Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вначале определимсвязь ковариантных базисов~ei =∂r ∂ξ ′j∂ξ ′j ~′∂r==e j.∂ξ i∂ξ ′j ∂ξ i∂ξ iСледовательно,~ei =∂ξ ′j ~′ ~′∂ξ ie,e=~ei .jj∂ξ i∂ξ ′jИз (1.9) и (1.9) следует∂ξ m ∂ξ nT = T mn~em~en = T ′ij e~′ i e~′ j = T ′ij ′i ′j ~em~en∂ξ ∂ξС учетом линейной независимости базиса ~em~en получаемT mn = T ′ij∂ξ m ∂ξ n.∂ξ ′i ∂ξ ′jАналогично могут быть введены компоненты тензора в контравариантном′T = Tmn e~m e~n , Tmn= Tij∂ξ i ∂ξ j.∂ξ ′m ∂ξ ′nи смешанном базисах∂ξ ′m ∂ξ ′n ∂ξ k.T = T mnk e~i e~j e~k , T ′mnl = T ijk i∂ξ ∂ξ j ∂ξ ′lГлава 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ14Вывод формул дифференцирования тензоров основан на линейности полиадногопроизведения. Пусть имеется тензор второго ранга со смешанными компонентамиT = T ij ~ei e~j .Тогда∂T ij ~jei ~j∂ e~j∂Ti ∂~ie+T~e=~ee+T=iijj∂ξ k∂ξ k∂ξ k∂ξ k∂T i= k j ~ei e~j + T ij Γmem e~j − T ij ~ei Γjkl e~lik~ξи после замены индексов суммирования можно получить∂T= ∇k T ij ~ei e~j ,∂ξ k∇k T ij =∂T ij+ T lj Γilk − T il Γlkj .ξkСвязь ковариантного (~ei ) и контравариантного (e~i ) базисов определяет связькомпонент тензора в различных базисах.
Например,T = Tij e~i e~j = Tij g ki~ek e~j = T kj ~ek e~j , T kj = Tij g ki .Покажем на примере тензора второго ранга, что ковариантная производнаятензора также является тензором, ранг которого на единицу выше:∂ i ~j ∂ξ ′l∂ i ~j == k T j e~i e = ′l T j e~i e∂ξ∂ξ∂ξ k′ln′lm∂ ′i ~′ ~′j ∂ξ ′l′ ′i ~′ ~′j ∂ξ′ ′i ∂ξ ∂ξ ∂ξ=∇Tee=∇Te~m e~n .Teeiiljljj∂ξ ′l∂ξ k∂ξ k∂ξ ′i ∂ξ ′j ∂ξ k∇k T ij e~i e~jСледовательно,∇k T mn = ∇′l T ′ij∂ξ m ∂ξ n ∂ξ ′l.∂ξ ′i ∂ξ ′j ∂ξ kВажным свойством ковариантной производной является ее коммутированиес метрическим тензором.
Например,∇i T j = ∇i g jk Tkпо свойству компонент тензора T и∇i T j = g jk ∇i Tk ,т.к. ковариантная компонента также является тензором. Следовательно,∇i g jk Tk = g jk ∇i Tk .1.5. ВАЖНЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ1.515Важнейшие операции над векторамиДивергенцией вектора ~v называется сверткаdiv ~v ≡ ∇i v i .(1.9)Учитывая, чтоΓiik√1 ∂ g=√,g ∂ξ kгде g = det k gij k, можно получить√∂v i∂v i1 ∂ g k1 ∂ √ k i kgv .div ~v = i + Γik v = i + √v=√∂ξ∂ξg ∂ξ kg ∂ξ kСледовательно,1 ∂ √ k gv .div ~v = √g ∂ξ k(1.10)В декартовой системе координат дивергенция вычисляется согласноdiv ~v =∂v 1 ∂v 2 ∂v 3++.∂x1 ∂x2 ∂x3(1.11)Для дальнейших определений вводится псевдотензор Леви–Чивитаεijk = (~ei , ~ej × ~ek ) .Компоненты этого тензора с совпадающими индексами равны нулю и он антисимметриченпо любой паре символов, поэтому ненулевыми являются лишь компонентыε123 = ε312 = ε231 = ε, ε213 = ε321 = ε132 = −ε.Для вычисления ε рассмотрим∂xi∂ξ j2T= det k A k = det k A k det k A k= det k gij k= g.ε123 = (~e1 , ~e2 × ~e3 ) = det k A k, Aij =ε2123Следовательно,ε=√g.Найдем контравариантные компоненты псевдотензора Леви–Чивита√εijk = g mi g nj g lk εmnl = g(g 1i g 2j g 3k + g 3i g 1j g 2k ++g 2i g 3j g 1k − g 2i g 1j g 3k − g 3i g 2j g 1k − g 1i g 3j g 2k ).Глава 1.