Г.М. Сисоев - Механика сплошных сред (1132293), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда из волновыхуравнений и условия на бесконечности следует, чтоκ1 yû1 = U1 e,iκ1v̂1 = − U1 eκ1 y ,kiκ2V2 eκ2 y ,û2 =k3[2], глава 3, §24κ2 yv̂2 = V2 e,κ1 =κ2 =ssk2 −k2 −ω2,a21ω2,a225.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ89где U1 , V2 — амплитудные множители. Подставляя это решение в граничныеусловия на поверхности, получаемκ22κ1 U1 + ik 1 + 22 V2 = 0,k!ω2ik −2a22 + 2 U1 + 2a22 κ2 V2 = 0.k!Условие существования нетривиального решения — равенства нулю детерминанта— дает4k 2 κ1 κ2 = k 2 + κ22или, после возведения в квадрат,16k4ω2k − 2a12!ω2k − 2a22!2ω2= 2k − 2a22!4.Это соотношение определяет дисперсионную зависимость ω(k). Представим ω =a2 kξ(k); тогдаξ2"a2a2ξ − 8ξ + 8 3 − 2 22 ξ 2 + 16 22 − 1a1a164!!#= 0.Корень ξ = 0 соответствует покою. С учетом соотношения (5.2) находим,что ξ(σ).
Из условий κ21 > 0, κ22 > 0 следует, что ξ ∈ (0; 1). Полученноеалгебраическое уравнение имеет лишь один такой корень.5.1.4Поперечные волны на границе полупространства иполосыПлоскопаралелльный пласт толщины h (среда 2) лежит на полупространстве(среда 1)4 . Определить зависимость частоты от волнового числа для поперечныхволн с направлением движения вдоль границ пласта.Постановка задачи включает уравнение поперечных волн в пласте и полупространстве,а также граничные условияy=h:y=0:y = −∞ :4[2], глава 3, §24∂ 2 v1∂ 2 v22=b△~v,= a2 △~v1 ,2∂t2∂t2∂v2= 0,∂y∂v2∂v1= µ2,v 1 = v2 , µ1∂y∂yv1 → 0,Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ90где a2 = µ1 /ρ1 , b2 = µ2 /ρ2 — скорости поперечных волн в средах.
Решениеищется в виде(v1 , v2 ) = (v̂1 (y), v̂2 (y))ei(kx−ωt) .Затухание возмущений при y → −∞ в среде 1 возможно лишь при ω/k < a;тогда получаемv̂1 = Aeκ1 y ,κ1 =sk2 −ω2.a21Решение в среде 2 зависит от волнового числа.1. Пусть b ∈ (0, ω/k). В этом случае решение в среде 2v̂2 = B cos κ2 (y − h) + C sin κ2 (y − h),κ2 =sω2− k2.b2Граничное условие при y = h дает C = 0; условия на поверхности разделаведут к дисперсионному соотношениюtg κ2 h =µ1 κ1.µ2 κ22. Пусть b ∈ (ω/k, a). В этом случае решение в среде 2v̂2 = B ch κ2 (y − h) + C sh κ2 (y − h),κ2 =sk2 − ω2.b2Граничное условие при y = h дает B = 0; условия на поверхности разделаведут к дисперсионному соотношениюth κ2 h = −5.1.5µ1 κ1.µ2 κ2Распространение волн в слое конечной толщиныРассмотрим распространение волн в слое конечной толщины 2h5 .
Направимось x вдоль оси симметрии слоя, ось y — поперек. Тогда постановка задачи,аналогично волнам Рэлея, имеет вид∂ 2 u1= a21 △u1 ,∂t2∂ 2 u2= a22 △u2 ,∂t2y = ±h : f = 0,5[2], глава 3, §24∂ 2 v1= a21 △v1 ,∂t2∂ 2 v2= a22 △v2 ,∂t2g = 0,∂u1 ∂v1−= 0,∂y∂x∂u2 ∂v2+= 0,∂x∂y5.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ91где∂u1 ∂u2 ∂v1 ∂v2+++,∂y∂y∂x∂x ∂u∂v1∂v21+ a21+ 2a22.g ≡ a21 − 2a22∂x∂y∂yf≡Решение ищется в виде(u1 , v1 , u2 , v2 ) = (û1 (y), v̂1 (y), û2 (y), v̂2 (y))ei(kx−ωt) ,где k — заданное волновое число, ω — неизвестная частота. Тогда из волновыхуравнений следует, чтоû1 = U11 ch κ1 (y + h) + U12 sh κ1 (y + h),û2 = U21 ch κ2 (y + h) + U22 sh κ2 (y + h),κ1 =sω2k2 − 2 ,a1κ2 =sk2 −v̂1 = V11 ch κ1 (y + h) + V12 sh κ1 (y + h),v̂2 = V21 ch κ2 (y + h) + V22 sh κ2 (y + h),ω2,a22где U11 , U12 , U21 , U22 , V11 , V12 , V21 , V22 — амплитудные множители.
