Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ79при a/b → 0 получаем A = −P/4, B = 0, C = −a4 P/4, D = a2 P/2. Следовательно,1 3a4 2a2prr =+− 2 P cos 2θ,2 2r4r!41 3a+P cos 2θ,pθθ = −2 2r4!1 3a4 a2prθ = − + 4 − 2 P sin 2θ.2 2rr!Это решение складывается с решением задачи Ламе при внешнем давленииpb = −P/2 и нулевом внутреннем pa = 0. Окончательно, распределение напряженийвычисляется по формулам1 3a4 2a2a2P+ 4 − 2 P cos 2θ +1− 2 ,prr =2 2rr2r!!24aP1 3a1+ 2 ,+ 4 P cos 2θ +pθθ = −2 2r2r!P3a4 2a2prθ = −1 − 4 + 2 sin 2θ.2rr!!На краю отверстия r = a:prr = 0,pθθ = P (1 − 2 cos 2θ)prθ = 0.Наибольшее растягивающее напряжение (pθθ )max = 3P достигается достигаетсяна концах диаметра, перпендикулярного направления растяжения (θ = ±π/2);в крайних точках диаметра, параллельного направлению растяжения, (θ = 0, π)получается сжимающее тангенциальное напряжение pθθ = −P .4.3.5Чистый изгиб кривого брусаРассматривается кривой брус постоянного сечения с круговой осевой линией,изгибаемый в плоскости свей кривизны парами сил M , приложенными поторцам, см.
рис. 4.13 .Граничными условиями для рассматриваемой задачи являются:r = a, b :θ = θ1 , θ2 :prr = 0,prθ = 0,prθ = 0,Zbpθθ dr = 0,aZba3[6], глава 3, §23rpθθ drθ1= −M,Zbarpθθ drθ2= −M.Глава 4. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ80Рис. 4.1: Чистый изгиб кривого брусаИщется осесимметричное решение вида (4.16). Первые два условия даютA+ B (1 + 2 ln a) + 2C = 0,a2A+ B (1 + 2 ln b) + 2C = 0.b2(4.18)Условия для главных векторов силы на торцах выполняются в силу второгосоотношения из (4.14):Zbpθθ dr =aZbab∂ϕ ∂2ϕ = 0,dr=∂r2∂r a∂ϕ A = r 2 + B (1 + 2 ln r) + 2C∂r a,brУсловия для главных моментов силы приводят кZbrpθθ dr =aZbabb= 0.a,bbZ∂ϕ∂ϕ ∂2ϕdr = −ϕ = −M,r 2 dr = r −∂r∂r a a ∂raили, после подстановки решения,A lnb+ B b2 ln b − a2 ln a + C b2 − a2 = M.aИз (4.18), (4.19) следует:4M 2 2 ba b ln ,Na2M 2B=−b − a2 ,NA=−(4.19)4.3.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ81iMh 2b − a2 + 2 b2 ln b − a2 ln a ,N!2b2 222 2− 4a b lnN = b −a.aC=Окончательно, получаем выражения для напряжений4Mprr = −N4Mpθθ = −Nprθ = 0.4.3.6a2 b 2 braln + b2 ln + a2 ln2rabr!2 2abbra2222− 2 ln + b ln + a ln + b − arabr!Вращающийся дискРассматривается задача о распределении напряжений во вращающемся с угловойскоростью ω диске радиуса R, толщина которого мала по сравнению с егорадиусом 4 . В осесимметричном случае уравнения равновесия (4.13) запишутсяв видеdprr prr − pθθ++ Fr = 0,drrdprθ 2prθ++ Fθ = 0.drrПренебрегая действием силы тяжести и учитывая силу инерции Fr = ρω 2 r,Fθ = 0, первое уравнение можно переписать в видеd(rprr ) − pθθ + ρω 2 r2 = 0.drВыполнение этого уравнения обеспечивается введением функции напряженийв формеdϕ+ ρω 2 r2 .drУравнение для функции φ следует из уравнения совместности. Для егополучения запишем физические компоненты тензора деформаций (3.16), которыев осесимметричном случае равняютсяrprr = ϕ,pθθ =udu, εθθ = .drrИсключая перемещение получаем уравнениеεrr =εθθ − εrr + r4[6], глава 3, §26dεθθ= 0.drГлава 4.
