Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Уравнения Ламе для перемещенийw~ = (u, v, w) имеет вид∂ 2 wi= ∇j pij ,∂t2j = 1, 2, 3,где pij — компоненты тензора деформаций. Рассатриваются перемещения, соответствующиепростому растяжению (сжатию) стержня вдоль оси x; тогда единственная78[2], глава 3, §22[3], глава 6, §6.6Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ96ненулевая компонента тензора напряжений — pxx (x).
Из закона Гука определяютсякомпоненты тензора деформаций1σpxx , εyy = εzz = − pxx ,EEТогда проекция уравнения Ламе на ось x даетεxx =εxy = εxz = εyz = 0.E ∂εxx∂ 2u,=∂t2ρ ∂xпроекции на оси y и z удовлетворяются тождественно. Подставляя выражениеεxx = ∂u/∂x, получаем волновое уравнение.∂2uE ∂ 2u=.∂t2ρ ∂x2Cкорость продольных волн в стержняхa=sE=ρsµ 3λ + 2µ∈ (a2 , a1 ),ρ λ+µгде a1 , a2 — скорости продольных и поперечных волн в обьеме.При решении краевых задача необходимо сформулировать граничные условия,среди которых выделим три вида:1. Закрепленный конец стержня: u = 0.2.
Свободный конец стержня: pxx = 0 или ∂u/∂x = 0.3. Конец с заданной нагрузкой: pxx = F/S или ∂u/∂x = F/SE.Здесь F — сила равномерно распределенная по торцу стержня, имеющегоплощадь S.Метод разделения переменныхВ ряде случаев решение может быть найдено методом разделения переменныхФурьеu(x, t) = T (t)X(x),T ′′ + ω 2 T = 0, T (t) = A sin ωt + B cos ωt,ω2ωxωxX ′′ + 2 X = 0, X(x) = C1 sin+ C2 cos.aaaГраничное условие для закрепленного конца — X = 0, для свободного— X ′ = 0. Для формулировки граничного условия в случае конца стержнянагруженного массой M запишем уравнение ее движения:M∂u∂2u= −Spxx = −SE .2∂t∂x5.2.
ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ97Подставляя решение последовательно получаемM T ′′ X = −SET X ′ ,−M ω 2 T X = −SET X ′ ,X′ −M ω2X = 0.Sρa2Колебания стержня Пусть левый конец стержня длины l закреплен, а направом закреплен груз массы M . Найти период колебаний стержня. Применяяметод разделения переменных получаемu(x, t) = T (t)X(x),x = 0 : X = 0,T (t) = A sin ωt + B cos ωt,x = l : X′ −X(x) = C1 sinωxωx+ C2 cos,aaM ω2X = 0.Sρa2Тогда из первого граничного условия следует, что C2 = 0; из второго —mωl ωltg=,aaMгде m ≡ ρSl — масса стержня.
Рассмотрим предельные случаи больших и малыхчастот колебаний:ωl≫1:aωl≪1:aωl≈ nπ, n = 1, 2, . . . ,a!2!4ωl1 ωlm,+=a3 aMω≈sSE.MlMетод характеристикОбщее решение волнового уравнения для перемещений9 , а также скорость V идеформация ε ≡ εxx имеют видu(x, t) = f t −V (x, t) =xx+g t+,aa∂u= f ′ + g′,∂tε(x, t) =∂u1= (g ′ − f ′ ) .∂xaЛегко видеть, что имеются инварианты РиманаV + aε = 2g ′ (ξ),V − aε = 2f ′ (η),xξ =t+ ,axη =t− .aБудем называть линии η = const положительными характеристиками, ξ = const— отрицательными.9[3], глава 6, §6.7Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ98Пусть положительная характеристика, проходящая через точку P , и отрицательнаяхарактеристика, проходящая через точку Q, пересекаются в точке M .
Еслискорости и деформации в точках P и Q известны, то из соотношенийVM + aεM = VQ + aεQ ,VM − aεM = VP + aεPможно найти их значения в точке MVM =1[VP + VQ − a (εP − εQ )] ,2εM =1[VQ − VP + a (εP + εQ )] .2aПродольные волны в стержне с движущимся и свободным концамиОдному из концов стержня (x = 0) сообщается скорость V0 , которая поддерживаетсядалее постоянной. Описать распространение волн в случае, когда другой конец(x = l) свободен.Разобьем всю область решения в плоскости (x, t) на треугольники a, b, c, .
