Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если уравнениеx2 + y 2+ const2суть замкнутая кривая, то ее можно принять за контур поперечного сечения;при этомImw(z) =Rew(z) = f (x, y)– искомая функция для кручения соответствующего стержня.Стержень с эллиптическим поперечным сечениемРассмотрим функциюw = −iAz 2 = 2Axy − iA x2 − y 2 ,где A некоторая постоянная. Легко видеть, что уравнениеψ=ψ = −A x2 − y 2 ,f = 2Axy,x2 + y 2− C22приводится к эллипсу с полуосямиa= qC12+A,b= qC12−A,если A < 0.5. Из этих соотношений можно исключить A и получить решениеb 2 − a2f= 2xy.b + a23.4.
КРУЧЕНИЕ63Функция напряжений при крученииВводится функцияF =ψ−x2 + y 2,2которая может быть также вычислена из задачи:(3.15)△F = −2,F = const.CВычислим ненулевые компоненты тензора напряжений через функцию Fp13 = p31p23 = p32!!∂ψ∂F∂f= αµ −y += αµ,= αµ −y +∂x∂y∂y!!∂f∂ψ∂F= αµ x +.= αµ x −= −αµ∂y∂x∂xЛегко видеть, что проекция уравнений равновесия (3.11) на направление zудовлетворяется.3.4.2Кручение круглых валов переменного диаметраРассматривается тело вращения, скручиваемое парами сил, приложенными наего торцах15 .Для описания напряженного состояния тела используется цилиндрическаясистема координат (r, θ, z) с осью z вдоль оси тела. Пусть (u, v, w) – векторперемещений, тогда компоненты тензора деформаций вычисляются согласно!1 ∂v∂w∂u, εθθ =+ u , εzz =,(3.16)εrr =∂rr ∂θ∂z∂u ∂w∂v 1 ∂w1 ∂u ∂v v+− , 2εrz =+, 2εθz =+.2εrθ =r ∂θ ∂r r∂z∂r∂z r ∂θУравнения равновесия в цилиндрической системе координат имеют вид∂prr 1 ∂prθ ∂prz prr − pθθ+++= 0,∂rr ∂θ∂zr∂prθ 1 ∂pθθ ∂pθz 2prθ+++= 0,∂rr ∂θ∂zr∂prz 1 ∂pθz ∂pzz prz+++= 0.∂rr ∂θ∂zr15[6], §87Глава 3.
ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО64Предположим, что u = 0 и w = 0, т.е. частицы могут смещаться лишь втангенциальном направлении, и решение задачи осесимметрично, т.е. ∂/∂θ = 0.Тогдаεrr = 0, εθθ = 0, εzz = 0,∂v∂v v− , 2εrz = 0, 2εθz =,2εrθ =∂r r∂zпервое и третье уравнения равновесия тождественно выполняются, а второеуравнение можно записать как∂ 2 ∂ 2 r prθ +r pθz = 0.∂r∂zВведем функцию напряженийr2 prθ = −∂F,∂zr2 pθz =∂F.∂rСледовательно,prθ = −1 ∂F,r2 ∂zpθz =1 ∂F.r2 ∂rС другой стороны,prθpθz!∂∂v v= µr−= 2µεrθ = µ∂r r∂r ∂v∂ v= 2µεθz = µ= µr.∂z∂z rv,r После перекрестного дифференцирования получаем,∂∂r1 ∂Fr3 ∂r!∂+∂z1 ∂Fr3 ∂z!=0или3 ∂F∂2F∂2F−+= 0.∂r2r ∂r∂z 2Граничное условие следует из отсутствия нормальных напряжений на контуре:prθ nr + prz nz = 0,а для вычисления касательного и нормального к контуру ~r = (r(s), θ = const, z(s))векторов имеем ~τ = (ṙ, 0, ṡ) и ~τ = (ż, 0, −ṙ), соответственно, илиprθdzdr− pθz= 0;dsds3.4.
КРУЧЕНИЕ65следовательно,∂F dz ∂F dr+= 0,∂z ds∂r dsт. е. функия F постоянна по контуру осевого сечения.Крутящий момент равенM = 2πZR2r pθz dr = 2π0ZR0R∂Fdr = 2πF ,∂r0где R – радиус поперечного сечения.Рассмотрим частный случай конического вала. В этом случае на контуреосевого сечения постоянна величинаcos α = √z,z 2 + r2α – угол конуса. Следовательно, любая функция этого соотношения удовлетворяетусловию на контуре. Уравнение для функции F удовлетворяется, еслиA – постоянная. Тогда"z1z√−F = A √ 2223z +rz + r2pθz =#3 ,1 ∂FArz=−5 .2r ∂r(z 2 + r2 ) 2Из уравнения для крутящего момента следует выражение для коэффициентаA=−M2π23− cos α + 13 cos3 α.66Глава 3. ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛОГлава 4Плоские задачи теории упругости4.1Основные соотношенияДля плоских задач теории упругости выполняются следующие предположения1p11 (x, y),ε11 (x, y),p22 (x, y),ε22 (x, y),p12 (x, y),ε12 (x, y),p33 (x, y),ε33 (x, y),p13 = p23 = 0,ε13 = ε23 = 0.Перемещения и деформацииДалее рассматриваются задачи, для которых можно ввести перемещения изначального состояния.