Потенциальностьвектора (u1 , v1 ) и соленоидальность вектора (u2 , v2 ) ведут кiκ1iκ1U12 , V12 = − U11 ,kkiκ2iκ2=V22 , U22 =V21 ,kkV11 = −U21и, следовательно, решения имеют видu1 = [U11 ch κ1 (y + h) + U12 sh κ1 (y + h)] ei(kx−ωt) ,iκ1[U12 ch κ1 (y + h) + U11 sh κ1 (y + h)] ei(kx−ωt) ,v1 = −kiκ2[V22 ch κ2 (y + h) + V21 sh κ2 (y + h)] ei(kx−ωt) ,u2 =kv2 = [V21 ch κ2 (y + h) + V22 sh κ2 (y + h)] ei(kx−ωt) .Тогда входящие в граничные условия функции имеют видhf = (κ1 + k) U11 sh κ1 (y + h) + (κ1 + k) U12 ch κ1 (y + h) +ii 2i 2k + κ22 V21 ch κ1 (y + h) +k + κ22 V22 sh κ1 (y + h) ei(kx−ωt) ,kkh iκ iκ1 21ω 2 − 2k 2 a22 U11 ch κ1 (y + h) +ω − 2k 2 a22 U12 sh κ1 (y + h) +g=kki222κ2 a2 V21 sh κ2 (y + h) + 2κ2 a2 V22 ch κ2 (y + h) ei(kx−ωt) .Глава 5.
ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ92Граничные условия при y = −h и y = h даютi ω2(κ1 + k) U12 −− 2k 2 V21 = 0,k a22!iκ1 ω 22− 2k U11 + 2κ2 V22 = 0,ka22!i ω2− 2k 2 (V21 ch 2κ1 h + V22 sh 2κ1 h) = 0,(κ1 + k) (U11 sh 2κ1 h + U12 ch 2κ1 h) −k a22!iκ1 ω 22− 2k (U11 ch 2κ1 h + U12 sh 2κ1 h) + 2κ2 (V21 sh 2κ2 h + V22 ch 2κ2 h) = 0.ka22!Условием существования нетривиального решения является равенство нулюопределителя этой матрицы, что дает дисперсионную зависимость ω(k).5.1.6Отражение волн от жестко закрепленной стенкиПродольная и поперечная волны произвольного направленияПусть продольная волна распространяется вдоль некоторого направления ξ,составляющего угол α c осью x:U = f (ξ − a1 t),V = 0,где U, V — компоненты перемещения в ортогональной системе координат ξ, η 6 .С учетом того, чтоξ = x cos α + y sin α,η = −x sin α + y cos α,в системе наблюдателя решение имеет видu1 = f (x cos α + y sin α − a1 t) cos α,v1 = f (x cos α + y sin α − a1 t) sin α.Аналогично, распространяющейся в направлении ξ поперечной волнеU = 0,V = g(ξ − a2 t)в системе наблюдателя соответствует решениеu2 = −g(x cos α + y sin α − a2 t) sin α,6[2], глава 3, §22v2 = g(x cos α + y sin α − a2 t) cos α.5.1.
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ93Отражение продольной волныПусть на жестко закрепленную стенку x = 0 из области x > 0 падает продольнаяволна, напавление движения которой характеризуется углом α0 . Найти отраженныепродольную и поперечную волны.Перемещения, вызванные продольной волной, сутьu0 = f0 (x cos α0 + y sin α0 + a1 t) cos α0 ,v0 = f0 (x cos α0 + y sin α0 + a1 t) sin α0 .Пусть направления отраженной продольной и поперечной волн характеризуютсяуглами α и β.
