Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 6
Текст из файла (страница 6)
3.8: Изгиб балкипри этом Mmax имеет наибольшее значение при a = l/2, т.е. при нахождениигруза в центре моста.Зная эпюру изгибающего момента можно сформулировать задачу для определенияуравнения оси моста0<x<a:a<x<l:x=0:x=l:x=a:JEy ′′ = R1 (x − l) − P (x − a),JEy ′′ = R1 (x − l),y = 0,y = 0,[y] = 0, [y ′ ] = 0.(3.7)Здесь учитывается отсутствие вертикальных перемещений в точках крепления;непрерывность уравнения оси и ее первой производной в точке действия силы.Из этой системы можно получить0<x<a:a<x<l:R1JEy =(x − l)3 −6R1JEy =(x − l)3 +6PPx(x − a)3 + (l2 − a2 ) 1 −,66lP 2x(l − a2 ) 1 −.(3.8)6lНайдем место и величину максимального прогиба. Если a = l/2, то xmax =a/2.
Если максимальный прогиб при x > a, тоxmax = l −sl 2 − a2.3Изгиб балки с одним закрепленным концом и другим на шарнирно–подвижной опореРассматривается изгиб балки, один конец которой жестко заделан (x = 0), адругой находится на шарнирно–подвижной опоре (x = l). Пусть имеется силаP , действующая вниз при x = a (рис. 3.8).
Найти форму балки.Под действием силы в точке x = 0 возникает сила реакции R2 , направленнаявверх, т.к. устройство второй опоры исключает горизонтальные реакции, имомент реакции M0 . Условия равновесия имеют видR1 + R2 = P, P a = lR1 + M0 .Глава 3. ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО54Рис. 3.9: Мост на трех опорахВ отличие от предыдущей задачи появляется дополнительная неизвестнаявеличина; задача является статически неопределимой. Следовательно, эти уравнениямогут рассматриваться как соотношения для определения величин R2 и M0 .Распределение изгибающего момента вдоль оси x имеет вид (3.6); соответствующаяэпюра показана на рисунке. Система уравнений и граничных условий (3.7)дополняется условиемy ′ (0) = 0,определяемым способом заделки и служащим для определения R1 в решении(3.8):R1 =P a2(3l − a).2l3Далее находятсяa2PaR2 = P 1 − 3 (3l − a) , M0 = 2 (l − a)(2l − a).2l2l"#Наибольший изгибающий момент и, следовательно, наибольшие нормальныенапряжения получаются в заделанном сечении и когда1.a=l 1−3Мост на трех опорахРассматривается равновесие моста на трех опорах, расположенных в точкахx = 0 (шарнирно–неподвижная) и x = l2 , x = l3 (шарнирно–подвижные); грузP находится в точке a (рис.
3.9). Найти форму балки.Условия равновесия имеют видR1 + R2 + R3 = P, R2 l2 + R3 l3 = P a.Система уравнений и граничных условий для определения изогнутой оси мостаи одной неизвестной реакции:0 < x < l2 :JEy ′′ = −R3 (l − x) + P a − R2 (l1 − x),3.3. ИЗГИБ55Рис. 3.10: Балка и консоль под действием собственного весаl2 < x < a :a < x < l3 :x=0:x = l2 :x = l3 :x=a:JEy ′′ = −R3 (l − x) + P (a − x),JEy ′′ = −R3 (l − x),y = 0,y = 0, [y] = 0, [y ′ ] = 0,y = 0,[y] = 0, [y ′ ] = 0.Балка под действием собственного весаГоризонтальная балка длины l, жестко заделанная на концах, находится поддействием собственного веса (рис.
3.10a)11 .Уравнение изогнутой оси балки (3.5) и граничные условия на концах балкиобразуют краевую задачу 4–го порядка.JEh′′′′ = q,x = 0 : y = 0, y ′ = 0,x = l : y = 0, y ′ = 0,где q — вес на 1 длины. Решение имеет видqJEh =12l 2 x2x4− lx3 +.22!Максимальный прогиб находится из условия равенства нулю h′ и находится всередине балки xmax = l/2; его величинаhmax =ql4.384JEИз симметрии задачи и условия равновесия сил следует, чтоR1 = R2 =11[7], задача 28.38ql.2Глава 3. ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО56Зная уравнение оси балки можно найти моменты реакции в точке закрепления;для этого запишем изгибающий момент при x = 0:M (0) = EGh′′ (0) =M (0) = −R2 l + qZlql2,12ξ dξ + M0 = M0 .0Следовательно, M0 = ql2 /12. Распределение напряжение растяжения можноопределить изp11 = −M (x)y,JEGql2M (x) = EGh =x2 − lx +.26!′′Консоль под действием собственного весаНайти выражение для касательных напряжений p12 в консольной балке прямоугольногосечения длины l и толщины H при ее изгибе под действием собственного веса(рис.