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ16Тогда√g(g 11 g 22 g 33 + g 31 g 12 g 23 + g 21 g 32 g 13 −−g 21 g 12 g 33 − g 31 g 22 g 13 − g 11 g 32 g 23 ) =1√√ 1=g det k g ij k= g = √ .ggε123 =и ненулеыми являются лишь следующие компоненты11ε123 = ε312 = ε231 = √ , ε213 = ε321 = ε132 = − √ .ggВекторным произведением двух векторов ~a и ~b называется вектор ~c, определяемыйсогласноck = εijk ai bj .(1.12)Легко показать, что в декартовой системе, в которой g = 1,c 1 = a2 b 3 − a3 b 2 ,c 2 = a3 b 1 − a1 b 3 ,c 3 = a1 b2 − a2 b1 .Ротором вектора ~v называется вектор, обозначаемый как rot~v , с компонентами(rot~v )k = εijk ∇i vk .(1.13)В декартовой системе координат компоненты ротора вектора имеют вид(rot~v )1 =1.6∂v2∂v1∂v3∂v2∂v1∂v3− 3 , (rot~v )2 =− 1 , (rot~v )3 =− 2.231∂x∂x∂x∂x∂x∂x(1.14)Физические компоненты тензоровПусть ξ i , i = 1, 2, 3 — ортогональная криволинейная система координат, длякоторой матрица метрического тензора в каждой точке пространства k gij kимеет диагональный вид.Рассмотрим тензор второго рангаT = T ij ~ei~ej = T ij | ~ei || ~ej |~ei ~ej~ei ~ej= (T∗ )ij.| ~ei | | ~ej || ~ei | | ~ej |Следовательно,T = (T∗ )ij~ei ~ej;| ~ei | | ~ej |(1.15)величины (T∗ )ij называются физическими компонентами тензора.
Посколькув ортогональной системе координат основной и взаимный базис ориентированы1.6. ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРОВ17одинаково и отличаются лишь длиной базисных векторов, то реализация процедуры,подобной (1.15), т.е. разложение по нормированным к единице базисным векторам,приведет к одинаковым компонентам (T∗ )ij в любом базисе. Таким образом,физические компоненты тензора в ортогональной системе не зависят от видаисходного тензора: ковариантного, контравариантного или смешанного. Важноотметить, что физические компоненты тензора сами тензора не образуют.Вычислим оператор Лапласа от скалярной переменной φ в ортогональнойсистеме координат:1 ∂ √ kk1 ∂ √kg∇ggφ=∇φ=∆φ ≡ div gradφ = √√kg ∂ξ kg ∂ξ k!1 ∂ √ 1 ∂φ= √gg ∂ξ kgkk ∂ξ kТаким образом,"1∂∆φ = √g ∂ξ 1∂+∂ξ 2ssg22 g33 ∂φg11 ∂ξ 1g11 g33 ∂φg22 ∂ξ 2!!+∂+ 3∂ξsg11 g22 ∂φg33 ∂ξ 3!#.(1.16)18Глава 1.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТЧасть IIМеханика жидкости и газа19Глава 2Электродинамика сплошной среды2.12.1.1Основные уравненияУравнения МаксвеллаРассмотрим уравнения, описывающие поведение электормагнитного поля вдвижущейся сплошной среде без учета эффектов ее поляризации и намагниченности1 .Для математического описания используются следующие переменные: плотностьэлектрических зарядов ρe , плотность электрического тока ~j и напряженности~ и H,~ соответственно.
Эти переменныеэлектрического и магнитного полей Eсвязаны между собой уравнениями Максвелла~1 ∂E~ − 4π ~j, divE~ = 4πρe ,= rotHc ∂tc~1 ∂H~~ = 0.= −rotE,divHc ∂t(2.1)(2.2)Уравнения (2.1), (2.2) состоит из 8 скалярных уравнений для 10 неизвестных~ H,~ ρe и ~j. Применение операции дивергенции к первому уравнению из (2.2)E,приводит к соотношению∂~ = 0,divH∂tиз которого следует, что второе соотношение служит начальным условием длякомпонент вектора магнитной напряженности и соответствует физическомуфакту отсутствия магнитных зарядов.
