметров подобия Эта и 7гЬ„ -2 2 Ь потоке воды ( ьФ = 10 см /с) даже о небольшой динзмичео- кой скоростью И. = 10 см/с локальное числа Рейнольдоа уже на расстоянии одного миллиметра от стенки равно 100, а глобальное число Рейнольдса даже дкя неширокой труби дизметраи 10 см сос- тавл"ет !0000. Позтому вне малой непосредственной окреотнооти -119- расстоянии от стенки зависит, очевидно, от ситуации в малой ок- рестности 'стенки, в которой локальное число Рейнольдсв нельзя считать большим. Итак, в предполоиении полной автомодельности по локальному и глобальному числам Рейнольдса (зто предполоиение восходит к Прандтлш и фон Карману) получаем иэ (6.5) ,(',( ч. е) и/зх„'э ф(х О,ОО) в Сопя|.
(6.6) Константа в уравнении (6.6) обозначается традиционно черев МГ ; постоянная лт называется константой Кармана. Ясно, что в сделанном предполоиении о полной автомодельности по Лэт и ~Ре постоянная Кармана долина быть уннверсальн«й, т.а. одной и той ие для всех чисел Рейнольдсв потока. Интегрированна (6.6) дает универсальный легары(мический закон распределения скорости поперек потока.
тй~ —" А~ ~ СЬ,ай ° Эх котармй обмчно представляется в виде (6.7) — А — "~ и СЬ ь.8. (6.8) Ъ у На первый взгляд универсальный логарнймический закон удо- вветворительно подтэерадается деевыми намерений распределений стенки оба зти параметра велики.
Естественно выяснить воэыоиность применения в пристеночной области сдвигового патока вне малой окрестности стенхи предельных законов подобия. Звметии, что именно келвине построить предельные законы подобия привело 'нас к рассмотрению градиента скорости, а не семой скорости.
Дело в том, что скорость [ в отличив от ее градиента ) на лабом - 1.20- средней скорости течения в гладких трубах и каналах (рис. 6.2), причем численное значение постоянной Мариана )Г получается раиным примерно 0,4. Однако более детальный анализ опытных данных обнаружил систематическув зависимость константы Кармана от ч..эла Рейнольдса потока. На опыте получается, что с ростом числа Рейнольдса постоянная )1 уменьшается н притом достаточ- Танин образом, нвйююдаыт- но заметно ся хотя и небольаие, но систематические отклонения распределения скорости от универсального легари(мнческого закона. В согласии с принатой рецептурой щюанализнруем (Г.И.Баренблатт, А.С.Монин, 1976) возможное предположение о неполной ° втомодельностн по лоиэльному числу Рейнольдса при отсутствии автомодельности по глобэльному числу Рейнольдса. В предположения неполной аэтомодельности по Ры соотномение (6.5) дает ~Р и,/юэ„а~юэ ~/ы) ф ~'йре,) (6.9) где показатель степени Ъ такие считается зависящим от глобального числа Рейнольдса 7та .
Интегрируя (6.9) н полагая, в согласии с опытом, постояннув интегрированмя равной нули, по- лучаем степенное распределение скорости Ф~1 Ъ 14 аа э (6.10) Ъы" К С')Ре„) , где мп обозначили чеРеэ» Гдзеа,) величинУ У/ф ГРЕ ). 3и Степенные законы для распределения скорости в турбулентных сдвиговых течениях предлагались в ха .зстэе эмпирических законов задолго до возникновения универсального логарифмического закона (6.8).
Они прехрасно подтверид ются многочисленньэюи эисперимен- - 121- тами, средИ котормх оледует отметить классические опмты с тур-, булентньыи течвниями в гладких трубах Мебиуса ( 1932), Никуредле (1922), Лауфера (1954). Сгепеннью законы (6,10) для распределения окорости о показателем отепени, зависящим от глобельного числа Рейнольдса,подтверждаются заведомо не хуже, чем универсальный логарнфмическкй закон (6.3) (см.
рис. 6,3, построенный по тем же данным Никурадэе, что и прямолинейный участок рис. 6. 2). Принято считать, однако, что универоальнмй логарифмический закон имеет в отличие от степенного теорети- . ческое обоснование, а степенные законы представляют собоР всего лишь эмпирические соотношения. На самом деле, как мы видели, степенные законы обосновываются,исходя из предположения о не- полной автомодельностн потока по локальному числу Рейнольдоа, не хуже, чем универсальный логарнфиичеокий закон обооновывает- оя,исходя из предполокения о полной автомодельнооти. Данные опытов названных выло авторов позволяют определить (рио.
6А) зависимость '7~ ЛЪш ) только до 7Ре Ю Х е Пока остается неясныи поведение этой зависимости при еще больших числах 'Рр ! стремится ли Ъ при возраотании 7(Ъ к ш нулю или к некоторому постоянному пределу, отличному от нуля7 Последнее означало, бы, что универсальный логарифмический закон, строго говоря, вообще не имеет места. даже при очень больших числах Рейногьдоа и являетоя лишь прибликенным представлением опытных данных. 3. Пример - законы подобия для зависимости интенсивности дыхания животных от их массы ) Кешдое кидвтное обладает органом дыхания, котормй погло- щает кислород из окрулающей среды.
