Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293)
Текст из файла
Г.М. СисоевМеханика сплошных средПрактический курсМосковский Государственный Университет им. М.В. ЛомоносоваМеханико–математический факультет2ОглавлениеIОсновные соотношения71 Криволинейные системы координат1.1 Локальный базис и дифференцирование векторов .1.2 Метрический тензор . . . . . . . . . .
. . . . . . . .1.3 Взаимный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Важнейшие операции над векторами . . . . . . . .1.6 Физические компоненты тензоров . . . . . . . . . .II................................................Механика жидкости и газа2 Электродинамика сплошной среды2.1 Основные уравнения . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .2.1.1 Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Уравнения движения сплошной среды . . . . . . .2.1.3 Условия на границах раздела . . . . . . . . . . . .2.2 Магнитная гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 МГД–течение между паралелльными плоскостями2.2.2 Магнитогидродинамические волны . . .
. . . . . .III......19...................................Механика деформируемого твердого тела3 Линейно-упругое тело3.1 Основные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Тензор деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2 Уравнения совместности . . . . . . . .
. . . . . . . . . .3.1.3 Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах3.1.4 Уравнения Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.5 Постановка задачи в перемещениях . . . . . . . . . . . .3.2 Одноосное растяжение . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .3.2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3991011131516212121222324242633................353535373838393939Оглавление43.33.43.2.2 Равновесие вертикально стоящего стержня . . . . . . . . .
.3.2.3 Равновесие троса с грузом . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4 Равновесие вращающегося цилиндра . . . . . . . . . . . . .3.2.5 Равновесие висящего стержня переменного сечения с грузом3.2.6 Равновесие вращающегося стержня переменного сечения .Изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .3.3.1 Изгиб балки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Методы сопротивления материалов в задаче об изгибе балки3.3.3 Изгиб пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Кручение . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1 Цилиндрический стержень . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Кручение круглых валов переменного диаметра . . . . . . .4 Плоские задачи теории упругости4.1 Основные соотношения . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .4.2 Функция напряжений Эри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Плоская задача в полярных координатах . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1 Уравнения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2 Функция Эри в полярной системе координат . .
. . . . . .4.3.3 Осесимметричные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.4 Равномерное растяжение пластинки с круглым отверстием4.3.5 Чистый изгиб кривого бруса . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.6 Вращающийся диск . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .5 Волны в линейно–упругих телах5.1 Основные виды волновых движений . . . . . . . . . . . .5.1.1 Уравнения Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2 Волны расширения и сдвига . . . . . . . . . . . . .5.1.3 Поверхностные волны Рэлея . . . . . . . . . . . . .5.1.4 Поперечные волны на границе полупространства и5.1.5 Распространение волн в слое конечной толщины .5.1.6 Отражение волн от жестко закрепленной стенки .5.1.7 Сферические волны . . .
. . . . . . . . . . . . . . .5.2 Волны в стержнях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1 Продольные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.2 Поперечные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Волны в тонких пластинах . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.1 Продольные и поперечные волны . . . .
. . . . . .5.3.2 Изгибные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .полосы. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .40434344454545495759596367677074747576777981858585868889909295959599101101103A Дополнительные материалы107A.1 Кривизна поверхности z = h (x, y, t) . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 107ОглавлениеЛитература51086ОглавлениеЧасть IОсновные соотношения7Глава 1Криволинейные системы координат1.1Локальный базис и дифференцирование векторовПусть x1 , x2 , x3 и ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 — декартова и криволинейная система координат,связанные соотношениями1xj = xj (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ), j = 1, 2, 3;ξ k = ξ k (x1 , x2 , x3 ), k = 1, 2, 3.(1.1)Обозначим через ~r радиус вектор точки пространства в декартовой системекоординат.
Тогда (1.1) можно записать как~r = ~r(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ).Введем векторы локального базиса~ei =∂~r,∂ξ ii = 1, 2, 3,зависящие от точки пространства. Введенные векторы можно продифференцироватьпо любой криволинейной координате ξ j ; полученные векторы также можноразложить по локальному криволинейному базису:∂~ei= Γkij ~ek ,∂ξ ji, j = 1, 2, 3,где предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Здесь введенысимволы Кристофеля Γkij , симметричные по нижним индексам. Это следует изсоотношенийΓkij ~ek =1∂ 2~r∂~ej∂~ei=== Γkji~ekjiji∂ξ∂ξ ∂ξ∂ξ[4], глава 2, §3,4,8, глава 4, §39Глава 1.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ10и линейной независимости векторов ~ek .Разложим по векторам локального базиса ~ei произвольное векторное поле ~v~v = v i~ei ,и вычислим производную по переменной ξj∂~v∂v iei∂v ii ∂~=~e+v=~ei + v i Γkij ~ek =i∂ξ j∂ξ j∂ξ j∂ξ j∂v k+ v i Γkij ~ek .∂ξ j!Таким образом∂~v∂v kkk=∇v~e,∇v=+ v i Γkij .jkjjj∂ξ∂ξЭдесь символ ∇j v k обозначает j–ю ковариантную производную от контравариантнойкомпоненты v k .1.2Метрический тензорМетрическим тензором называется симметричный тензор второго ранга, ковариантныекомпоненты которого определяются согласно(1.2)gij = (~ei , ~ej ) , i, j = 1, 2, 3.Символы Кристофеля выражаются через компоненты метрического тензора.Дифференцирование (1.2) дает∂gij=∂ξ k!∂~ej∂~ei, ~ej + ~ei , kk∂ξ∂ξ!= (Γmem , e~j ) + ~ei , Γmem .jk~ik~Таким образом,∂gijm= Γmik gmj + Γjk gim .∂ξ k(1.3)С помощью циклической перестановки индексов можно получить∂gkim= Γmkj gmi + Γij gkm .j∂ξ(1.4)∂gjkm= Γmji gmk + Γki gjm .i∂ξ(1.5)и1.3.
