Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Таким образом, для размерности вилы в клаоое .Ъ И 7 имеем [С2[ 7Г 3 МТГ. 11.31 Аналогично,размернооть массы в класое .~~~,М 2 равна ,я , а з клаоое .Ь Т' Г' она имеет вид~И] [г /.'~~у -г' 3 размэрнооть энергии 2Г в клевое .)~~~Ч Т ииеет вид (Д ',7,м 3 "Р ши .Атл .И~~Г', а в клаосе .Ер Тт'2 она Равна ~л;Г'. В клаоое,Х РУ 7 отношение окорооти равномерного движения к частному от деления пути на время его прохождения — безразмерная величина.
Если ке взять класс ~.'г М '2 У" , в котором единицы скорости — узел / У - независимы,то в У нем зто отношение имеет отличнуш от единицы размерность лл ? У. Функции Ртзмерностк обладают двумя важными овойствзми, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем. 4.
Размерность всегда представляет побой отененной одночлен Мы убедилкоь, что во всех рассмотренных выше примерах Функция размерности представляла собой степенной одночлен. Может возникнуть вопроо: имеются ли Физические величины, для которых зто пе тзк, а размерность в классе ,Х~~Ч .Г выракаетоя, на- — ззм Е пример, в виде л я~В или бйиМ ~~ 2 т В действите""* Ф"'"" "" "'"""' "" "няииьт ~'" ф"' кепкой величины всегда представляет собой степенной олночленн. Вто следует из просто и естественно формулируемого, но на самом деле глубокого принципа: все системы внутри данного класса равноправны, т.е.
среди них нет избранных, чем-то выделенных систем. Воквкем это на примере класса сястем .Е~.М .~ , распрострвнание на общий случай читатель без труда сделает сеы. В силу равноправия систем внутри данного класса раэь.ерность любой механической величины й. зависит только от величин -Ег (1.4) Если бы внутри класса .Е~.Я Т существовала какая-то избранная система, то было бы существенно отношеняе используемой системы единиц, с которой мы работаем, к избранной.
В этом случае функция размерности ~)0 зависела бы еще от трех аргументов , «зс /мому , ~с /Хс~ : отноиений единиц длины массы гтт и времена х. в исходной системе денного класса к соответствуищим единнцзы избранной системы Е~ , ттэ, Согласносформулирэванноыу принципу это не так, и поэтому в классе .Е,.Я л~ функция размерности ~уп зависит только от аргументов хт' , .М , 2 независимо от того, какая система принята за иоходную. Выберем теперь в классе Л.М 2 две системы единиц- систему (1), которая получается из исходной системы уменыленлем основных единиц измерения в Ь , .ь .л , .а раз, и систему У' У' сматриваемой величины, равное в исходной системе ю., в первой системе составит св авсз (уоЯ М,гТ~), а во вто- У рой системе - бь ь ~.
уу Я .М ф. Таким образом, имв- блй <уз ~Ай,.И,й. '2"' ) 'Р(~~гл~гя (1. 5) Заметим теперь, что в оилу равноправия остом внутри данного класса мокно принять систему (1) эа исхолнув и рассматрива. емый класс систем единиц измерения не изменится. При этом снст . ма (2) получается из новой исходной систенм, системы ( 1), уненьвением основных единиц измерения в .Ъ /.БГ , Р~~/М,, гтт г~-т 'лы у лт раз. Следовательно, численное значение рассматриваемой величины во второй системе сл долкно бать равным, согласно определение размерности: И.
еюй, ((Э( л у' Ь М 231 .2 У а зРг, У; рздчерхнем, что величина д„ - численное значение величины ц. т з системе (1> ос*естся лрл олеллююы преобрззозаллл лсходноя системы неизменным. Стало быть „сз /сз е 4~Р (~ Б /1 ~ф Щ ,в 7~ /'2~ ~ . Приравнивал это выракенне вырвиенив (1.6), ыо» лучаем длл функцик 4(о уравнение 'Р~~Лл~~Еь ~~~д ~ е1 ~р(~ щ у ~ .Б .Ы '2~ (2), которая получается из исходной енотами уменьмением основню единиц измеРения в .Ър,.Мр, '2~~ Раз. Согласно определение размерности численное значение рас- - 35- Такие уравнения называптся функциональными, Мы покажем сейчас, что атому уравнении удовлетворяют только степеннме одночлеДля реиения уравнения ( 1.6) продифференцируем обе части равенства (1.6) по Ьй и после этого положим Х» Хт .Е Я М М, '2 '2 е '7" .