Тогда 6 уравнений совместности сводятся к 4 соотношениям∂ 2 ε12∂ 2 ε11 ∂ 2 ε22,+=2∂y 2∂x2∂x∂y∂ 2 ε33∂ 2 ε33∂ 2 ε33= 0.==∂x2∂y 2∂x∂yСледовательно,∂w= ε33 = Ax + By + C∂zили w = (Ax + By + C) z + f (x, y).Тогдаz 2 ∂f∂u ∂w+= 2ε13 = 0 или u = −A −z + ω1 (x, y),∂z∂x2∂x∂v ∂wz 2 ∂f+= 2ε23 = 0 или v = −B −z + ω2 (x, y).∂z∂y2∂yДалее,∂u= ε11∂x1или−∂2f∂ω1= ε11 ,z+2∂x∂x[5], глава 11, §167Глава 4. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ68∂2f∂ω2∂v= ε22 или − 2 z += ε22 ,∂y∂y∂y!∂2f1 ∂ω1 ∂ω2∂u ∂v= ε12 .+= 2ε12 или −z++∂y ∂x∂x∂y2 ∂y∂xТ.к.
все функции зависят лишь от x и y, то f = ax + by + c, что соответствуетперемещению тела как твердого. Следовательно, независимо от вида связитензоров деформаций и напряжений компоненты перемещений в плоской задачеимеют видu = −Az2+ ω1 (x, y),2v = −Bz2+ ω2 (x, y),2w = Ax + By + C, (4.1)где функции ω1 (x, y) и ω2 (x, y) связаны с компонентами тензора деформацийуравнениями∂ω1= ε11 ,∂x∂ω2= ε22 ,∂y∂ω1 ∂ω2+= 2ε12 .∂y∂x(4.2)Напряжения для линейно-упругого телаДля плоской задачи закон Гука c учетом линейности ε33 имеет видp11 = λ (ε11 + ε22 ) + 2µε11 , p11 = p11 − λ (Ax + By + C)p22 = λ (ε11 + ε22 ) + 2µε22 , p22 = p22 − λ (Ax + By + C)p33 − λ (Ax + By + C) = λ (ε11 + ε22 ) , p12 = 2µε12 .Эти соотношения можно разрешить относительно компонент тензора деформаций1 − σ2σσ1 − σ2,p11 −p22 , ε2 =p22 −pE1−σE1 − σ 1111+σp12 , ε33 = [p33 − σ (p11 + p22 )] .=EEε11 =ε12(4.3)Здесь E = µ (3λ + 2µ) / (λ + µ) , σ = λ/2 (λ + µ) — модуль Юнга и коэффициентПуассона.Тогда из уравнения совместности следует уравнение Бельтрами–Мичеллаплоской задачи∂ 2 p11 ∂ 2 p22∂ 2 p12+ σ△p,+=2∂y 2∂x2∂x∂yp ≡ p11 + p22 .(4.4)Условия на внешние силыУравнения равновесия плоской задачи∂p11 ∂p12++ F1 = 0,∂x∂y∂p12 ∂p22++ F2 = 0,∂x∂yF3 = 0(4.5)4.1.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ69выполняются, если F1 (x, y), F2 (x, y), F3 = 0.Граничные условия для напряжений имеют вид(e)p11 n1 + p12 n2 = p1 ,(e)(e)(e)(e)p12 n1 + p22 n2 = p2 ,(e)p33 n3 = p3 ,(4.6)где p~ (e) = p1 , p2 , p3 — вектор внешних поверхностных сил, ~n = (n1 , n2 , n3 )— единичная внешняя нормаль. Далее рассматриваются цилиндрические тела,(e)для которых n3 = 0 и, следовательно, p3 = 0.Постановка плоских задачДля цилиндрического тела с образующими, параллельными оси z, с известным(e)(e)распределением внешних поверхностных сил p1 (x, y), p2 (x, y) компонентытензора напряжений p11 , p22 , p12 определяются из уравнений равновесия (4.5)и уравнения совместности (4.4). Далее из закона Гука (4.3) определяютсякомпоненты тензора деформаций, причем компоненты ε11 , ε22 находятся с точностьюдо линейной функции, которая конкретизируется заданием ε33 или p33 .
