Г.И. Баренблатт - Анализ размерностей. Учебное пособие (1132323), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Но жидкость в элементе не посождается и не уничтожается, а пло- тность ее - постоянна. Поэтому ото суммарное превышение должно равняться нулю, откуда получается уравнение неразрывности Р,~л ч к„ъс юО, (5.1) Далее, в гидродинамике доказывается, что двикение жидкости, лишенной внутреннего трения, возникающее при обтекании тела поступательным потоком, потенциально, Сто означает, что обе компоненты скорости течения предстанляютс« соответствую нми производными одной функции - потенциала кается.
Рассмстрии баланс вещества в элементе объема прямоугольной формы со сторонами Ж , ~у цо осям ж и у имеющем единичную толщину вдоль оси у (рис. 5.2). За единицу времени через левую грань в элемент объема втекает жидкость в количестве и /у , через правую грань вытекает жидкость в количестве ( и.„ -и Э и ч,ж,) «~у ; через нижнюю грань жидкость втекает в количестве зл «(=с , через верхнюю грань жидкость вытекает в количестве ( и , Э зл„ «у~) о(х . у л 4' (Мы пренебрегли здесь мвлыыи величинами более высоких порядков, скорости ф() и Р (,(э, ц ~~(лз.
(5.2) Подставляя выражения (5.2) в уравнение иерей()а)юности (5.1) получаем для потенциала $Р уравнение Лапласа Р ~ Р' р.о. (5.3) Перейдем к удобным в данной задаче полярным координатам и б) (рис. 5.1а), согласно формулам осл ю злю бр ,узка'и ср . Тогда выражения для радиальной х» и поперечной и компонент скорости через потенциал принимают вид ~»" ~»~з ~м.~""~~м~'. а уравнение Лапласа (5.3) запизется в виде ~„„Р Ю. ('Уl ) Р„р + ~К~й~> Р 4д (!). (5.4) (5.5) границах тела обращается з нуль только составляющая скорости, перпендикулярная' поверхности тела. Поэтому граничные условия в данной задаче представляются в виде Э„ (з ы О на поверхности клина; Р с~~ СР, ем Ью О вдали от клина, т.е.
на бесконечности. Здесь Э (р - производная потенциала по направлению нормали к поверхности клина. Будем, одна- ко, интересоваться распределением скорости в потоке не зеэдз, Обратимся теперь к формулировке граничных условий, соответствующих данной задаче. Они доланы отражать обращение в нуль на' поверхности клина компоненты скорости, перпендикулярной поверхности клина,и то, что поток вдали от клина невозмущвн. Напомним, что при обтекании тела потоком идеальной жидкости на - 98- а только на расстояниях т. от острия клина Р, е одной оторонм, много больших радиуса затупленкя клина т. (рнс.
5.1а), О я, с другой стороны, - много меньших продольного размера клина (5.6) Попмтаемся теперь поступить в точностн так кв, как это делалось в предыдущей глазе в задаче теплопрозодноотн. Нэпом- нкм: мы нь.врееоэались твм распределением тепла э стеркне э мо- менты времени, когда размер прогретой области уке был много бо- льшмм начального. Поэтому мы приняли размер области начального тепловыделения равным нулю. И здесь поотупим так яе: поскольку нас интересуют расстояния от острия клина, много большие рвдиу- са затупления т. , мы пренвбрвкем наличием затупления и будем считать клин острым.
Далее, е предыдущей главе нас кнтервсоза- ло распрвделеняе тепла э ствркнв в моменты времени, когда размер прогретой области еще меньше расстояний от краев отержня, поз- тому стврквнь на этом проывкуточном этапе мокно было считать беоконечным. Так ше поступим к здесь: поскольку кнтервеующие нас раеотоянкя от острия клина много меньше продольного размера клина .Е , будем считать хлин бвоконвчным. Схематизированное таким образом обтекаемое тело (беоконечный ааоотренный клин) показано на рко. 5.
1а пунктиром. Йв гранях этого клина угол (х поотолнен, и, следовательно, долвна обращаться з нуль попервчнея компонента окороети и ю ГМ~) Рв )ю, в Стало быть, граничное условие для потенциала на гранях лкнв нмевт Внд -99- (5.7) З )о Су, З~~п О, (5.8) Отсюда следует, что потенциал (р обтекания поступательеи потоком бесконечного заостренного клина (рис. 5.1б) покет зависеть от следующих определяющих параметров: величин, вхо- дящих в уравнение Лапласа (5.5) и граничные условия (5.')) и (5.8) ', скорости набегающего потока У; радиуса Т.