ВЗАИМНЫЙ БАЗИС11Складывая (1.4) и (1.5) и вычитая (1.3) можно получить∂gki ∂gjk ∂gij+− k =∂ξ j∂ξ i∂ξmmmmm= Γkj gmi + Γij gkm + Γmji gmk + Γki gjm − Γik gmj − Γjk gim =mmmmmm= Γmkj − Γjk gmi + (Γki − Γik ) gjm + Γij + Γji gkm = 2Γij gkm .После умножения на матрицу ||g kl ||, обратную к ||gkm ||:g kl gkm = δ l m ,находимΓlij1.31∂gki ∂gkj∂gij= g kl+−2∂ξ j∂ξ i∂ξ k!.(1.6)Взаимный базисВекторы контравариантного базиса вводятся согласноe~i = g ik~ek .Рассмотрим скалярные произведенияe~i , ~ej = g ik e~k , ~ej = g ik gkj = δ i j .Таким образом, e~1 ⊥ ~e2 , ~e3 ; e~2 ⊥ ~e1 , ~e3 ; e~3 ⊥ ~e1 , ~e2 . Тогдаe~1 = αe~2 × e~3 ;после скалярного умножения этого равенства на e~1 получаемα=1(~e1 , ~e2 × ~e3 ).Аналогичные соотношения могут быть получены для других компонент.
Следовательно,e~1 =~e2 × ~e3~e3 × ~e1~e1 × ~e2, e~2 =, e~3 =.(~e1 , ~e2 × ~e3 )(~e1 , ~e2 × e~3 )(~e1 , ~e2 × ~e3 )(1.7)Справедливы также обратные формулы:~e1 = e~3 × e~1e~1 × e~2e~2 × e~3, ~, ~.e2 = e3 = e~1 , e~2 × e~3e~1 , e~2 × e~3e~1 , e~2 × e~3(1.8)Глава 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ12Из разложений вектора по ковариантному и контравариантному базисамv k~ek = vi e~i = vi g ik~ek .следует, чтоv k = vi g ik и vl = glk v k .Для вычисления ковариантной производной ковариантных компонент векторапредварительно вычислим ∂ e~i /∂ξ k . Для этого продифференцируем соотношениеПолучаемe~i , ~ej = δ i j .∂ e~i ∂~ej, ~ej + e~i , kk∂ξ∂ξили!=0∂ e~i , ~ej + Γijk = 0∂ξ kПусть∂ e~i= Aikm e~m ,∂ξ kгде Aikm — некоторый тензор. Скалярно умножая это соотношения на вектор ~ejи учитвая предыдущее, получаемСледовательно,Aikm e~m , ~ej = Aikm δ mj = Aikj = −Γikj .∂ e~i= −Γikj e~j .∂ξ kС использованием этого соотношния легко вычислить производную вектора,заданного контравариантными компонентами∂~v∂ e~i∂vi ~i∂vi=e+v= j e~i − vi Γikj e~k =ijjj∂ξ∂ξ∂ξ∂ξСледовательно,∂~v= ∇j vk e~k ,∂ξ j∇j v k =!∂vk− vi Γikj e~k .∂ξ j∂vk− vi Γikj .∂ξ j1.4.
ТЕНЗОРЫ1.413ТензорыВводится понятие полиадного произведения векторов ~a и ~b, обозначаемое как~a~b и обладающее свойством линейности:(λ1 a~1 + λ2 a~2 ) ~b = λ1 a~1~b + λ2 a~2~b.Тогда можно написать~a~b = ai bj ~ei~ej ,где ai и bj — контравариантные компоненты векторов ~a и ~b. Таким образом,величины ai bj суть компоненты полиадного произведения векторов ~a и ~b вбазисе ~ei~ej .Пусть имеется инвариантный объект, называемый тензором и представимыйсвоими разложениями в двух системах криволинейных координат ξ m и ξ nT = T ij ~ei~ej = T ′ij e~′ i e~′ j .Найдем связь компонент тензора в разных системах координат.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
