Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ242.2Магнитная гидродинамикаРассмотрим движения среды в электромагнитном поле, при которых ток смещения,определяемый членом в левой части уравнения (2.1), прнебрежимо мал; такжепренебрегается первым слагаемым в выражении для закона Ома (2.3); из этихдвух уравнений можно исключить напряженность электрического поля 3~ =Ec~ − 1 ~v × H.~rotH4πσcПодставляя это соотношение в первое уравнение (2.2) и используя векторноетождество~ = ∇divH~ − △H~rotrotHполучаем уравнение для напряженности магнитного поля2~∂H~ + c △H.~= rot ~v × H∂t4πσТаким образом, система уравнений магнитной гидродинамики несжимаемойвязкой жидкости для скорости ~v и давления p сплошной среды, а также напряженности~ состоит измагнитного поля Hdiv~v = 0,"#∂~v1~ρ+ (~v · ∇) ~v = −∇p + µ△~v + F~ + ~j × H,∂tc2~∂H~ + c △H,~= rot ~v × H∂t4πσ1~~ = c rotH~ − 1 ~v × H,~~~j = c rotH,Eρe =divE,4π4πσc4π(2.11)~причем в уравнении движения пренебрегается членом ρe E.2.2.1МГД–течение между паралелльными плоскостямиРассматривается стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости междупараллельными твердыми плоскостями при наличии перпендикулярного к ним~ 04.однородного магнитного поля HВыберем систему координат xyz, начало которой расположено посерединемежду плоскостями и ось z ориентирована в направлении внешнего магнитного34[1], глава 8, §66[1], глава 8, §672.2.

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА25~ =поля. Ищется решение уравнений (2.11) вида ~v = (vx (z), 0, 0), p(x, z), H(Hx (z), 0, Hz (z)). Последовательно вычисляем:!!~ = c Hz dHx , 0, −Hx dHx ,~j × H4πdzdz!d~ = (0, −vx Hz , 0) , rot ~v × H~ =(vx Hz ) , 0, 0 .~v × Hdz~j = c 0, dHx , 0 ,4πdzТогда система уравнений и граничных условий запишется как∂pd2 vx1dHx∂p1dHx+µ 2 +Hz= 0, − −Hx= 0,∂xdz4πdz∂z 4πdzc2 d2 Hxd2 Hzd(vH)=0,+= 0,xz4πσ dz 2dzdz 2z = ±h : vx = 0, Hx = 0, Hz = H0 .−Следовательно,Hz = H0 ,p+1 2H = f (x)8π xи для определения функций vx и Hx получаем краевую задачуc2 d2 Hxdvxd2 vx1dHxdf+H=0,µ+H0=,0224πσ dzdzdz4πdzdxz = ±h : vx = 0, Hx = 0,где df /dx — заданный градиент давления вдоль оси x ( Hx не зависит от x).Решение имеет видc µch (h/δ) − ch (z/δ), δ=,vx = V0ch (h/δ) − 1H0 σ4π √ (z/h) sh (h/δ) − sh (z/δ)σµHx = −V0.cch (h/δ) − 1rЗдесь V0 ≡ vx (0).

Подставив это решение в уравнение движения можно определитьсвязь V0 и df /dx:V0 = −df ch ch (h/δ) − 1.√dx H0 σµ sh (h/δ)Средняя скорость жидкости!h1 Zdf hδh δvx =vx dz = −coth −.2hdx µδh−hГлава 2. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ26Критерием подобия служит число ГартманаG=hhH0 √σµ :=δcG≪1:G≫1:z21− 2 ,hdf h2vx = V0vx =,dx 3µ!#"df hch − |z|, vx =vx = V0 1 − exp −√ .δdx H0 σµ!Увеличение магнитного поля делает профиль скорости более плоским и уменьшаетсреднюю скорость движения.Движение жидкости приводит к появлению электрического тока в направленииоси y:~j = (0, jy , 0) ,jy =V0 √V0 H0 σ ch (z/δ)ch (z/δ)c dHx==.σµ4π dzδch (h/δ) − 1c ch (h/δ) − 1Напряженность электрического поля~ = (0, Ey , 0) ,E2.2.2Ey =11jy + vx H0 .σcМагнитогидродинамические волныСжимаемая средаЛинейные волны Рассмотрим распространение волн малой амплитуды видеальной сжимаемой среде с бесконечно большой проводимостью (σ = ∞)для баротропного процесса5 .