Перемещениянаходятся из (4.1), (4.2) с точностью до движения тела как твердого.Плоское деформированное состояние. В этом случаеε33 = 0,(4.7)A=B=C=0иp11 = λ (ε11 + ε22 ) + 2µε11 , p22 = λ (ε11 + ε22 ) + 2µε22 ,p33 = λ (ε11 + ε22 ) или p33 = σ (p11 + p22 ) ,u = ω1 , v = ω2 , w = 0.p12 = 2µε12Плоская деформация реализуется при нагружении цилиндрического теласилами, которые статически равны нулю, параллельны плоскости x, y и независят от координаты z. При этом торцовые сечения закреплены таким образом,что их точки могут перемещаться лишь в плоскости.Плоское напряженное состояние.
В этом случаеp33 = 0,∂ω1 ∂ω2или λ+∂x∂y!+ (λ + 2µ) (Ax + By + C) = 0;что накладывает ограничения на перемещения тела в плоскости z = 0.Из закона Гука следует, чтоλ(ε11 + ε22 ) ,λ + 2µ= λ∗ (ε11 + ε22 ) + 2µε11 ,= 2µε12 ,ε33 = −p11p12p22 = λ∗ (ε11 + ε22 ) + 2µε22 ,(4.8)Глава 4. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ70где λ∗ = 2λµ/ (λ + µ).Согласно (4.1) при плоском напряженном состоянии сечения тела z = constпереходят в наклоненные плоскости. Реализоать плоское напряженное состояниеможно при очень искусственных условиях.Обобщенное плоское напряженное состояние. Рассматривается тонкаяпластина, толщина которой 2h много меньше характерного продольного размераd. Плоскость xy совмещена со средней плоскостью пластины. Предполагается,что внешние силы параллельны относительно плоскости xy и симметричныотносительно нее, а также отсутствуют внешние усилия на торцах:p13 (x, y, ±h) = p23 (x, y, ±h) = p33 (x, y, ±h) = 0.В частности, с учетом (4.5) это приводит к∂p33∂p33∂p33=== 0,∂x∂y∂zследовательно, величина p33 — малая.Осреднение первых двух уравнений (4.5) по толщине пленки даетz = ±h :∂p∗11 ∂p∗12++ F1∗ = 0,∂x∂yp∗ijh1 Z=pij dz,2hFi∗−h∂p∗12 ∂p∗22++ F2∗ = 0,∂x∂yh1 Z=Fi dz.2h−hОсреднение закона Гука (4.8) даетp∗11 = λ∗ (ε∗11 + ε∗22 ) + 2µε∗11 ,p∗22 = λ∗ (ε∗11 + ε∗22 ) + 2µε∗22 ,p∗12 = 2µε∗12 ,где величины со звездочкой — осредненные по толщине пластинки.Это напряженное состояние, реализующихся в тонких пластинах, работающихбез изгиба, называется обобщенным плоским напряженным состоянием.4.2Функция напряжений ЭриВ неоднородных уравнениях равновесия внешние массовые силы можно исключить,рассмотрев одно частное решение этих уравнений.
Поэтому далее рассматриваютсясистемы однородных уравнений равновесия∂p11 ∂p12+= 0,∂x∂y∂p12 ∂p22+= 0,∂x∂yТогда можно ввести функции A(x, y), B(x, y) такие, чтоp11 = −∂A,∂yp12 =∂A,∂xи p12 = −∂B,∂yp22 =∂B.∂x4.2. ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ЭРИ71Из соотношений для p12 следует, что можно ввести функцию U :B=∂U,∂xA=∂U.∂yТогда∂ 2U,∂y 2p11 =p22 =∂2U,∂x2p12 = −∂2U.∂x∂y(4.9)Функция U (x, y) называется функцией Эри. Эту функцию можно вводить длястатических плоских задач с любой реологией.Рассмотрим связь функции Эри на границе с внешними поверхностнымисилами. Преобразуем (4.6) для заданного натуральной параметризацией граничногоконтура L(e)p1(e)p2∂ 2U∂2Ud ∂U= p11 ẏ − p12 ẋ =ẏ+ẋ =,2∂y∂x∂yds ∂y!∂ 2Ud ∂U∂2U.ẏ −ẋ = −= p12 ẏ − p22 ẋ = −∂x∂y∂x2ds ∂x!Если контур L ограничивает односвязную область и система внешних поверхностныхсил статически эквивалентна нулю, то функция Эри — однозначна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