. .,образованные следующими характеристиками: 1) положительной характеристикой,выходящей из начала координат, 2) отрицательной характеристикой, выходящейиз точки пересечения первой характеристики и линии x = l, 3) положительнойхарактеристикой, выходящей из точки пересечения второй характеристики илинии x = 0, 4) отрицательной характеристикой, выходящей из точки пересечениятретьей характеристики и линии x = 0 и т.д. Далее находятся значения неизвестныхфункций при x = 0 или x = l, и вычисляются решения внутри треугольников.Запишем начальные и граничные условия:t = 0 : V = 0, ε = 0,x = 0 : V = V0 , x = l : ε = 0.1. Треугольник a. На его правой границе, обозначаемой индексом 1,V1 − aε1 = Vt=0 − aεt=0 = 0,ε1 = 0.Следовательно, V1 = 0, ε1 = 0.
Внутри треугольникаVa − aεa = Vt=0 − aεt=0 = 0,Va + aεa = Vt=0 + aεt=0или V1 + aε1 = 0.Следовательно, Va = 0, εa = 0.2. Треугольник b. На его левой границе, обозначаемой индексом 2,V2 = V0 ,V2 + aε2 = Vt=0 + aεt=0или V1 + aε1 = 0,следовательно, V2 = V0 , ε2 = −V0 /a. Внутри треугольникаVb − aεb = V2 − aε2 = 2V0 ,Следовательно, Vb = V0 , εb = −V0 /a.Vb + aεb = V2 + aε2 = 0.5.2. ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ993. Треугольник c. На его правой границе, обозначаемой индесом 3,ε3 = 0,V3 − aε3 = V2 − aε2 = 2V0 ,следовательно, V3 = 2V0 , ε3 = 0. Внутри треугольникаVc − aεc = V3 − aε3 = 2V0 ,Vc + aεc = V3 + aε3 = 2V0 .Следовательно, Vc = 2V0 , εc = 0.4. Треугольник d. На его левой границе, обозначаемой индексом 4,V4 = V0 ,V4 + aε4 = V3 + aε3 = 2V0 ,следовательно, V4 = V0 , ε4 = V0 /a.
Внутри треугольникаVd − aεd = V4 − aε4 = 0,Vd + aεd = V4 + aε4 = 2V0 .Следовательно, Vd = V0 , εd = V0 /a.5. Треугольник e: Ve = 0, εe = 0.6. Треугольник f : Vf = V0 , εf = −V0 /a и далее цикл повторяется.Продольные волны в стержне с движущимся и закрепленным концамиОдному из концов стержня (x = 0) сообщается скорость V0 , которая поддерживаетсядалее постоянной. Описать распространение волн в случае, когда другой конец(x = l) закреплен.В этом случае при перемещения и, следовательно, скорости на другом концеравняются нулю x = l : v = 0. Далее решение аналогичго приведенному выше.Получается: εa = 0, va = 0, εb = −V0 /a, vb = V0 , εc = −2V0 /a, vc = 0.5.2.2Поперечные волныПредполагается, что при распространении поперечной волны в стержне10 имеетсянейтральная ось y = h(x, t), для которой отсутствует растяжение (сжатие).Тогда в неинерциальной системе координат, связанной с осью балки, уравнениеее равновесия запишется какZ∂ 4h∂2h2=q(x),J=ydS,q=−ρS,∂x4∂t2где q — сила инерции, действующая на элемент балки, J — момент инерциипоперечного сечения площади S.
Следовательно, уравнение малых изгибныхдвижений балки сутьEJρS10[3], глава 6, §6.8∂ 4h∂2h+EJ= 0.∂t2∂x4Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ100Это уравнение не принадлежит к гиперболическому типу и не содержит решениявида f (t − x/a) для произвольной функции f .Одно из решений уравненияxh = sin ω t −,aa=EJω 2ρS!1/4.Видно, что высокочастотные колебания распространяются с очень большойскоростью; это связано с тем, что модель может применяться лишь для относительнонизкочастотных (длинных) волн.Поперечные колебания стержня1. Пусть стержень длины l закреплен на обоих концах11 .
Тогда граничнымиусловиями служатx = 0, l :h = 0,∂h= 0.∂xРешение ищется в видеh = h0 (x) cos (ωt + α) ,h0 = A cos χx + B sin χx + C ch χx + D sh χx,χ4 = ω 2ρS.EJТогда из граничных условий следуетh0 = A [(sin χl − sh χl) (cos χx − sh χx) − (cos χl − ch χl) (sin χx − ch χx)] ,cos χl ch χl + sin χl sh χl = 1.Минимальная частотаωmin =22.4 EJ.l2 ρS2. Пусть стержень длины l оперт на обоих концах. Тогда граничными условиямислужатx = 0, l :h = 0,∂2h= 0.∂x2Условие для второй производной следует из соотношения равновесиябалкиM∂2h=,2∂xEJ11[3], глава 6, §6.95.3. ВОЛНЫ В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ101где M = 0 — изгибающий момент. Тогда из граничных условий следуетh0 = A sin χx,χl = nπ,ωminsin χl = 0,sn2 π 2 EJ,ωn = 2lρS9.87= 2lsn = 1, 2, .
