Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 6
Текст из файла (страница 6)
должны удовлетворять соот- ношениям р~ЦЯ ~У,Р «~,)(.'..- ~,..., T 9 ." ~. (1.1В) Логари4мируя соотнсшения (1.15), получаем для легара(ыов -4О- неизвестных переходных множителей А Р, Юе (Р ... систе- му линейных алгебраических уравнений бу Дт Рт-~ Юп (й~ -Ф... = (~~т l~у о Я,'ЄРА. (~> ... =О, я,г (1.16) , ~~+~ д,,р.
=О. Эта система всегда кмеет по крайней мере одно решение. Действительно, если число неизвестных Й2» , А Я в ней больше числа уравнений, то система (1.16) имеет бесконечно много решений. В самом деле, ясно, что зт система может быть неразрешимой только если левая часть первого уравнения - линей- ная комбинация левых частей остальньк уравнений: О/ А 2-'у- В А (7-»".- Ф ~с~~ Й Р+р А (~~"... )»,. М® ~'2' (т.гг) + „à ~~)т-...), где лк ...
и"и — некоторые постоянные величины. Но отсюда следовало бы, если перейти от логарифмов к основаниям, что " '~)'' = 2» '()~вл) (2» ф~* ) " (116) Это означало бы„ что размерность Ф равна произведению степеней размерностей св , ..., <Х , что противоречит предо ° ° ° ь положению о независимости размерностей величин Я ... с2 1 Если члсло неизвестных в системе ( 1.16) равно числу уравнений, то определигель этой оистеиы не может быть равен нулю, и, сле- довательно, система (1.16) имеет решение.
Действительно, если бм определитель был равен нулю, то левая часть одного мз уравнений системы (1.16) была бм линейной комбинацией остальных, твк что (ср. только что проведенное рассуждение) размерность одной иэ величин ль, ..., ст, была бы произведением степеней размерностей остальных, а это противоречило бы предположению. Наконец, чксло неизвестных в системе (1.16) не мокет быть меньше числа уравнений бс . В самон деле, если бы число неизвестных было меньше числа уравнений Ф , т.е. числа величин д , ..., б)ш , то можно было бы взять часть системы (1.16), У * отвечающей величинам Ф~, ..., Ф~, и полуиить систену с числом уравнений, равным числу неизвестных. Ее определитель не ио- кет равняться нулю, так как при этом размерности величин сх Ху нв были бы независимыми (ср.
выше). Стало быть, частичная система разрешима. Но тогда можно выразить величины Р , Я ... червь произведения степвней размерностейб а у) Ф ь .... 1 а 7. Подставляя зто выражение, например, в последнее соотношение (1.14), получаем, что размерность величины сЬ,, выражается в виде произведения степеней размерностей гп пер- вых величин, что противоречит сделанному нредположени» о невависимости размерностей веклчин Со , ..., И .
Таким образом, сделанное утверждение доказано. Доказанные выше свойства функции размерностей будут сейчас суь(ественно ис- р ° хт р й. ГЛАВА П. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ 1. Определяемые и определяющие параметры характеризующих исследуемое явление, от других. Дело всегда сводится, таким образом, к отысканию (одного или нескольких) соотношений вида (2.1) аШ-рррр-.р в данном исследовании ищется, а. . .,., а — величины, яоторые считаются заданными, они называются оппседеляюуюи пз ~амвт~вмн. Разбиение определяющих параметров в соотношении (2.1) сделано твк: параметры кь . .. „ а. имеюйг независимые раз- У мерности, а размерности параметров Сх , ..., а.
вырвжвюта т' ся в виде произведений степеней размерностей параметров кй, ", а.: ~с»„, ~ ~ а~1 ~ л~а ~а„~1~ А а. ~ ~за~ ~а (2.2) Такое разбиение можно сделать всегда. В частных случаях может быть ~ ~ь если зме н сти всех оп е еля их па виет о ра ро рд ющ р рв независимы, или л. = О, если все определяющие параметры безразмерны. Б общем случае О < Й . лг. Например, при течении кидкостл через длинную цилиндричес- Во всяком конкретном физическом исследовании, теоретическом или экспериментальном, находятся зависимости одних величин, доказанному з первой главе, можно было бы, кения систему единиц иэыерения внутри денного класса, менять величину а. зо сколько угодно раз, оставляя неизменными величины СВ 1 <Ъ .