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ82Далее, подставляем в это уравнение выражения деформаций через напряженияи, следовательно, функцию напряжений1εrr = (prr − σpθθ ) =E1εθθ = (pθθ − σprr ) =E!#"1 ϕdϕ−σ+ ρω 2 r2E rdr!1 dϕϕ2 2+ ρω r − σ;E drrв результате получается уравнение для функции напряженийr2d2 ϕdϕ+r− ϕ + (3 + σ) ρω 2 r3 = 0.2drdrЭто уравнение имеет общее решениеϕ=3+σ 2 3C1+ C2 r −ρω r ;r8тогда выражения для напряжений имеют вид:C13+σ 2 2ρω r ,+ C2 −2r8C11 + 3σ 2 2= − 2 + C2 −ρω r .r8prr =pθθ1. Сплошной диск Граничные условия:|prr |r=0 | < ∞,prr |r=R = 0.ТогдаC1 = 0,C2 =3+σ 2 2ρω R ,83+σ 2 2ρω R − r2 ,83 + σ 2 2 1 + 3σ 2 2ρω R −ρω r .=88prr =pθθНаибольшие напряжения в центре дискаprr = pθθ =3+σ 2 2ρω R .82.
Диск с круглым отверстием радиуса r0 Граничные условия:prr |r=r0 = 0,prr |r=R = 0.4.3. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХТогда3+σ 2 23+σ 2 2 2ρω r0 R , C2 =ρω r0 + R2 ,88!2 23+σ 2rR0222prr =ρω R + r0 − 2 − r ,8r!r02 R2 1 + 3σ 23+σ 222ρω R + r0 + 2 −r .pθθ =8r3+σC1 = −Наибольшие напряжения:3+σ 2ρω (R − r0 )2 ,83+σ 21−σ 22= pθθ |r=r0 =ρω R +r ,43+σ 0> (prr )max .(prr )max = prr |r=√r0 R =(pθθ )max(pθθ )max8384Глава 4. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИГлава 5Волны в линейно–упругих телах5.15.1.1Основные виды волновых движенийУравнения ЛамеВолновые движения малой амплитуды в упругом теле1 описываются уравнениямиЛаме∂ 2w~ρ 2 = (λ + µ) ∇divw~ + µ△w~ + ρF~ ,(5.1)∂tгде w~ — вектор перемещения частиц сплошной среды, ρ — значение ее плотности,которую можно считать постоянной при решении этого уравнения, λ и µ —коэффициенты Ламе, F~ — внешняя массовая сила.
Далее рассматриваетсяслучай F~ = 0; в противном случае рассматриваются волны — малые возмущениярешения, соответствующего статически нагруженному внешней силой тела.При распространении волн, как и в любом динамическом процессе в твердомтеле, может происходить локальное изменение температуры T .
Предполагается,что характерный масштаб времени этого процесса существенно больше масштаба,связанного с движением волн. Тогда процесс можно считать адиабатическим.В силу обратимости всех процессов в линейно–упругом теле это приводит кизэнтропичности движения волн.Уравнения состояния линейно–упругого тела имеют вид∂Fs=−∂T!,εij∂Fpij = ρ∂εij!,sгде F и s — массовые плотности свободной энергии и энтропии, pij и εij— тензоры напряжений и деформаций. Зависимость свободной энергии отпараметров имеет видF =1λ 2µ3λ + 2µI1 (εij ) + I2 (εij ) −α (T − T0 ) I1 (εij ) −2ρρρ[5], глава 9, §1085Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ86−s0 (T − T0 ) −c(T − T0 )2 + F0 ,2T0где s0 , c и F0 — постоянные величины.
Тогда выражение для энтропии сутьs=3λ + 2µc(T − T0 ) .αI1 (εij ) + s0 +ρT0Следовательно, условие изэнтропичности (s = s0 ) позволяет выразить температуручерез первый инвариант тензора деформацийT − T0 = −3λ + 2µαT0 I1 (εij ) .cρЛегко видеть, что коэффициент c — теплоемкость при постоянной деформацииcε :cε =dq (e)dT!= T0εij T =T0ds.dTТогда для адиабатических процессов закон Гука приобретает видpεij = λI1 (εmn ) gij + 2µεij − (3λ + 2µ) α (T − T0 ) gij =(3λ + 2µ)2 2α T0 I1 (εmn ) gij + 2µεij = λad I1 (εmn ) gij + 2µεij ,= λ+cρ"λad = λ +#(3λ + 2µ)2 2α T0 .cρТаким образом, законы Гука для изотермических и адиабатических процессовидентичны с точностью до коэффициента λ или λad .
