Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 3
Текст из файла (страница 3)
4, при движении шара с бояьшой скоростью: при отношении Т7/ш больием четырех, значение функции ф( 47/с~ становится с достаточной точностью постоянным, так что ~Ре С~> (У „2.) . Ф З Но очевидно, что это далеко не всегда так. Например, если функция фЩ) для какого-то процесса представляется в виде (11) а, такой случай при общем рассмотренмн исключить нельзя, то за- мена ее константой (и, следовательно, переход к соотношению (1())] недопустима, как бы мал нли велик ни был пареметр Я Стало быть, воэможность пренебречь влиянием того или иного па- раметра 7Р представляет собой сильное предположение, которое нуждается в подкрепленин опытом, численным расчетом или, нако- нец, интуицией исследователя, как бы велик или мал ни был со- ответствующий безразмерный параметр э 'т .
Звметим, что анализ разиерностей применяется обычно только тогда, когда мы решить задачу полностью не можем. Поэтому ыы никогда не можем ответить заранее на тонкий вопрос: существует или нет конечный предел, отличный от нуля, у функции фЩ' ) при .Б~т,стремящемся к нуле или бесконечности; это можно только предполагать. 5. Полее того, здесь может возникнуть еще одна довольно коверная ситуация. Покажем ее на примере.
Пусть функция ф~ф7т) в задаче, к которой мы, как это был~ показано выше, применили ~~р,,„,„„ "-- — """" мгк ( - Ф~.п.) отношения (2) г Л-с , в виде более простого соотношения, тяпа оо- „(и , ИЛИ Ге~ С б Лет ~ . (1()) виде (15) где введены обозначения (1б) яли в виде (17) Итак, мы получили такое же по виду соотношение, как и соотношения (2) или (10). Однако выражение П , будучи степенным одночленом такого же в принципе вида, что и „П , отличается от л л' двумя существенными особенностями.
Во-первых, число С~г нам заранее неизвестно, и оно не определяется простым рассмотрением, - анализом размерностей,входвцих в исследование величин. Следовательно, в отличив от соотношения ( 10) и покаФ~ / х / эатели степени в формуле (17) Л, ц и Г анализом размерности не определяются. Далее, в отличие от Формулы (10) в формулах (16) и (17) фигурирует параметр Я~ , который в Формуле ( 10)исчез.
Таким образом, возникшее упрощение уке связано не только с анализом размерности. Оно связано с частным свойством исследуемой задачи — наличием степенного представления (13) при больших Л Это обстоятельство может оказаться существенным для прак- -20- тики исоледоввний. Представим себе, что мы, обнаруаив, что безразмерный параметр .Пу велик, сочли несущественным параметр Р и указали закон (10). В то же время на овном деле имеет место только что рассмотренная ситуация, Тогда сравнение с опытом обнаружит, что хотя зависимость Р от„ й , ~тт — отененная, но показатели степени — не те, что мы ожидали нз анализа размерностей.
Более того, оказывается, что козффициент пропорциональности в вырвженки для ,л- перед отепенньа одночленом С ят ' т," не будет постояюам, он будет меняться в зависимости от значений параметра 7Р , который нами сочтен несущеотвенным и не контролируется. Такая олтувцкя получается довольно изото и ей не надо удивляться. Именно так произоило, в частности, в теории Колмогорова-Обухова, хотя практических последствий это не имело, поскольку показатель степени Ж оказался очень малым. Приведем еще один пример подобной ситуации, на этот рвзгеометрический. Раосмотркм две непрерывных кривых.
Одна иэ них (рис. В) — обыкновенная окружность. Впиием в нее правильнмй ю -угольник с длиной стороны гу . Тогда периметр впноанноч го многоугольника .Е зависит, очевидно, от диаметра окруиности 2.'у и длины стороны ~ -~с= .р). (18) Поступая аналогично тому, как это делалось в предыдущих примерах, приводим эту зависимость, применяя соображения анв- лиза размерностей, к виду и- ф~п,~;п-ь,1~.~~,-~ .~ =2) Фй/ у-')).
(19) 21 Устремим число сторон многоугольника Рг к бесконечности, т.е. длину сторонм 7 к нуле. Иэ школьного курса известно, что периыетр вписанного правильного многоугольника стремится при этом к конечному пределу ,7ф ~ уТЗ , который и принима- О ется за длину окрукности. Следовательно, при ~ру~~~у-м 1У Функция ф~~/Д~) стремитси к конечному пределу, равному ту Поэтому при достаточно малых д/Ю мо'хно влиянием параметра пренебречь и считать, что для многоугольников с достаточно большим числом сторон с пушной точностью выполняется соот- Д~1 шэ СООШ б 7Tэ (20) т.е. ~ т.е. Другая кривая получается следующим образом (рис. 6).
Берется равносторонний треугольник со стороной 2у , и какдая из его сторон подвергается следующей элементарной операции: сто- рона делится на три части, после чего средняя часть заменяется двумя сторонами построенного на ней как на основании разносто- роннего треугольника. Стороны получившегося многоугольника сно- эа подвергаются той хе элементарной операцми, и так далее до 1) Кривые к вообще геометрические объекты такого типа называются по предлокениш Б,Мандельброта ( 1975) фрактальными. Они интенсивно иэучалксь математиками в начале нашего столетия. Б.Мандельброт возродил з последнее время интерес к подобным геометрическим образам, показав, что они адекватно описы!1редстаэленнэл на рис. б вавт ваяние объекты природы. кривая была построена Г.