3.10b)12 . Определить значение и положение максимального касательногонапряжения p12 .Задача Коши для определения оси балки имеет вид′′JEh = M (x) =Zlxx=0:y = 0,q(ξ − x) dξ =y ′ = 0;q2l − 2xl + x2 ,2решениеqJEh =2l2 x2 lx3 x4.−+2312!Распределение напряженийp11 = −M (x)yq 2=−l − 2lx + x2 .J2JИз уравнения равновесия и условия отсутствия касательных напряжений наверхней и нижней сторонах консоли∂p11 ∂p12+= 0,∂x∂yHy = ± : p12 = 0212[7], задача 28.423.3. ИЗГИБ57определяетсяp12h2q(x − l) y 2 −=.2J4!Максимальное значение касательного напряжения находится при x = 0, y = 0и равняется| (p12 )max |=3.3.3qlH 2.8JИзгиб пластиныРассмотрим изгиб плоской пластины прямоугольного сечения13 .
Для решениязадача выбирается декартова система координат, причем оси x и z лежат вплоскости, паралельной бо́льшим сторонам пластины; предполагается закреплениепластины в начале координат:x = 0,y = 0,z=0:rotw~ = 0.w~ = 0,(3.9)Пусть силы, приложенные к торцам, сводятся лишь к главным моментам,причемMz Lz~k =ZSx=LxMx Lx~i =ZSz=Lz~r × p~n ds,−Mz Lz~k =~r × p~n ds,−Mx Lx~i =ZSx=0ZSz=0~r × p~n ds,~r × p~n ds,где Mx и Mz — изгибные моменты на единицу длины.Решение задачи ищется в видеp11 = −αz y,p33 = −αx y.Тогдаαz =Mz,Jzzαx =MxJxxпри соответствущем выборе плоскости y = 0.Далее из закона Гука определяются ненулевые компоненты тензора деформацийσMx Mz y,−εxx =JxxJzz EMz Mx yεyy = σ,+JzzJxx EσMz Mx yεzz =−,JzzJxx E13[6], глава 8, §71Глава 3. ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО58и решаются уравнения для нахождения перемещений∂wx∂wy∂wz= εxx ,= εyy ,= εzz ,∂x∂y∂z∂wx ∂wz∂wy ∂wz∂wx ∂wy+= 0,+= 0,+= 0.∂y∂x∂z∂x∂z∂yИз первых трех соотношений следует, чтоσMx Mz xywx =−+ fx (y, z),JxxJzz EMx Mz y 2++ fy (x, z),wy = σJxx Jzz 2EσMz Mx yz−+ fz (x, y),wz =JzzJxx Eа из оставшихся трех —σMx Mz x∂fx (y, z) ∂fy (x, z)−+=−,∂y∂xJxxJzz E∂fx (y, z) ∂fz (x, y)+= 0,∂z∂xMx σMz z∂fy (x, z) ∂fz (x, y)−+=.∂z∂yJxxJzz EДалее второе, первое и третье из последней группы соотношений последовательноприводят к:fx = α(y)z + β(y), fz = −α(y)x + γ(y),!dα(y)dβ(y)σMx Mz x2−−z+x + χ(z),fy (x, z) = −JxxJzz 2EdydyMx σMz z 2+ χ0 .−α = α0 = const, γ = γ0 = const, χ =JxxJzz 2EСледовательно,fx = α0 z + β(y), fz = −α0 x + γ0 ,σMx Mz x2dβ(y)Mx σMz z 2fy (x, z) = −−−x+−+ χ0 ,JxxJzz 2EdyJxxJzz 2EиσMx Mz xy+ α0 z + β(y),−JxxJzz Edβ(y)M x Mz y 2σMx Mz x2Mx σMz z 2wy = σ−−x++ χ0 ,+−−Jxx Jzz 2EJxxJzz 2EdyJxxJzz 2EσMz Mx yzwz =−− α0 x + γ0 ,JzzJxx Ewx =3.4.
КРУЧЕНИЕ59Из условия (3.9) следует, чтоα0 = β = γ0 = χ0 = 0.Следовательно, окончательные выражения для компонент вектора перемещенияимеют видσMx Mz xywx =−,JxxJzz EMx M z y 2σMx Mz x2Mx σMz z 2wy = σ+−−+−,Jxx Jzz 2EJxxJzz 2EJxxJzz 2EσMz Mx yz−.wz =JzzJxx EРассмотрим деформацию поверхности y = 0:x = x0 ,y=−z = z0 .σMx Mz−JxxJzzMx σMzx2+−2EJxxJzzz2,2EСогласно (A.1) полная кривизна деформированной поверхности∂yκ = 1 +∂x−1E2!2∂y+∂yσMx Mz−JxxJzz!2 −1 "∂ 2y ∂ 2y∂ 2y−∂x2 ∂z 2∂x∂z!2 #≈∂ 2h ∂ 2h=∂x2 ∂y 2Mx σMz−.JxxJzzВ зависимости от параметров изгиба возможны эллиптические (κ > 0), гиперболические(κ < 0) или параболические (κ = 0) точки. В случае Mx = Mz = M , Jxx = Jzz =J получаем элиптичекие точкиκ=3.43.4.1M2(1 − σ)2 > 0.E 2J 2КручениеЦилиндрический стерженьПостановка задачиРассматривается равновесие цилиндрического стержня, на торцах которогоприложены поверхностные силы с нулевыми главными векторами и главнымимоментами, равными по модулю и направленными в противоположные сторонывдоль оси стержня 14 .