Ниже используется обозначениеλ.5.1.2Волны расширения и сдвигаПлоские волныРассмотрим плоские одномерные волны вида w(x,~ t)2 . Тогда уравнения Ламе(5.1) записываются как22∂ 2 wj∂ 2 w12 ∂ w12 ∂ wj=a,=a,2∂t2 s 1 ∂x2∂t2∂x2sλ + 2µµa1 =, a2 =.ρρj = 2, 3,Первое уравнение описывает волны, в которых направление колебаний совпадаетс направлением движения волны, второе — ортогонально ему. В силу этого,2[2], глава 3, §225.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ87волны с вектором перемещений w~ 1 = (w1 (x, t), 0, 0) называются продольными,волны с вектором перемещений w~ 1 = (0, w2 (x, t), w3 (x, t)) — поперечными.Легко видеть, что rotw~ 1 = 0 и divw~ 2 = 0. Поэтому продольные волны такженазываются волнами расширения, а поперечные — волнами сдвига.
Например,для железа скорости продольных и поперечных волн равняются a1 = 7000 м/секи a2 = 3200 м/сек. Можно отметить, что отношение этих скоростейa1=a2sλ + 2µ=µs21−σ1 − 2σ(5.2)зависит лишь от коэффициента Пуассона σ.Пространственные волныПокажем, что любое пространственное волновое решение уравнений Ламе представимов виде суммы волн расширения и сдвига. Известно, что любой вектор можнопредставить как сумму потенциального и соленоидального векторовw~ =w~1 + w~ 2,rotw~ 1 = 0,divw~ 2 = 0.Поставляя это решение в уравнения Ламе (5.1), получаем~2 2∂2w~ 1 ∂2w2~ 1 + a22 △w~ 1 + a22 △w~ 2,+=a−a12 ∇divw∂t2∂t2(5.3)где произведена замена коэффициентов Ламе на скорости a1 и a2 .Применяя операцию дивергенции, получаемdivf~ = 0,∂2w~1f~ =− a21 △w~ 1.∂t2Т.к.
rotf~ = 0, то f~ ≡ 0 и, следовательно,∂2w~1− a21 △w~ 1 = 0.2∂t(5.4)Аналогично, опрерация ротора, примененная к (5.3), даетrot~g = 0,~g =∂ 2w~2− a22 △w~ 2.∂t2Т.к. div~g = 0, то ~g ≡ 0 и, следовательно,∂2w~2− a22 △w~ 2 = 0.∂t2(5.5)Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ885.1.3Поверхностные волны РэлеяРассматривается плоская задача о распространении волн в полупространстве3 .Постановка задачи включает уравнение Ламе (5.1) в области x ∈ (−∞, +∞),y ∈ (−∞, 0) и граничные условия на поверхности y = 0 : pxy = 0, pyy = 0 и набесконечности y → −∞ : |w|~ → 0.Решение представляется в видеw~ =w~1 + w~ 2, w~ = (u, v),rotw~ 1 = 0, divw~ 2 = 0.w~ 1 = (u1 , v1 ),w~ 2 = (u2 , v2 ),Тогда компоненты тензоров деформации и напряжений имеют вид∂v1 ∂v2∂u1 ∂u2 ∂v1 ∂v2∂u1 ∂u2+, εyy =+, 2εxy =+++,∂x∂x∂y∂y∂y∂y∂x∂x!∂u1∂v1∂v2∂u1 ∂u2 ∂v1 ∂v2=λ+ (λ + 2µ)+ 2µ, pxy = µ+++.∂x∂y∂y∂y∂y∂x∂xεxx =pyyСледовательно, постановка задачи включаетy=0:y = −∞ :∂ 2 v1∂u1 ∂v1∂ 2 u12−= 0,=a△u,= a21 △v1 ,1122∂t∂t∂y∂x∂ 2 u2∂ 2 v2∂u2 ∂v22=a△u,= a22 △v2 ,+= 0,2222∂t∂t∂x∂y∂u1 ∂u2 ∂v1 ∂v2+++= 0,∂y∂y∂x∂x ∂u∂v1∂v21+ a21+ 2a22= 0,a21 − 2a22∂x∂y∂yu1 + u2 → 0, v1 + v2 → 0,Решение ищется в виде(u1 , v1 , u2 , v2 ) = (û1 (y), v̂1 (y), û2 (y), v̂2 (y))ei(kx−ωt) ,где k — заданное волновое число, ω — неизвестная частота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
