Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 2
Текст из файла (страница 2)
раэ, воех масс-з „Я раз, а всех времен - в 7 рзя. Палее ввлкчкна едкнкцм схоростк прн зток преобразования единиц уменмэится по сраэненив с исходной .тч Л э Л С рав. Дейстэктельно, в равномерном дэняенкк, ско- рость которого принимается твпврь эа единицу окоростн, нская вдкнкца длины, в,Е раз меньщел исходной, проходктоя та новую еднницу времени, в 7 рав меньвущ колодной, Пс ьток г причина численные значения всех скороотея возрастут э ,Б 7 раз. Аналогично единица ускоренкя прк произведенном преобрат ° эр эованнк основных единнц измерення умвньвается к .Ес .э раэ. е юч "4' Поэтому в ~к $ раэ возрастут чксленние значенкя асах усхорэнкд, э чзотностк, усхорелкя свободного паденкя, Таким обрезом, прк кеыененнк велкчкнм ооновнмх едннмц кз.
-9 иеремия, единиц измерения длины, массы и времени, численныв значения физических величин, вообще говоря, меняются. То, во ~~И „, .Н ~Р,„„,~ ьь„,„ шается в Х~ раз, то численные значения всех длин увеличиваются в ,Ег раэ. Мы говорим, что размерность длины равна .Еф Аналогично размерность массы равна .Н , размерность времени гт равна .Г , размерность скорости равна л5~ 1 , размерность ускорения равна Л .с , Подчеркнем ещэ раэ: Л, .Ух .~ - ' " ''"-"""' хмел более! Квк видно из этих примеров, размерности рассмотренных физических величин представляют собой функции этих чисел, при- чем функции очень частного вида - степенные одночлены. Возьмем теперь величину ~/Я .
Эта величина представляет собой отношение двух чисел, отвечающих определенным единицам длины и ускорения. Если единица длины уменьшается в .Е~ раз, а единица времени - в 7" раэ, то численное значение длины, стоящее в числителе, увеличивается в .Е~ раз, а численное значение ускоренил, стоящее в знаменателе, увеличила ~-~ ется в Х~ .л раэ. Стало быть, отношение Р/Я уве- Ф/9 личивается в 7 раз, а величина ~Юу ~ увеличивается в 7 раз, т.е.
во только жв раэ. во сколько увеличивается при этом период колебаний, Следовательно, отношение остается при изменении основных единиц неизменным. Такие валичинм как,Д , которые не меняются при изменении неличным ос- ц й, б . ь °- мерными. Келдой размерной физической величине ставится в соответствие ее размерность, отличная от единицы и показывающая, ~о сколько раз увеличивается численное значение этой величины при уменьшении величины основных единиц измерения.
Будем теперь исходить из того очевидного факта, что как л период колебаний 6 , величина Л комет зависеть в принципе только от тех ме величин с , хэви н ху , так что .П кшЛ~ ( Р 4~тля ) . Снова напомним: Р , гтт н ,у представляют собой числа, связанные с определенной системой основных единиц измерения. Уменьшим теперь единицу измерения массы в любое число раз л'л' , а прочие основные единицы оста- вим неизменными.
При этом число хтт возрастает в произвольное число .И раз, а числа Л , 8' и ,~ останутся неизменными. Но это означает, что функция ./7 (' ~ Ратху ) остается неизменной при любом изменении ее аргумента хтт и постоянных значениях двух остальных аргументов с и у , т.е. что эта фнк~~ия от гтт не зависит. Далее, уменьшим единису времени в любое число 7 раэ, оставив единицу длины неизмен- ной. Тогда численное значение величины у возрастает, сэгласРт'1 Я но предыдущему. в Х раэ.
(Действительно, размерность уско- /тФ 3 рения равна .лг~ г:ьт , а .Ег в этом случае равно единице). Величины ме Л н ь останутся неизменными (напомним, что Л вЂ” безразмерна). Но это значит, что Функция Л. Г лх лкхь,9, не зависит и от у . Наконец, уменьшим в любое число раэ .Е~ единицу длины. Тогда численное значение последнего оставшегося аргумента ~ увеличится в .Е~ раз, а безразмернэл величина -11- снова останется неизменной. Значит, Л не зависит и от .П и вообще ни от чего не зависит, а представляет собой посто- О Д вш шв СлэпЬ4 ,/~~р (2) откуда получается ГР Яю Сшша4 ~— (3) который читатель может легко проделать сем, измерив период колебаний гири, подвешенной на веревке. Этим получение выреаения (1) для периода колебаний маятника вполне завершается.
Изложенный пример, принадлежащий французскому математику и механику П.Аппелю, поучителен. Здесь удается получить ответ на интересный вопрос, казалось бы, из ничего, а точнее - иэ одного перечисления величин, от которых зависит период колебаний мвятни- ка, и сопоставления ( анализа ) их размерностей. 2, Следующий 'пример относится к поступательному движению те- ла в газе с большой скоростью. Для определенности будем рассматривать (рис. 2) простейший случай: движение шара.
