Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Пустьсмещение точек нейтральной поверхности обозначается как ζ(x, y, t). Предполагается,что смещения точек нейтральной поверхности в плоскости x, y суть малые болеевысокого порядка.Аналогично, предыдущему параграфу система уравнений и граничных условийимеет вид∂ 2u∂pxx ∂pxy ∂pxz=++,2∂t∂x∂y∂z∂pxy ∂pyy ∂pyz∂ 2v++,ρ 2 =∂t∂x∂y∂z∂ 2w∂pxz ∂pyz ∂pzzρ 2 =++,∂t∂x∂y∂zhz = ζ ± : pxz = pyz = pzz = 0.2ρДалее предполагается, что pxz = pyz = pzz = 0 для всех точек пластины.Тогда из закона Гука можно получить соотношения для компонент тензорадеформаций и его первого инвариантаεxz = εyz = 0,I1 (ε) =εzz = −λ(εxx + εyy ) ,λ + 2µ2µ(εxx + εyy ) .λ + 2µПри изгибе w = ζ и из первых двух соотношений следует, чтоu = −z∂ζ,∂xv = −z∂ζ,∂yГлава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ104где учтено, что при z = 0 : u = 0, v = 0.

Далее находятся оставшиесякомпоненты тензора деформаций и его первый инвариант∂2ζ∂ 2ζ∂ 2ζ,,ε=−z,ε=−zyyxy∂x2∂y 2∂x∂y!λλ∂2ζ∂2ζ,(εxx + εyy ) =εzz = −+λ + 2µλ + 2µ ∂x2 ∂y 2!2µ∂ 2ζ∂ 2ζI1 (ε) = −.+λ + 2µ ∂x2 ∂y 2εxx = −zСнова используя закон Гука можно вычислить ненулевые компоненты тензоранапряжений2µE∂2ζ∂ 2ζ∂2ζ∂2ζpxx = −,z 2 (λ + µ) 2 + λ 2 = −z+σλ + 2µ∂x∂y1 − σ2∂x2∂y 2"#!∂2ζ∂2ζ∂2ζ∂2ζE2µz 2 (λ + µ) 2 + λ 2 = −z+σ 2 ,pyy = −λ + 2µ∂y∂x1 − σ2∂y 2∂x22E∂ ζ∂ ζ=−z,pxy = −2µz∂x∂y1 + σ ∂x∂yПодставляя полученные выражения для перемещений и напряжений в уравненияЛаме для компонент u и v, получаем#"!∂ 3ζE∂3ζ∂ 3ζ=+σ,∂t2 ∂xρ (1 − σ 2 ) ∂x3∂x∂y 2!∂3ζE∂3ζ∂3ζ=+σ 2.∂t2 ∂yρ (1 − σ 2 ) ∂y 3∂x ∂y!Дифференцируя первое уравнение по x, второе — по y, и складывая, получаем∂ 2 △ζE=2∂tρ (1 − σ 2 )∂4ζ∂4ζ∂4ζ++2σ,∂x4 ∂y 4∂x2 ∂y 2!где △ — оператор Лапласа.Для полученного уравнения наиболее характерны два вида граничных условий,соответствующих заделанному краю и опертому краю.В случае заделанного края граничными условиями являются:∂ζζ = 0,= 0,∂nгде нормаль краю в плоскости xy.Для опертого края применяются граничные условия:ζ = 0,pnn = 0,где второе условие допускает проскальзывание в направлении ~n; здесьpnn1=1−σ"∂2ζ∂2ζ∂ 2ζ∂2ζ∂ 2ζ22+σ+σnx ny .+nn+2xy∂x2∂y 2∂y 2∂x2∂x∂y!!#5.3.

ВОЛНЫ В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ105Монохроматическая волнаРассмотрим распространение монохроматической волныζ = ζ0 exp i (αx + βy − ωt) .После подстановки получаемω2 =α4 + β 4 + 2σα2 β 2E.ρ (1 − σ 2 )α2 + β 2В случае β = 0 имеемEω =α2 ,2ρ (1 − σ )2ωc= =αsE,ρ (1 − σ 2 )где c — скорость волны.Собственные колебания прямоугольной пластиныПусть длины сторон пластины a и b. Тогда постановка задачи имеет видE∂ 2 △ζ=2∂tρ (1 − σ 2 )x = 0, a :ζ = 0,y = 0, b :ζ = 0,∂4ζ∂4ζ∂4ζ++ 2σ 2 2 ,∂x4 ∂y 4∂x ∂y2∂ ζ= 0,∂x2∂2ζ= 0.∂y 2!Решение имеет видnπymπxsincos ωt,ab" # " #−1Emπ 4mπ 2nπ 4mπ 2 nπ 2nπ 22ω =++ 2σ+.ρ (1 − σ 2 )abababζ = ζ0 sin106Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХПриложение AДополнительные материалыA.1Кривизна поверхности z = h (x, y, t)Процедура вычисления кривизны включает:• радиус–вектор в декартовой системе~r = (x, y, h) ,• касательные векторы к поверхности!!∂~r∂h= 1, 0,,∂x∂x∂h∂~r= 0, 1,,∂y∂y• коэффициенты первой квадратичной формы∂h∂~r ∂~r·=1+E=∂x ∂x∂x!2,∂h∂~r ∂~r·=1+G=∂y ∂y∂y!2,F =∂~r ∂~r∂h ∂h·=,∂x ∂y∂x ∂y• векторы∂2h∂ 2~r=0,0,,∂x2∂x2!∂2h∂ 2~r= 0, 0, 2 ,∂y 2∂y!∂2h∂ 2~r= 0, 0,,∂x∂y∂x∂y!• вектор нормали~n = EG − F! 1 r2 − 2 ∂~− 1∂h ∂h∂~r ×= EG − F 2 2 − , − , 1 ,∂x ∂y∂x ∂y107Приложение A.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ108• коэффициенты второй квадратичной формы 1 2∂ 2~r2 −2 ∂ h·~n=EG−F,∂x2∂x22 1∂ 2~r2 −2 ∂ h· ~n = EG − F,M=∂xy∂x∂y− 1 ∂ 2 h∂ 2~r.N = 2 · ~n = EG − F 2 2∂y∂y 2L=• сумма главных кривизнς=EN + GL − 2F M=EG − F 2∂h1 +∂x!2∂h+∂y!2 − 23 (∂h ∂h ∂ 2 h2.∂x ∂y ∂x∂y)∂h1 +∂x!2 ∂h∂2h + 1+2∂y∂y!2 ∂ 2h−∂x2• полная кривизнаκ=LN − M 2=EG − F 2∂h1 +∂x!2∂h+∂y!2 −1 "∂ 2h∂2h ∂2h−∂x2 ∂y 2∂x∂y!2 #≈∂ 2h ∂ 2h.∂x2 ∂y 2Литература1. Л. Д. Ландау, Е.

М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. Наука,Москва, 1982.2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория упругости. Наука, Москва, 1987.3. Ю. Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. Наука, Москва,1979.4. Л. И. Седов. Механика сплошной среды, т. 1. Наука, Москва, 1976.5. Л. И. Седов. Механика сплошной среды, т. 2. Наука, Москва, 1976.6.

С. П. Тимошенко. Теория упругости. Гос. Техн.-Теор. Изд., Москва, 1934.7. М. Э. Эглит, редактор. Механика сплошных сред в задачах, т. 1. МосковскийЛицей, Москва, 1996.109.

Характеристики

Список файлов книги