Для описания напряженного состояния тела выбирается14[5], глава 9, §7Глава 3. ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО60декартова система координат, начало координат которой расположено на одномиз торцов Σ1 , а ось z параллельна боковым граням стержня Σ и ориентированак другому торцу Σ2 . Распределение поверхностных сил подчиняется условиям:Zp~n dσZp~n dσ = 0,= 0,Σ1Z~r × p~n dσ = −M ~k,Z~r × p~n dσ = M ~k,Σ1Σ2ijp ni = 0,Σ2j = 1, 2, 3(3.10)на Σ,где ~n = (n1 , n2 , 0) – вектор единичной нормали к боковой поверхности.Внутри тела выполняются условия равновесия∇j pij = 0.(3.11)Решение Сен-ВенанаИщется решение видаw1 = −αzy,w2 = αzx,(3.12)w3 = αf (x, y)где постоянная α и функция f (x, y) определяются в процессе решения.Вычислим компоненты тензоров деформацииε11 = 0,ε13 = ε31ε22 = 0, ε33 = 0, ε12 = 0,!!∂fα∂fα−y +, ε23 = ε32 =x+=2∂x2∂yи напряжений:p11 = 0,p13=p31p22 = 0,p33 = 0,!∂f= αµ −y +,∂xp12 = 0,p23=p32!∂f= αµ x +.∂yТогда уравнения равновесия (3.11) в проекции на оси x и y удовлетворяютсяавтоматически, а третье приводит к уравнению для функции f ; аналогично,лишь третье из граничных условий на боковой поверхности (3.10) дает содержательноеграничное условие∂ 2f∂2f+= 0,∂x2∂y 2dydxd x2 + y 2∂f =yn−xn=y+x=,12∂n Cdsdsds 2(3.13)где s – дуга контура C, ограничивающего поперечное сечение стержня.
Такимобразом, для функции f сформулирована задача Неймана.3.4. КРУЧЕНИЕ61Рассмотрим далее граничные условия на торцах, при этом ограничимсялишь границей Σ2 ; условия на Σ1 проверяются аналогично. Вторая строкаграничных условий (3.10) может быть переписана в видеZp31 dσ = 0,ZZ p32 dσ = 0,Σ2Σ2Σ2xp32 − yp31 dσ = M.Проверим первое из этих условий:Zp31 dσ = αµZΣ2Σ2αµZ "Σ2αµ!∂∂x∂∂fx − yx +∂x∂y∂fx + x2∂y!!!#dσ =#Z "∂f∂f− y n1 + x+ x n2 ds =x∂x∂yZ"Cαµ!∂f− y dσ =∂xCx!#!∂f∂f− y n1 ++ x n2 ds = 0.∂x∂yВторое условие проверяется аналогично, а третье приводит кα=MµR Σ2dσ− y ∂fx2 + y 2 + x ∂f∂y∂x.Стержень с круглым поперечным сечениемПри выборе оси цилиндра в качестве оси z граничное условие из (3.13) приобретаетвид∂f = 0,∂n Cи тогда f = const; если зафиксировать какую-либо точку тела, то из соотношениядля перемещения вдоль оси z решения (3.12) следует, что f = 0.
Следовательно,при кручении круглых валов плоские поперечные сечения остаются плоскими.Касательные напряжения в поперечном сечении равняются|τ | =q(p13 )2+(p23 )2q= µα x2 + y 2 ;при этом максимальное значение находится на границе стержня τmax = µαR,где R – радиус стержня. Легко получить, что угол закручивания равняетсяα = 2M/(µπR4 ) и, следовательно, α = 2M/(πR3 )Глава 3. ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО62Обратный метод Сен-ВенанаРассмотрим гармоническую функцию ψ, которая является сопряженной к гармоническойфункции f :∂ψ∂f=,∂x∂y∂f∂ψ=− .∂y∂xНа контуре C можно записать:∂f∂f∂ψ∂ψdψ∂f=n1 +n2 =τ2 +τ1 =,∂n∂x∂y∂y∂xdsгде введен касательный вектор ~τ = (τ1 , τ2 ) = (−n2 , n2 ). Тогда задача Неймана(3.13) переформулируется как задача Дирихле∂2ψ ∂2ψ+ 2 = 0,∂x2∂yx2 + y 2ψ =+ const.2C(3.14)Пусть w(z) – некоторая аналитическая функция комплексного переменногоz.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