При больших око интуитивно ростях-представляется возможным пренебречь свойством внутреннего трения (вязкости) газа, поскольку сопротивление движению тела об) славливается в основном инерцией расталкиваемого телом газа. Поэтому сила сопротивления, которую газ оказывает двикениш в неы тела при фиксированной форме тела, зависит от плотности газа т,е. с точностью до постоянного множителя выражение (1). Констан- с хорошей точностьш та в формуле (3) может быть Найдена из одного единственного опыта, его давления ~~> , скорости двивения тела ~~ и характерного размера тела', в иачеотве которого естеотвенно выбрать диаметр шара 2,') . Определим релмернооть пкотноо- ти, силы ж делленяя; размерности остелъних величия нам уже известны.
Плотность представляет собой отношение массы х заключающему ее обьему. Следовательно, за единицу плотности можно принять плотность тела, в котором единица массы содержится в единице' объема. Уменьшая единицу массы в М раэ, а еди- -З ницу длины в .Еб раэ, мы уменьшаем единицу плотности е Л!.Ртр раэ. Следовательно, во столько же раз возрастут значения всех л.р р -в плотностей.
Значит размерность плотности составляет .~ .4 Г г Далее, сила связана с массой и ускорением в.срым законом Ньюто- р р р У р . Р ШЬ ~бр-. армии шршбз Р"'"-"- ьчрьчир,;ю. ~б .Ьр, р у р менении основных единиц измерения равенство перешло бы в нера- ввнство. Танин образом, размерность силы равна размерности произведении массы на ускорение. При уменьшении единицы массы в .И раз, единицы длины в .1~ раз, единицы вреыенн в б раз -2 величина произведения массы на ускорение возрастает в,ЖЕг'2 т б-р -2 раэ.
Следовательно, размерность силы равна М4 Р .Е , Давле- "не представляет собой силу, поделенную на площадь; размерность т"Р площади равна .Л б , следовательно, размерность давления равна ИЬ '2 Рассмотрим теперь величину ,6~~ . При уменьшении основных единиц измерения ее числитель по предыдущеыу увеличится в - т'гч -,3 -3 .И.1 раз, а знаменатель - в .РХ.~.р раз, следовательно, вся величина ~э~~~ увеличится в .Е, .б. раз, подобно иввдра у скорости. ~элзви обрезом, величина ~фью ) й~ известно,что имеет раемерность скорости, Зто и не удивительно, поскольку"вы- ФЩ равенне С з ф ~хАО ) , где Э' - постоянная безразмерная характеристика данного газа , равная в случае воздуха при комнатной температуре 1,4, представляет собой скорость звука в газе.
Таким образом, можно считать, что сила сопротивления „Е движению шара зависит от величин плотности газа д , скорости движения шара Г , диаметра шара 2Э и скорости звука 4 и неподвижном газе, которую можно ввестк вместо давления: ф,Р~„О;.у:) с3. (4) тг З-и~8 .
Составим теперь комбинацию ~ ~~~ ь . -л ~ . Читатель легко проверит, что она безразмерна.' Очевидно, что соотношение 14) можно переписать в таком виде: ф не зависит, Далее, меняя произвольно только единицу вре- представляет собой отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Здесь .1'7 м Р/с — тоже безразмерная величина, отношение ско- 1 рости тела к скорости звука. Зта величина носит название числа Маха в честь австрийского естествоиспытателя, выполнившего пионерские эксперименты с ударными. волнами в газе.
уменьшим теперь единицу массы в произвольное число .И раз, а все прочие единицы оставим неизменными. Тогда численное значение плотности возрастет в л)л раэ, а численные значения размерных величин 17 и Д.") , а также безразмерных величин .П и .П останутся неизменными. Но зто значит, что величина П от плотности (3) Рассматриваемые соотношения переэодятся в форму соот- ношений между беэразмврными величинами. Выигрыш от применения анализа размерностей заключается в том, что чиоло безразмерных величин меныпе общего числа раэмер- твх величин, соотношения между которыми мы ищем, на число раэ- мерных парзметров с независимыми размерностями.
Все дело в том, однако, что кажущаяся простота этой процедурм иллюзорна. Действительно, она на самом деле эффектизна, когда дело в конце концов сводится к определению константы или функции одной безразмерной переменной. Поэтому важно при установлении параметров, от которых зависит определяемая изми вели- чина, ограничиться только необходимым минимумом этих парвметроэ. Вместе с тем нельзя пропустить нн одного сущестиснного парзметра.
Кзк тут поступать, особенно в тех случаях, когда мы не располагаем математической постановкой задачи? 4. Продемонстрируем возникающие здесь действительно принципиальные трудности на следующем примере. Пусть какая-то величис— на, обозначим ев ьФ, имеющая размерность „л~, .Я заяисит от некоторой длины ь , массы мз и времени а такке предположительно еще от параметра 7~ , имеющего размерность ,Ег ~ .М 7 Буквально повторяя рассуждения последнего примера, зту за- эисимость можно привести к виду где безразмерные величины Л , Л~~ определяются выражениями Именно такая ситуация имеет место, как показывает график рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