. . ,EJ.ρS3. Пусть стержень длины l заделан при x = 0 и свободен при x = l. Тогдаграничными условиями служат∂hx = 0 : h = 0,= 0,∂x∂2h∂3hx=l:=0,= 0,∂x2∂x3Условие для третьей производной следует из соотношений равновесиябалки∂2hMdM=,= −P,∂x2EJdxгде P = 0 — изгибающий момент. Тогдаh0 = A [(cos χl + ch χl) (cos χx − ch χx) + (sin χl − sh χl) (sin χx − sh χx)] ,3.52 EJcos χl ch χl + 1 = 0, ωmin = 2.l ρS5.35.3.1Волны в тонких пластинахПродольные и поперечные волныПусть имеется пластина толщины h, верхняя и нижняя границы которой свободные.Рассматриваются движения, для которых перемещения, нормальные к недеформированнойпластине, существенно меньше перемещений в ее касательном направлении12 .Система уравнений Ламе и граничные условия для напряжений в декартовойсистеме координат, оси x и y которой лежат в недеформированной плоскостипластины, имеют вид∂2u∂pxx ∂pxy ∂pxzρ 2 =++,∂t∂x∂y∂z∂pxy ∂pyy ∂pyz∂2v++,ρ 2 =∂t∂x∂y∂z∂pxz ∂pyz ∂pzz∂2w++,ρ 2 =∂t∂x∂y∂zhz = ± : pxz = pyz = pzz = 0.212[2], глава 3, §25Глава 5.
ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ102Здесь u, v, w — компоненты вектора перемещений. Граничные условия записаныдля малых отклонений поверхности пластины.Далее предполагается, что pxz = pyz = pzz = 0 для всех точек пластины.Тогда из закона Гука можно получить соотношения для компонент тензорадеформаций и его первого инвариантаεxz = εyz = 0,I1 (ε) =εzz = −λ(εxx + εyy ) ,λ + 2µ2µ(εxx + εyy ) .λ + 2µСнова используя закон Гука можно вычислить ненулевые компоненты тензоранапряжений2µ[(λ + µ) εxx + λεyy ] , pxy = 2µεxy ,λ + 2µ2µ[λεxx + 2 (λ + µ) εyy ] .=λ + 2µpxx =pyyИспользуя формулы связи между коэффициентами Ламе λ, µ и модулемЮнга E и коэффициентом Пуассона σE=µ3λ + 2µ,λ+µσ=λ,2 (λ + µ)можно получить2µ =E,1+σλ + 2µ= 1 − σ,2 (λ + µ)λσ=,2 (λ + µ)1−σ4µλ+µE=.λ + 2µ1 − σ2Тогда выражения для напряжений перепишутся какpxx =E(εxx + σεyy ) ,1 − σ2pxy =Eεxy ,1+σpyy =E(εyy + σεxx ) .1 − σ2Далее компоненты тензора деформаций выражаются через перемещения,и полученые формулы для компонент тензора напряжений подставляются впервые два уравнения Ламе:1 ∂ 2u1∂ 2u1∂ 2vρ ∂2u=++,E ∂t21 − σ 2 ∂x2 2 (1 + σ) ∂y 2 2 (1 − σ) ∂x∂yρ ∂2v∂ 2v∂2u1 ∂2v11.=++E ∂t21 − σ 2 ∂y 2 2 (1 + σ) ∂x2 2 (1 − σ) ∂x∂yПусть волна распространяется вдоль оси x:∂ 2uE∂2u=,∂t2ρ (1 − σ 2 ) ∂x2∂2v∂2vE=.∂t22ρ (1 + σ) ∂x25.3.
ВОЛНЫ В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ103Следовательно, скорости распространения продольной al и поперечной at волнв пластинеa2l =E,ρ (1 − σ 2 )a2t =E,2ρ (1 + σ)причем at = a2 , где a2 — скорость поперечной волны в объеме. Важно отметить,что скорости волн — постоянны и определяются свойствами среды.5.3.2Изгибные волныПусть имеется тонкая пластинка толщины h. При ее сгибании на выпуклойстороне происходит растяжение, на вогнутой — сжатие; внутри пластинкиимеется нейтральная поверхность, на которой растжение(сжатие) отсутствует.Выберем систему координат, с началом в какой-либо точке нейтральной поверхностии осями x и y, лежащими в плоскости недеформированной пластинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