Получаемй~ ,й 1 с~~ ~Р И,Мз'2") у .), ~ а ~ ~д,м,т~ Здесь величина <у с) (уО~Г, 1,1~ - постоянная, не эавие цав от .Е ,,М , 7 . Интегрируя (1.7), получаем ()р~Ь,М,'Т'~ .Е, С ~М,'2 ), н.в) Подставляя зто выражение.в (1,6), получаем для функции С~ уравнение того ие вида, что (1.6), но у функции С~ уае на один аргумент меньше: сгм„т,1 ' м ' ~7 Снова поступаем так ье — дифференцируем обе части (1.9) по М и полагаем М М .И , У~ 7у им 7 , ~~ (~А- —,С-л. г" 1т). 1) Естественно предположить, что функция размерности - гладкая, и ее можно днфлеренцировать. 2) Иы пользуемся удобным обозначением Р ()з для обозы»- чения частной производной функции ~й) по переменной Здесь ~$эи 2 С ( т' Ф) - постояннзя,как и Са .
Еще раз и лт повторяя то же самое рассуждение, получаем С~~Ю=С7 'У б(О=С' (~ ~/Е~Г~. (1.П) бг' Очевидно, что постоянная С равна единице, так как при ~у, = я ~"Г'~ 7 изменения основных единиц не происходит и не меняется численное значение величины сл. , гвк что 9' Г У, б, В - ~. Итак, мы доказали, что решение функционального уравнения тсг .ч (1.6) представляет собой степенной одночлен с> ,Яг ~Г' где СУ , 8 , ~ — постоянные, так что размерность любой физической величлны выражается степенньзч одночленом. Если бы сущестзоэалв избранная система единиц измерения внутри дачного класса, то уравнение (1.6) имело бы вид РГй,~ .'2', ~о/Ь, 'о/,у, +о/~д) 9(Л,, И„'2у, ~с/Ь~л ~~о/ зд, хо/х'М - гл/'~д л'йш '7л ~о ' о чдо 'Ф(ьззэ> / (Ь, Му и ЛФС,Ф л'л ~.г ЦЫ~ ' Действительно, при переходе к новой исходной системе едкниц измерения, системе ( 11, мы уменьшили основные единицы измерения массы, длины и времени в .Е у , Мт , 4~в раэ, так что отношения основных единиц иэыеренкя в исходной и избранной системах тоже изменились.
Таким образом,оказывается (если вернуться к только что изложенному рассуждении ), что величины сэ , уЯ получается зависящими от .Е , Р~ , '2 и перестает быть постоянными. Например, Ю оказывается равным с) (фЯ Т ~ 6/3 ~у т /М пу ~ /г~~ фс( ) , Поэтому, если отказаться от принципа равноправия всех систем единиц измерения -37- .„утри данного класса, то основной результа. - вырэжение размерности в виде степенного одночлена — не имеет места.
В литературе встречается утверждение: то, что размерности всех Физических величин имеют вид степенного одно- члена, определяется следующим физическим условием - отношение двух численных значений (обозначим лх а. я А ) какой-либо производной величины не должно .зависеть от выбора масютабов для основных единиц измерения. Это утверждение неправильно, и на самом деле приведенного условия недостаточно.
Действительно, как было только что показано, если в данном классе систем единиц кз- иеремия существует избраннвл система, то размерность не обязана иметь вид степенного одночлена. Однако и в этом случае, при переходе к любой новой системе единиц измерения численные значения производной величины бущт разны соответственно а. к Я, умноженным на одинаковые множители йэ( .Ъ З~, '2 ято /1п~, +ю /~,/ ) ,, так что отношение численных значений производной величины не меняется.
Следует отметить, что неоднократно предлагались системы единиц измерения, использование которых оказывалось удобным для определенного круга задач. Так, С П,Капица (19бб) предложил ес- тестэенную систему единиц измерения для классической электроди- намики. Система С.П.Капицм основана на классическом радиусе электрона как единице длины, энергии покоя электрона как единице энергии, и массе электрона как единице массы.
Применоние этой системы в задачах классической злектродинеыики очень удобно, поскольку позволяет избегать очень больших или очень малых численных значений практически интересных величин. Существенно, что зта система не является избранной в укаэанном выше смысле: - 39- Непротив, нетрудно показать, что размерность плотности, скоростк к давления зависимы: размерность давления 5 дц Л равна произведению размерности плотности на квадрат размерности скорости. Ясно далее, что ни одна из величин с независимыми размерностями сь ; ..., Ю» не может быть безразмерной: размерность безразмерной величины, равная единице, равна произзе- дениз размерностей остальных величин, какими бы они ни были, в нулевой степени. Имеет место второй существенный для дальнейшего факт: всегда можно перейти от исходной системы к некоторой системе званного класса так, чтобы абая величина из набора величин с нсза- " Рачиаеь '" - " '~«ы". иый..!ж;и (Ь , изменила свое численное значение в и оиззольное число е ,Лу раз, а зсе поочке остались неизменными.
В семом деле, в выбранном классе систем единиц измерения .Р(щ)... ( ~Р , <~) обозначают символы .Е, , И ь 'T и другие им подобные) размерности величин ~ц , ..., сз . имеют т ' зид (1.14) причем для каждого ~п хотя бы одна из величин О' м ~ у-л. не равна нулю. Следовательно, по определению размерности, при переходе от исходной системм единиц к той системе единиц, которую мы ищем, числа 7З , ьщ) , ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