При зтоы оставались бы неизыенныык также и все величины бЬ ...., й., размерности которых заражаются через Ь1 размерности величин д~, ..., Я, . Таким образом, определяемая величина а. могла бы меняться как угодно при неизыен- ных значаниях всех определяющих парзыетров, чего не может быть, если список определяющих параметров полон. Стало быть, всегда существуют такие числа ~ь , ..., т. , что имеет изото формула (2.3).
Для рассмотренного выше примера с течением аидкости в трубе получается, как нетрудно проверить> Гц и 3 ГАЗ Гг3 Йр3. 2, Переход к безразьарньа параыетраы Введен параыетры оьеч и Фе;г а 1 Ю. ',а - 45— системе единиц измерения в данном классе, что любой иэ пара- метров с независимыми размерностями И. . ..., а.~, , напри< мер, л) , изменится во сколько угодно рвэ, в оствльные раэг мерные пвреметры О , ..., 4) останутся неизменными. ОчеФР видно, что неизменными при таком переходе останутся также и безразмерные аргументы П , ...,Л функции ~ , и ее значение Я . Но отсюда следует, что функция 5 нв самом хо не зависит. Точно твк же показывается, и от аргументов хь , ..., хр , твк что .г'"' „Л~ ,и у.
Следовательно, зависимость (2.5) через функцию и - % , а не л. деле от аргумента что она не зависит .у = Ф~Х"„.. вырвжается Здесь поквэатели степеней определяющих параметров ц независимыми размерностями выбраны так, чтобы все параметры Я ,,П 17 были безраэмерними. Зависимость (2.1) можно перепив-в пать, евмения параметры хь, сь„,, ..., Ю с зависимыми (от размерностей пврвметров а , ..., а.,„ ) размерностями Ф через безразмерные величины л,7, Л,'т, ...,.П,т,в, определенные соотношениями (2.4), и параметры сь ... Ю .
Получаем а 5... а ю а ... а 1 и у )ьм ю ва~г д А, и ) т-тт т Следовательно, П У ~О~, а Л П ) ~ 5 где У - некоторая функция. Тепеоь - самое главное. В предыдущей главе было показано, что всегда можно перейти к такой аргументов (й,б) ГУ М но, поскольку П -"' ч l б)т " ©че , отсюда следует, что е~ К.щ ~п л~ ю» кельею, ммь ~й " б 6, В м~мие ,.'Ыа» "Р~ '"""""Р'Ф переменных и имеет специальный вид: Эти факты составляют содериание центрального утвермдений анализа размерностей, так назызаемой Л -теореиы: П~.,х .,~,...~, ф... ниде зависимости некотссой, зоодб е говоря, безмерной веллчины " Ж".МЖ иимьаи*.
"~-':~-:- .'и -'" ' лгут „„„„„, „„„,ю биелаяи аи тким личество которых меньюе обюего числа опоеделяюцих паоаметров """":ь ьаЮй,". '~ "~" ' ""'"'" ' ХЧЖ".Жйа Для рассмотренного примера с течением яидкости в трубе соотноиение (2.7), очевидно, прлнимает вид так что функция четырех переменных выразилась через функцию од- ной переменной. -47- Заметим, что на самом деле .П -теорема интуитивно совершенно очевидна.
Действительно, ясно, что физические закономерности 'не должны зависеть от имеющегося произвола при выборе единиц измерения. Поэтому они дслэлы выражаться в виде соотношений между величинами, которые от этого произвола не зависят, т,е. между безразмерными комбинациями определяемых величин и определяющих параметров. Это было осознано давно л испольэова- ние соображений анализа размерностей началось задолго до того, каи .П -теорема была сформулирована и формально доказана. Здесь слелуе1 прежде эсе"о назвать имена Галилея, Ньютона, Фу-.".