) по- лярного угла д и угла раскрытия клина 8 сг' , так что (го / ~~' к,~, ), (5.9) Размерности определяющих параметров равны, очевидно, ~У2 .Е,7",Еку .Ь,~В] 1,~ся~ю Ф (5.10) Иэ соотиоиений (5,2) следует, что размерность 9Р равна б,с '7 - произведению ра мерности скорости на длинуг г-у.у..т,г-)--.' Таким образом, гь = 4, Яс 2 и анализ размерностей дает по общину правилу (,р У'к ф~д а().
(5. П) ЛиФференцируя зыраязние для потенциала (5,11), получаем Вдали от обтекаемого клина скорость потока долина, по той ие логике, быть невозмущенной, так что на бесконечности вне клина долино выполняться соотноиение Подставляя эти соотношения в уравнение Лапласа (5.5), получаем, что Функция ф должна удовлетворять простому ди4фере(в .циальному уравнению (5.12) Решение этого уравнения хорошо известно: ф *е А еВ За 'и д , где гл7 и З - произвольные постоян- ные. Следовательно, согласно соотноз~ению(5.11), получаем, что ЯО ~ ЪОчз 8 ~уО + ~злу . Дш5$ реш цируя, находим тл ч я ~, тл В Су , т.е. распределение скоростей поступательного потока. Не условия (5.5) сле- дует, что на бесконечности поток должен быть невозмущенным, так что глу = 1, В .-. О. Мы пришли к парадоксзльноыу выводу: на- линие илина не изменяет поступательного потока' Но невозмуще и- ный поступательный поток с пстенциалом гф ~ ~уксеьу , оче- видно, не удовлетворяет условию (5.7) непротекания жидкости через грани клина.
Стало быть, решения задачи об обтекании поступательным потоком бесконечного клина не существует. Повторим еще раз — если бы зто решение существовало, оно должно было бы определяться только величинами ~ , ж , ~ и С~ В этом же случае, как только что была показано, решением может быть только потенциал поступательного потока, не улозлетзоряющнй условию на гранит клина. 2. Разреиенне пареде кса В чем ав состоит природа зозникизго парадокса? Казалось бм, мм поступали точно так, иак в предыдущей главе. Нас интере- совало поле скоростей в "ярокеиуточнсм" диапазоне расстояний от острия клина, ююго 'больных ракиуса затуплвния клина, н, вместе с тем, много меньиих продольного размера клина. Поэтому иы свели задачу к задаче обтекания бесконечного заостренного клина точно так ке, как в предыдущей главе мы свели задачу к рас- смотренив распространения тепла от сосредоточенного мгновенного источника в бесконечном стерине.
Но в задача теплопроводности нам все удалось до конца, а здесь, в задача обтекания, мы примли к противоречив. Для того, чтобы з нем разобраться, возьмем реивние неско- лько более сломкой задачи об обтекании заостренного клина конечного продольного размера .Б (рис. 5.1з). Ревенив етой задачи хороио известно в гидродинамике. Оно имеет зид фв действительная часть П» (5.13) Здесь ф м 7ГЧ: ) - аналитическая функция коыплексной переменной ~ а сс т х и , осуществляющая конформное отобрэиенне знеиности треугольника — сечения обтвкаемого клинана внешность отрезка Ощ ~." С сз. оси сс , прнчеи ° У4'/аУ~-ь 1 при ~ , стремящемся к бесконечности. Подчеркнем, что размер отрезка а. не задается, а определяется параметрами треугольника: его высотой Х и углом при еериине д~ ку . Иэ теории функций комплексной переменной иэзе- -103 (5.8) ° Переход я пределу Ег'вм'.Р в рвимнии (5.13) - (5.14) при ~ Се эЕ дает просто (О и О, т.в.
покой. Длк получения правильного, т.в. эырвиэля(его нувнув асннптотнку, предельного ремення нуино, как показывает форвулв (5.15), при расвирении клина, т.е. прн переходе к пределу .Ь "в Оо, стре нить к бесконечности талке и скорость набегвищвго потока так чтобы произведение З- У..Х. " (5.16) оставалось постокнньм. Теперь уив становится ясным, что здесь проносило. По сравнение с задачей обтекания бесконечного клина, реивния которой, как выяснилось, не существует, в задаче обтекания клина яонеч- ных размероз, рзиеннв которой существует, имеется один дополнительньб) размерный опрадвлязи(ий параметр: высота клина Ь '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