В этом случае система уравнений магнитнойгидродинамики отличается от приведенной в (2.11) отсутствием второго слагаемогов уравнении для магнитной напряженности и видом уравнения неразрывности:"#∂~v1∂ρ~+ divρ~v = 0, ρ+ (~v · ∇) ~v = −∇p + ~j × H,∂t∂tc~∂H~ , divH~ = 0, ~j = c rotH.~= rot ~v × H∂t4πp = p(ρ),(2.12)В бесконечной области имеется тривиальное решение этой системыρ = ρ0 = const,p = p0 = const,~v = 0,~ =H~ 0 = const,~H~j = 0.Малые возмущенияρ = ρ 0 + ρ1 ,5[1], глава 8, §69p = p0 + p1 ,~v = ~v1 ,~ =H~0 + H~ 1,H~j = ~j1 ,2.2.

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА27этого решения удовлетворяют системе линеаризованных уравненийs∂~v11∂ρ1~1 × H~ 0 , a0 = dp ,+ ρ0 div~v1 = 0, ρ0= −a20 ∇ρ1 +rotH∂t∂t4πdρ ρ0~1∂H~ 0 , divH~ 1 = 0,= rot ~v1 × H∂tгде a0 — скорость звука в покоящейся среде.Полученная система с постоянными коэффициентами имеет решение в формебегущей волны; примем, что направление движения волны происходит вдольоси x, и решение имеет вид f1 = f exp iα (x − λt), в котором f1 — любая изискомых функций, и f — ее постоянная амплитуда. Подстановка волновыхрешений приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений дляамплитудных функций:ρ0ρ = vx ,λa211λvx = 0 ρ +(H0,z Hz + H0,y Hy ) , λvy = −H0,x Hy ,ρ04πρ04πρ01λvz = −H0,x Hz ,4πρ0λHx = 0, λHy = H0,y vx − H0,x vy , λHz = H0,z vx − H0,x vz ,Hx = 0.Из полученных соотношений следует, что при волновом движении вдоль оси xсоответствующая компонента вектора магнитной напряженности Hx не возмущается.Поворотом системы координат вокруг оси x всегда можно добиться, чтобыH0,z = 0; тогдаa2H0,yHy ,λ − 0 vx =λ4πρ0H0,xH0,xHy , λvz = −Hz ,λvy = −4πρ04πρ0λHy = H0,y vx − H0,x vy , λHz = −H0,x vz .!(2.13)Т.о., уравнения разделяются на две группы: vz , Hz и vx , vy , Hy .Альфвеновские волны Условия совместности для первой группы дают:H0,xλA = √,4πρ0vz = − √1Hz4πρ0(предполагается, что H0,x > 0).