На первый взгляд, часть етого органа, непосредственно усваивавшая кислород, можно представлять себе схематичесчи в виде линии (тах будет, если орган ды- хания состоит яз одного или многих усов), в виде поверхности или в виде некоторого объема, содеркащего, подобно почкам, множество мелких поглощающих клубков, разделенных порами, по которым двикется вода или воздух, содержащие кислород. (Действительное полокение вещей, иаи мы увидим, окакется слокнее), Таким образом, орган дыхания кивотного характеризуется некоторой удельной поглощательной способностью ф , т.е. количеством массы кислорода, поглощаемой за единицу времени соответственно единицей длины ( гь = 1), или единицей поверхности ( гь = 2) или единицей объема ( гь = 3) органа дыхания.
Разумеется, удельная поглощательнвя способность ~8 мокет зависеть от внешних условий: теыпературм, состава окруаающей среды, времени дня, скорости двикения животного и т.д. Наше основное предполокение заключается в том, что интен- сивность дыкания кивотного, т.е, масса поглощаемого им за единицу времени кислорода г(з, определяется следующими величинами:, массой кивотного р)Т , плотностью его тела д и удельной поглощательной способностью его органа дыхания )В . Считается, таким образом, что внешние факторы могут оказывать влияние то- лько через удельную поглощающую способность органа дыхания.
Г.Н.Баренблатт, А.С.йонин, Г983 Итак, Отметим важное обстоятельство: массу поглощаемого кислоро- да и массу животного можно измерять независимыми единицами из- Таким образом, число определяющих параметров равно трем, все они имеют независимую размерность, и,согласно анализу размерностей, зависимость (6.11) в безразмерной форме представля- ется в виде П Руу~(В ~%у/~) - Солъ4. (6.13) Отсюда имеем О' -лу Р Д кк глг С~ла~/6 з СУЮ Лт Г 3 (6 14) т.е. степенную зависимость интенсивности дыхания животного от его массы. Согласно прелщкущему, если орган дыхания состоит из одного или многих усиков, то <Х должно быть равным 1сЗ, если ыерения.
Ото естественно, поскольку изменение массы живот~ ого в зависимости от вдоха или выдоха мело и им пренебрегается. Таким образом, выбираем класс систем единиц измерения ЕМУ~, где лЧ вЂ” размерность массы ~оглощаемого кислорода, по преднол дущему независимая от размерности массы животного М Размерности определяемого параметра Я и определяющих параметров Ьу , ~О и /у выражаются, как нетрудно видеть, соотношениями - 124 орган дыхания - поверхность, то Ж доливо быть равгзвз 2/3, наконец, если поглощение кислорода — обьемное, то Сл( долине быть равным единице. Данные биологов показывают(показательные примеры см.
на рис. 6.5), что степен ~е законы вида (6,14) хорошо соответствуют опыту. Однако мокно считать надеино установленным, что показатель степени Ж , как правило,лекит меклу 2/3 и единицей, очень редко принимая этн крайние значения. Мы истолковываем этот результат следующим образом. Органы дыхания представляют собой не гладкие поверхности типа сФеры или эллиэсоида, а "Фрактальные" поверхности, т.е. поверхности, сече- ния которых плоскостями представляют собой Фрактальные кривые типа кривой Коха, о которой было рассказано во введении. Точнее, Фрактальными называются поверхности, хотя и непрерывнме, но имеющие чрезвычайно изломанную Форму и обладеющие следующим свойством.
Впишем в поверхность многогранники, соств- вленные из равносторонних треугольников со стороной д , подобно тоыу, как мы вписывали в кривую Коха ломаные линии. Тог- да при ~, стремящемся к нулю, суымарная площадь поэерхносты многогранника не стремится к конечному пределу как для гладккх поверхностей, например, сФеры.
Папротив, ь5' стремлтся к бесконечности по степенному закону Ю д) .3 = С)'П (6.15) / 'десь б~ — некоторая постоянная размерности .Е.ф , а Ь безразмерная постоянная, большая двух, но меньшая трех. Постоянная 2) называется размерностью Ха~сдорФа Фрактальной повер- Ь "ч~ Р '" Рь""" - 126- Очевидно, что площадь кмкдой грани вписанного многогрэнье-. иа составляет ДУ/Ф )~ .
Отсюда и из (6.15) следует, что Ф -2Ъ . чксло граней вписанного многогранника .Ф равно Сачаю ~у Таким образом, для фрактальных поверхностей площадь поер-. хности вписанного многогранника при стремлении к нулю длины . ребр- ~ стремится к бесконечности. В то ве время, если на наядой грани многогранника построить призму высотой ~у , то суммарный объем всех таких призм составит У '*~)~ ®Ю г7 4 7 Он стремится к нулю при ~у-и О, поскольку 2:) «,3 . Однако существует некоторая конечная "промекуточная" мекду поверхностью и объемом мера - характеристика фрактальной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