Таким образом, имеется лишь семьнезависимых уравнений для 10 неизвестных, и для замыкания системы используетсяфеноменологическое соотношение для плотности тока — закон Ома:~ + 1 ~v × H~ ,~j = ρe~v + σ Ec1[4], глава 6, §421(2.3)22Глава 2. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫв котором первое слагаемое связано с переносом заряда при движении сплошнойсреды, а второе — с собственно электрическим током. Фактически, последнееслагаемое содержит напряженность электрического поля в собственной системекоординат частицы сплошной среды:~′ = E~ + 1 ~v × H.~EcДля изотропной однородной среды скалярный коэффициент σ суть постояннаявеличина; в общем случае возможны нелиненйые тензорные зависимости междунапряженностью электрического поля в собственной системы координат средыи плотностью тока.Таким образом, система уравнений (2.1), (2.2) и (2.3) является замкнутой,если известна скорость движения сплошной среды ~v .Можно отметить, что применение операции дивергенции к первому уравнению(2.1) и учетом второго уравнения приводит к уравнению неразрывности длязаряда:∂ρe+ div~j = 0.∂t2.1.2Уравнения движения сплошной средыЕсли сплошная среда содержит электрические заряды и в ней может течьэлектрический ток, то при математическом описании движения среды необходимоучитывать массовую силу Лоренца~~ + 1~j × H,F~L = ρe Ec(2.4)действующую со стороны электромагнитного поля.
Тогда уравнение движениязаписывается как"#∂~vρ+ (~v · ∇) ~v = div P + F~ + F~L ,∂t(2.5)где F~ — плотность внешней массовой силы не электромагнитной природы.Система уравнений для сплошной среды содержит также уравнение неразрывности∂ρ+ div (ρ~v ) = 0,∂t(2.6)реологические соотношения для тензора напряжений P, уравнение энергии инеобходимый набор уравнений состояния.В случае несжимаемой среды (ρ = const) уравнения (2.1), (2.2), (2.3), (2.5)~ H,~ ~j.и (2.6) образуют замкнутую систему для неизвестных ~v , p, ρe , E,2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ2.1.323Условия на границах разделаДля полученной системы необходимо сформулировать условия на границахраздела2 . При этом к граничным условиям, типичным для используемой моделисплошной среды, необходимо добавить граничные условия для характеристикэлектромагнитного поля.
Эти условия следуют из уравнений Максвелла, записанныхв интегральной форме.Пусть Σ — некоторая поверхность, границей которого является замкнутыйконтур L. Тогда умножая первые уравнения (2.1) и (2.2) на нормаль ~n кповерхности Σ и интегрируя по ней, получаем с помощью формулы СтоксаIZZI1d Z~ L~ − 4π jn dΣ, 1 d Hn dΣ = − Ed~ L.~ (2.7)En dΣ = Hdc dtcc dtΣLΣΣLПусть τ1 и τ2 — вектора, лежащие в касательной плоскости к Σ. Тогда уравнения(2.7), примененные к контуру L, охватывающему часть поверхности Σ и лежащемув плоскости векторов ~n, ~τ1 , при стягивании его к поверхности Σ, дают4π1I11[Hτ1 ]2 −Jτ = 0, [Eτ1 ]2 = 0, Jτ2 = limjτ2 dΣ,h→0 Lc 2Σпричем нормаль ориентирована в сторону 1; h — размер контура в направлении~n.
Аналогичная процедура с контуром в плоскости векторов ~n и ~τ2 приводит к1I4π11Jτ = 0, [Eτ2 ]2 = 0, Jτ1 = lim[Hτ2 ]2 −jτ1 dΣ.h→0 Lc 1ΣИнтегрирование вторых уравнений (2.1) и (2.2) по замкнутой поверхностиΣ, ограничивающей объем V , даетIEn dΣ = 4πΣZVρe dV,I(2.8)Hn dΣ = 0.ΣУравнения (2.8), примененные к малым объемам, охватывающим часть поверхностиΣ, при стягивании к ней дают1Z[En ]12 = 4πRe , [Hn ]12 = 0, Re = limρe dV.h→0 ΣVТ.о., на поверхности сильного разрыва в системе координат, в которойэлемент поверхности покоится, должны выполняться условияZh i1~ τ = 0, Re = lim 1 ρe dV,(2.9)[En ]12 = 4πRe ,E2h→0 ΣV[Hn ]12 = 0,~ τ − 4π J~ × ~n = 0,H2chi11I ~J~ = limjτ dΣ.h→0 LΣЗдесь J~ и Re — поверхностные плотность тока и плотность заряда.2[4], глава 7, §5(2.10)Глава 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