фон Кохом (1904) и называется триадой Коха. - 22- бесконечности. Нв л - м шаге длина стерпим многоугольника составляет, очевидно, 7 ~м Л.Р / 3 , а периметр всего ФЬ многоугольника равен .Б "- З2Р~+/З), Ясно, что соотно- 7 кения (18) и (19) справедливм и в зтом случае. Однако нетрудно поиазать, поскольку, очевидно, п * ~~ ~Лу~~~~/ф~ 3 ° что ' ,т ~ ф~ Ф- ф~ Ф~ У 7 5.2:) ~2:~/~,~ ° (21) ~З Э/~~ З вЂ” О.'мб". Сравнивая (21) и (19), находим, что в атом случае Ф МА> з~р г (22) тлл зто л)зв лз~ч'™ м луал~~' пдв 7'~2~ ~ (~ только мало содержательное соотношение ф ьи Сзэ, т.в.
длина кривок Е бесконечна. Таким образом, если интересоваться пе- О риметреми многоугольников при больших И. , то в отличке от первого случая переходить к пределу и пользоваться предельннм соотношением типа (20) здесь нельзя. Вместе с тем соотношение (21) мозно переписать в виде лл' 'и С , полагач А .~у - ~, с"-з. (23) 4Ф ук. 7-а' ПвРвметР Ля так же,как л,/7; степеннаи комбинациЯ определяшиих параметров. Однако структура выражения (23) одннии соображениями размерности уке не определяется: мы заранее нв знаем числа Са . Далее,в отличие от олучвя окружности (формуяа (20)) параметр фр из результирувшего соотношения (23) не исчезает, кек бы мало ни было у /'~:> .
Поэтому длит. ш на вписанной ломаной Б " Д2) ~Гд оиазывается пропорциональной Яр и'"'Х , а не . Р , и длина отрезка ломаной д из коэффициента пропорцяонзльности не исчезает. Изложенные выле соображения показывают, что на свмом деле центральное место занимает не формальная процедура анализа размерностей, а лменно правильный выбор величин, от которых эави- сит то, что нас интересует и правильная оценка характера этой зависимости.
Мы не можеы обьявллть существенными слишком много параметров, поскольку иначе анализ размерностей окажется неэффективным. Но и к отбрасыванию параметров, объявлению их несущественными только на том основании, что соответствующие без- размерные параметры малы или велики, следует отнестись с чрезвычайной осторожностью. Обо всем этом написано настоящее пособие. Одно заключительное замечание. Более шестидесяти лет назад вышла замечательнзл книга П.Бридкиена "Анализ размерностей". За время, проведшее после ее написания„ многое прояснилось, но вместе с тем возникно немало новых проблем и постановок вопросов, связанных с применением и обоснованием анализа размерностей. Давая своей книге то же название, автор хотел подчеркнуть ее преемственность, отметить,что он рассматривает свою работу как продолжение дела, начатого П.Бридкменом. ГЛАВА 1.
РАЗМЕРНОСТЬ 1. Измерение физических величин. Единицы измерения. Системы единиц измерения Мы говорим не задумываясь; масса воды в стакане равна 200 граммов, длина линейки — 0,25 мотрь, период полураспада радия - 1,600 лет, скорость автомобиля — 60 километров в час. И вообще все физические величины мы вырэяаем числачи. Зги числа получаются путем кзмерения физических величин. Изыерение пред- ставляет собой прямое или косвенное сравнение данной величины с соответствующими эталонами или иначе — единицами изме~пил. Так, в приведенных примерах масса воды сравнивается с эталоном - единицей измерения массы -граммом; длина линейки сравнивается с единицей измерения длины — метром; период полураспада радия сравнивается с единицей измерения времени - годом; скорость автомобиля сравнлвается с единицей измерения скорости скоростью равномерного,~евмения, в котором путь в один километр проходится за время, равное одному часу.
Единицы измерения физических величин подразделяются на .з ° ° **а ~ .ср класс изучаемых явлений, например, механические явления, т.е. двиаение и равновесие тел. указываются величины, те или иные эталоны которых — природные или искусственные - принимаются эа основные единицы измерения, причем здесь имеется определенный произвол. Так, для описания механических явлений за основ- ные единипы измерения мовно принять некоторые эталоны массы, длины и времени, э мокко принять эталоны силы, длины и времени. ,",ля описания, нэлример, теплообмена этих эталонов уже недоста- точно. Дополнительные эталоны становится необходимыми такие ври изучении электромагнитных явлений и т.д.
После установления основных единиц измерения производные единицы измерения получаются из основных в силу определения фиэ ической величины. Определение всегда является ука. зияем способа измерения данной Физической величины, по крайней мере, мысленного. Так, например, скорость представляет собой, согласно определению, отношение расстоянля, проходимого за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени. Поэтому эа единицу скорости можно принять скорость равномерного движения, в котором эа единицу времени проходится единица длины. Точно также плотность, согласно определению, представляет собой отношение некоторой массы к величине заключающего ее объема.
По- этому за единицу плотности можно принять плотность однородного тела ( куба со сторойой, равной единице длины ), которое ' в единице объема содержит едьппду массы и т.д. й!ы видим, что именно рассматриваемый класс явлений, т.е. вся сово- купность интересующих нас физических величин, определяет в конечном счете достаточна или нет данная совокупность основных единиц для ее измерения. Например, раополагая только двумя основными единицами: длины и времени, мы не можем определить единицу измерения плотности. Добавляя единицу массы, мы уже можем определить зту единицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