Следовательно, имеется волна, в которойколебания скорости и магнитного поля ортогональны плоскости, образованойее направлением распространения и внешнего магнитного поля. Такая волнаназывается альфвеновской.Глава 2. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ28Магнитозвуковые волны Уравнения для второй группы неизвестныхпоследовательно приводятся кλH0,yH0,xHy , vx =Hy ,4πρ0 λ4πρ0 (λ2 − a20 )!a2 H 2H024222λ −+ a0 λ2 + 0 0,x = 0, H02 = H0,x+ H0,y.4πρ04πρ0vy = −Следовательно,λ2 =H021+ a20 ±2 4πρ0vuutH024πρ0+ a20!2−2a20 H0,xπρ0.Знаки + и − соответствуют быстрой и медленной магнитозвуковым волнам.В этих волнах колебания скорости среды и магнитного поля происходят вплоскости, образованной вектором внешнего магнитного поля и направленияволны, причем колебания магнитного поля ортогональны направлению волны.1. Рассмотрим случай относительно слабого внешнего поля: H02 ≪ 4πρ0 a20 .Тогдаλ2+ ≈ a20 +2H0,y,4πρ0λ2− ≈2H0,x,4πρ0следовательно, предельной для быстрой волн является обычная звуковые, длямедленной — альвфеновская волна.Для быстрой волныvyH0,xa2=−1 − 20 → 0,vxH0,yλ+!H0,y vxH0,x vyH0,y vx − H0,x vy=1−=Hy =λ+λ+H0,y vx"!#2H0,xH0,y vxa20H0,y vx1+ 2 1− 2.→λ+H0,yλ+a0!Следовательно, для быстрой волны нормальная к направлению движения волныскорость среды колеблется слабо.Для медленной волныH0,x1Hy ,Hy ≈ − √4πρ04πρ0 λ−!Hyλ− Hy + H0,x vy1H0,x√= 0.Hy − H0,x √vx =≈4πρ04πρ0H0,yH0,yvy = −Следовательно, для медленной волны колебания скорости среды вдоль направлениядвижения существенно слабее, чем в перпендикулярном направлении.2.2.

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА292. В случае относительно сильного поля H02 ≫ 4πρ0 a20 :λ2 =λ2+H028πρ01 +H02≈,4πρ04πρ0 a20H02λ2−±vuut1+4πρ0 a20H02!2−2a20 H0,xπρ04πρ0H02!22H0,x≈a2 .H02 0,Для быстрой волныH0,yH0,y λ+H =Hy ,2 y24πρ0 λ+ − a04πρ0 λ+Hyv 2 = vx2 + vy2 ≈.4πρ0vx =vy = −H0,xHy ,4πρ0 λ+~ 0 — в сильных полях возмущения скорости в быстройВ частности, ~v ⊥ Hмагнитозвуковой волне ортогональны внешнему полю.Для медленной волныH0H0,xHy ≈ −Hy ,4πρ0 λ−4πρ0 a0H0,y λ−H0,x H0vx =Hy ≈ −Hy ,224πρ0 (λ− − a0 )4πρ0 a0 H0,yvxH0,x=.vyH0,yvy = −~ 0 — коллинеарны и противоположно направлены.Следовательно, вектора ~v и HНелинейные волны Пусть волна распространяется вдоль оси x перпендикулярно~ = (0, Hy , 0); переменные ~v = (vx , vy , vz ), p, ρ и Hy зависятмагнитному полю Hот x и t. В этом случае уравнения (2.12) дают!∂p Hy ∂Hy∂vx∂vx∂ρ ∂ρvx=−+= 0, ρ+ vx−,∂t∂x∂t∂x∂x 4π ∂x∂vy∂vy∂vz∂vz∂Hy ∂Hy vx+ vx= 0,+ vx= 0,+= 0.∂t∂x∂t∂x∂t∂xПредполагается, что течение баротропно.Уравнения для vy и vz показывают, что значения этих величин сохраняютсяв частицах; уравнения для этих пременных отделяются и могут быть найденыпосле определения функций vx , p, ρ и Hy .Вводится новая переменная b ≡ Hy /ρ; легко проверить, что∂b∂b+ vx= 0.∂t∂x30Глава 2.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫЕсли в начальный момент b ≡ const, то Hy = bρ в всей области и при t > 0.Тогда задача сводится к двум уравнениям для ρ и vx :∂ρ ∂ρvx+= 0,∂t∂x∂vx∂vxρ+ vx∂t∂x!=−∂ p̃,∂xp̃(ρ) = p (ρ) +b 2 ρ2,8πгде функция p̃ — модифицированное давление с известной зависимостью отплотности ρ. Задача свелась к обычной системе для одномерных баротропныхтечений сжимаемого газа.

