Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Считается, тем сзным, что размер области начального тепловыделения 1 много меньие рас- стояния от левого края стернин ~. и от правого края старане к- мф ° твк что Х 6Сос и г~(~~-'р~, Разумеется, воино получить численное равенне поотаеленной.задачи при любом начальном распределении температуры: современные численные методы позволяет достаточно просто зто сдеяать нв ЭБМ невысокого класса.
Результвтм такого численного интегрирования - распре- деления температуры по стервню в разные моменты зрев.ни - предотвзленм для типичного случал на рис. 4.5. Конечно, зти резу. ьтаты численных расчетов отрекают есе особенности начального распределения. Поступим теперь следующим образом. Отвлечел:ся от тонких деталей начального распределения температуры в области начального выделения тепла.
Они существенны только для малого промежутка времени в начале процесса, когда область прогрева, в которой температура существенно отлична от нуля, имеет размер порядка размера области начального тепловыделения. Будем рассма- тривать только времена, когда размер области прогрева много бо- . А,...... '~... ч.,.....,,........и.. хшии*-- Ппм ЛСЮ, т.в. СЧИтатЬ, Чтс ~Ь~ = О.
Далее, ясно, что пока границы области существенного иэме,тшш, шшг „„ь д,, „„„,~, „,р„,, стержень можно считать бесконечным. Действительно, то, что стер жень ограничен и на краях его поддерживается нулевая темпера- тура, не имеет для такого интервала времени значения, т.к. об- лаоть прогрева до краев еще не дошла, и температура вблизи кра- ев стеркня все равно близка к, нулю, ибо таково начальное распределение температуры.
Это хорошо видно по графикам чнсленного решения на рис. 4.5,и все сделанные выше предположения стро- го доказаны в математической теории теплопроводности. Итак, нв рассматриваемой промекуточной стадии дело своднгся к сильно схематизированной эздаче о распространении тепла в бесконечном стержне от сосредоточен ~ого в одном его сечении мгновенного источника тепла.
Тепло в стержне не уничтожается и не порождается, стало быть, суммарное количество тепла в беско- печном стержне равно в любой момент времени начальному количеотву тепла .Е , откуда получается ось Таким образом, температура дм ка в момент 8 в сече. нки ж определяется следующими величинами: временем и Фт параметрами задачи М а и (а) 2 Д~>с Я су,в и расстоянием сечения от источника ас- см сГ ( параметры 2Г , с и Я по отдельности никуда не входят, и опреддляющим параметром является только их комбинация (и) .
Имеем (4.7) Как видно, л. = 4, Укаием размерности всех Фигуриру ииил в задаче величин (а классе систем .Е ?" 9 ), гда У независимая от Х и Т размерность темперетуры Размерности И и ~) получились из очевидного условия, что правая и левак части уравнений (4.3) и (4.6) Имеют одинаковые размерности (напомним, что если бы зто было не так, равенртво правой и левой частей при переходе от исходной к другим систе- мам единиц измерения не имело бы места).
Как видно, размерности первых трех определяющих параметров ю , М и (Д неза- висимы. Размерность определяющего параметра ,т- ос иыракает- О ся через размерности первых трех определяющих парвиетров соот- ношением читатель лагко убедится в зтоы саы прш шеывв(и 4вйьщ(ог (4.8). Таким образом, 4 ~ 3, Далее, Следовательно, согласно анализу размерностей, получается д 1 Отсшда находиы (4.10) йЮ" Введен зависящие от времени иасштаб температуры ~~ ( к=) к Я (' Н шл' и масштаб длины Р Я) - ~)(ку ~~ , тогда распределение температуры (4.10) представляется в вн,;е (4.11) так что, если построить зто распределение в приведенных ( 'автот~л модельных") переменных В/0(Е) ЯИЕ),/ф й-щзфл® ~ то для всех моментов времени оно представляется единой кривой (рис. 4.6).
Таким образом, получилось, что решение рассматриваемой идеализированной задачи обладает 4ундвыентвльныы свойством ав- тоыодельности: распределения теыпературы по сторкнв и разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием по- добия (рис. 4.7). Подчеркнем еще раз, что в рассматриваемом слу- чае автоыодеяьность явления распространения тепла от мгновенно- го сосредоточенного источника, а танке форма азтомодельных пе- ременных установлены только опррзясь на анализ размерностей. Итак, з силу соотношения (4.10), внвзденного иэ постановки идеализированной задачи анализом размерностей, получение соот- Подставляя эти выражения в уравнение нмх (4.3) и сокрацзя на Я/» жции Мь) дифференциальное уравнение в частных производ- , получаем для фуш- ~Ф г Ф кф „.) р,~~ э Ф з — — — о (4.13) щ \ 6, у д р з» р ~ т .Я р ~ м зированной задачи распространения тепла в бесконечном стержне имеет место слздуюпее условие: для любого момента ~ температура д равна на бесконечности нули.