рье, Максвелла, Рейнольдса и Релея. Анализ размерностей успешно используется и в теоретических исследованиях, в которых имеется математическая постановка задачи (см. ниже, гл. 4 и 5)у и при обработке экспериментальных данных, а такке при предварительном анализе физических явлений. Дело здесь в следующем. Для определения зависимости той или иной величины сь от каждого определяющего паоаметра надо измерить или вычислить функцию К , скажем, при десяти значениэх соответствующего аргумента. Конецно, число десять услов- но; для одних гладких функций может хватить и меньшего члсла измерений или вычислений, для других не хватит и ста. Таким л образом, для определения функцик т надо произвести всего РО измерений или вычислений. После применения агэлнэа размерноетей дело сводится к определению функции ф от п - Уг безразмерных аргументов и",л , ..., Л~» .
Для нахождения этой э- 'и функции уже достаточно уО опытов или вычислений, т.е. в /УЪ й" Р " " ° Р "Р" " "У УУ' ШУРЯЯ Р . б РМ Р - 46- р р Й яки,лт лазая, жу Ря ~" "~ш„" "" Р "з" " 3 раоомотренного примера течения в трубе трудоемкость оокрещаетоя, условно говоря,в тысячу рез ИЪйотвительно,когда вжлкйский гидрб дкнемик О.Рейнольдс обработал в конце прошлого века имевзиеоя в то время опытные данные по течению в трубах и построил зависи- мооть безразмерной величины л- 'ь".", ю.лю.ье ,от безразмерной же величины ф ~7Р//с , он получил, что ,зкопернментальные данные о хорошей точностью легли на единую зависимость ( ср. рио.
2. 1, где зта завиоимооть поотроена по ,более оовременным данным). Возникает естественный вопроо: если при ю А получазначлтельные ютоя столь преимущеотва, то почему бы не перейти к такому клзо'- оу аистам единиц измерения, в котором размернооти всех величин бЬ ...
Ц будут независимы? На замом деле переход к такому илаосу, вообще говоря, ничего не дает. Покажем это на примере. Нусть среди определяющих параметров есть величины размернооти длинм размернооти времени 'Е. и размерности скорости р' . Перейдем к классу систем .Ег 'Т' Ъ , в котором единица скорости независимая. Но в етом клевое Формула тлю ~~6 ( О пройденный путь, 1 - время его прохождения) уае неоправедлива и должна быть заменена формулой и" г4 хь / ~ , где - постоянная, имеющая размерность .~ '7 Ч1' (ом. главу 1, и.
3 о, 32 ) . Следовательно, величи..у lз' нукно присоединить, вообще говоря, к определяющим параметрам, -49- число которых, тем сава, увеяичииается на один. И в общем случае разность и- Ф полного числа определяющих парзмет- ров и числа определязшщх параметров с независимыми размерноетями остается неизменной, так что никаких преимуществ от пере- хода к новому классу систем единиц измерения, вообще говорк, не возникает. Однако в отдельных частных случаях может оказа- ться, что возникающие дополнительные определяющяе параметры типа величины гт' несущественны. В таких случаях переход к новому классу увеличивает число параметров с независимыми размерностями и становится полезным. Мы увидим это в примерах главы У1.
З. Пр ры Приведем еще несколько показательных примеров. 1. В начеле нашего века — уже много лет спустя после работ Рейнольдса, о которых упоминалось выше — физико-химики З.Бозе, Д.Рзуэрт и М.Бозе опубликовали серию экспериментальных исследо- ваний турбулентного внутреннего трения различных жидкостей. Опыты проводились по следующей схеме (рис. 2.2), Через трубку э стационарном турбулентном режиме протекали различные жидкости: вода, хлороформ, бромоформ, ртуть, этиловмй спирт и др. В ходе опытов измерялось время '~ заполнения сосуда фиксированного объема Я , а также перепад давления Р на концах трубки. Результаты измерений были,как полагается, представлены в виде серии зависимостей перепада давления Р от времени заполнения Б.
, подобных приведенным нв рис. 2.2. Работы Бозе и Раузрта были замечены тогда же Т. Фон Карменом, в то время молодым исследователем, а в будущем - одним из величайших механиков века. Он подверг их результаты обработ- ке, если пользоваться сегодняшней терминологией, методом ана- лиза размерностей. Рассуждения Т. фон Кармана можно представить следующим образом. Перепад давления на концах трубки 2» с~- зависит от таких величин: времени заполнения сосуда Г су т' его объема (~м Ой, а также св, йств жидкости: ее коэффициента вязкости р м йэ и плотности д «З+ . Как видно, в данном случае ль 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