В частности, скоростью звука являетсяã =sdp̃=dρsa2 +b24πvuuH2ρ = ta2 + y .4πρНесжимаемая средаЛинейные волны Для несжимаемой среды (a0 = ∞) решение (2.13) дляальвфеновских волн не изменяется.Формулы (2.13) для магнитозвуковых возмущений даютvx = 0,λvy = −H0,xHy ,4πρ0λHy = −H0,x vy .Тогда~HH0,x, ~v = − √λ= √4πρ04πρ0т.е. возмущения скорости и магнитного поля ортогональны направлению движенияволны — это предельный случай альвфеновских волн.Нелинейные альвфеновские волны Рассмотрим нелинейные волны в несжимаемойидеальной жидкости, описываемые системой уравнений:"#∂~v1~ × H,~div~v = 0, ρ+ (~v · ∇) ~v = −∇p +rotH∂t4π~~ = 0, ∂ H = rot ~v × H~ .divH∂t~Ищется решение вида ~v (ξ), p(ξ), H(ξ),где ξ = x − λt.~ следует, что vx = const иИз условий соленоидальности векторов ~v и HHx = const.

Уравнения движения и переноса магнитной напряженности даютdp1 d 2+Hy + Hz2 = 0,dξ 8π dξHx dHydvzHx dHzdvy=, ρ (vx − λ)=,ρ (vx − λ)dξ4π dξdξ4π ξdvydHzdvzdHy= Hx, (vx − λ)= Hx.(vx − λ)dξdξdξdξ2.2. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА31Из второго и четвертого уравнений, третьего и пятого уравнений следует,чтоHx,λ = vx + √4πρHyvy = − √,4πρHzvz = − √.4πρДавление определяется из первого уравненияp+Hy2 + Hz2= const.8πВид функций Hy (ξ) и Hz (ξ) — произволен.32Глава 2. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫЧасть IIIМеханика деформируемоготвердого тела33Глава 3Линейно-упругое тело3.13.1.1Основные соотношенияТензор деформацийРассматривается деформация элемента сплошной среды, вызванная внешнимивоздействиями1 .

Для количественной оценки деформации сравним два состоянияэлемента в моменты времени t0 и t. Для этого вводятся лагранжевы координатыξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ; координатные линии этой системы в моменты времени t0 и t проходятчерез одни и те же частицы сплошной среды. Тогда закон движения сплошнойсредыxj = xj (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t), j = 1, 2, 3даст закон преобразования координатных линий лагранжевой системы в евклидовойсистеме наблюдателя x1 , x2 , x3 (рис.

3.1).Базисные вектора лагранжевой системы координат в рассматриваемые моменты1[4], глава 5, §5Рис. 3.1: Деформация лагранжевых координат35Глава 3. ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО36времени обозначим как∂~r ei = i , i = 1, 2, 3∂ξ t∂~r ei = i ,∂ξ t00(здесь и далее стрелки у базисных векторов лагранжевой системы опускаются).Далее вводятся два метрических тензора, соответствующие наборам базисныхвекторов,0g ij = e0 i , e0 j ,gij = (ei , ej ) ,i, j = 1, 2, 3и функции01εij =gij − g ij2i, j = 1, 2, 3.С помощью базисных векторов начального и конечного состояния можно образоватьдва тензора, ковариантные компоненты которых определяются этими функциями0i 0j0E = εij e e ,E = εij ei ej .0Тензоры E и E называются тензорами деформации Грина и Альманси, соответственно.Наряду со сравнением состояния элемента сплошной среды в некоторомфизическом процессе, возможно и иное определение тензора деформаций.

Характеристики

Список файлов книги