Поэтому функция ф удозлетеоряет в силу (4.10) также условии ветствушщего решения длфреренциального уравнения в честных производных (4.3) с двумя независимыми переменными ~ и ш привелось к опредеяенив функции ф одной переменной ф мз ~м ~ж-:мо)/Г»Е,), составленной из переменных шс - шсс, ггш и 'Е ..то дает возможность легко получить выражение для решения аналитически. Действительно, из представления (4.10) получаем, дифференцируя (у ~Р и Ю ~45 .й Я ~~Ф (» ~ 'Ф " (»+~ 'ФИ ' Далее, подставляя вырвиение для решения (4.10) в условие (4.Е).
н .д. ~ы - ", /(п~"„" ).„. Г Югм х ю~рФ (4.1б) Уравнение (4.13) представляет собой уравнение в полных ди(х)еренциалах и реиается поэтому очень прост . Интегрируя (4,13) один рвз, получаем ~~~+ 2~Ф С в6. ~ф Полагая ~ = О н используя то очевидное обстоятельство, что решение сямметрично, так что а~ФЛф ' О при ~ = О, получаем, что ~о ть 6 = О , Интегрируя еще рав, находим, что решение, удовлетворяющее условн» (4,14),имеет вкд Ф- ~ ~('-ФФ~). (4.17) -гу Ф(,"~",.)~~)~-<~~лещ-я. Отсюда получается второе условие для функции фЯ~ ( ./йод ~- г (4,10) где Ф вЂ” некоторая постоянная, которую нукно определить.
Если подставить выражение (4, 17) во второе условие, налагаемое на функцию фЯ) ( соотношение (4.16)), то получится сиз вю А~~Е У~-24~ Е ~~- 26~Х .1- (4.1З) Г-Ф ' Гг Здесь использовано известное значение интеграле ОО /(Р ~ ~~ )/~ оз ()тсюдв находим, что гкг' у~к~)/~, и окончательно по- (4.19) Напомним еще раз, что это решение описмвает распределение температуры в области ее существенного изменения только в некотором промежуточном интервале времен, когда размер области прог- рева уже много больше размера области начального тепловыделения , но еще меньше расстоянич от краев стержня.
4. Вторая автомодельная промежуточная стадия Полученное распределение температуры, как видно из формулы (4. 19), очень быстро убывает с удалением от сечения сс - ~ хотя Формально температура оказывается отличной от нуля на лю- бом расстоянии от источника, спустя как угодно малое время после начала процесса. Используя таблицы показательной функции, нет(уд- но показать, что повышение температуры на расстоянии сш от О нсгс",ника оказывается заметным только через времена порядка со- тых-десятых долей Х /)4 .
Так, например, спустя время 8 о 4) к~ л I л,, после начала пРопесса теипеРатУРа на РасстоЯ- ф к нии ~ становктся порядка одной сотой от максимальной темпео ратурм, которая достигается в сечении источника рд х и О равняется л заев Я Я 44р (кв в~р (4.20) Начиная с таких времен, влиянье крея стеркня (х = О становится существенным (сы. рис.
4.5), и представление решения (4. 19) теряет силу. Интересно рассмотреть показательный случай, когда расстояние от источника до правого крея стериня ,х ю б по . крайней мере на один';полтора порядка прозывает расстояние до левого края . ,т = О, так что, наприыер, ь - м ЗО~ При этоы повышение температуры на краю ,х Р будет малыы, меньиим одной сотой максимальной температуры, до времен р г()О (х' й/)г . поэтому в промеиутке времени О.
У'х' ~/л 4 и с ниьз:/4 0 о о стериень моино считать хотя и не бесконечныы, но полубесконечньан ь)м оо б ©Су , причем температура на левом краю стераня ~ = О и на бесконечнооти равна нулю: УГО1) О; д('оо, Е)=О. Умновым обе части уравнения (4.3) на -м и проинтегриру- емот ос =Гдо осюосз | ~ Г / Р датско / Юх зс М/сс о) ВОЙ . (-'1.21) м./ Фж О о Интегрируя по частям к использук условие на креях полубегко ~еч- ного стеркня ЮА~ ~~ ~~С ) находии | ~,~ У ~ж д: Р д — ~ ЮХ = У~О,~О-Ю(аО, Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