Тогда соответствующие перемещения вычисляются какu1 = f (x cos α + y sin α − a1 t) cos α, v1 = f (x cos α + y sin α − a1 t) sin α,u2 = −g(x cos β + y sin β − a2 t) sin β, v2 = g(x cos β + y sin β − a2 t) cos β.Суммарное перемещение сутьu = f0 (x cos α0 + y sin α0 + a1 t) cos α0 + f (x cos α + y sin α − a1 t) cos α −g(x cos β + y sin β − a2 t) sin β,v = f0 (x cos α0 + y sin α0 + a1 t) sin α0 + f (x cos α + y sin α − a1 t) sin α +g(x cos β + y sin β − a2 t) cos β.Функции f и g, углы отражения α и β должны быть такими, чтобы при x = 0 :u = 0, v = 0 илиf0 (y sin α0 + a1 t) cos α0 + f (y sin α − a1 t) cos α − g(y sin β − a2 t) sin β = 0,f0 (y sin α0 + a1 t) sin α0 + f (y sin α − a1 t) sin α + g(y sin β − a2 t) cos β = 0.Эти соотношения должны выполняться при любых значениях t и y, тогдаy sin α0 + a1 t = −y sin α + a1 t = (−y sin β + a2 t)a1.a2Следовательно,sin α = − sin α0 ,sin β = −a2sin α0 .a1Т.к.
|a2 /a1 | < 1, такое решение существует всегда. Амплитудные функцииотраженных волн равняютсяf = −f0cos(α0 − β),cos(α − β)g = f0sin(α0 − α).cos(α − β)Глава 5. ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНО–УПРУГИХ ТЕЛАХ94Отражение поперечной волныПусть на жестко закрепленную стенку x = 0 из области x > 0 падает поперечнаяволна, напавление движения которой характеризуется углом β0 . Найти отраженныепродольную и поперечную волны.Перемещения, вызванные продольной волной, сутьu0 = −g0 (x cos β0 + y sin β0 + a2 t) sin β0 ,v0 = g0 (x cos β0 + y sin β0 + a2 t) cos β0 .Пусть направления отраженной продольной и поперечной волн характеризуютсяуглами α и β.
Тогда соответствующие перемещения вычисляются какu1 = f (x cos α + y sin α − a1 t) cos α, v1 = f (x cos α + y sin α − a1 t) sin α,u2 = −g(x cos β + y sin β − a2 t) sin β, v2 = g(x cos β + y sin β − a2 t) cos β.Суммарное перемещение сутьu = −g0 (x cos β0 + y sin β0 + a2 t) sin β0 + f (x cos α + y sin α − a1 t) cos α −g(x cos β + y sin β − a2 t) sin β,v = g0 (x cos β0 + y sin β0 + a2 t) cos β0 + f (x cos α + y sin α − a1 t) sin α +g(x cos β + y sin β − a2 t) cos β.Функции f и g, углы отражения α и β должны быть такими, чтобы при x = 0 :u = 0, v = 0 или−g0 (y sin β0 + a2 t) sin β0 + f (y sin α − a1 t) cos α − g(y sin β − a2 t) sin β = 0,g0 (y sin β0 + a2 t) cos β0 + f (y sin α − a1 t) sin α + g(y sin β − a2 t) cos β = 0.Эти соотношения должны выполняться при любых значениях t и y, тогдаy sin β0 + a2 t = (−y sin α + a1 t)a2= −y sin β + a2 t.a1Следовательно,sin α = −a1sin β0 ,a2sin β = − sin β0 .Найденное решение существует лишь при углах падения меньших критического,определяемого равенством(β0 ) = arcsina2.a15.2.
ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ5.1.795Сферические волныКолебания упругого шараОпределить колебания упругого шара радиуса R7 .Для радиальных колебаний шара в сферической системе координат отличнаот нуля лишь одна компонента вектора перемещений w~ = (ur (r, t), 0, 0)). Тогдаrotw~ = 0, и, следовательно, w~ = ∇ϕ. Подставляя это выражение в уравнениеЛаме и интегрируя по пространству, получаем∂ϕa21 ∂∂2ϕr2,=22∂tr ∂r∂r!a1 — скорость продольных волн. Граничным условием служит prr (R, t) = 0.Ищется периодическое по времени решение ϕ = ϕ̂(r)e−iωt , тогда уравнениедля амплитудной функцииa2 ddϕ̂−k ϕ̂ = 21r2,r drdr!2k=ω.a1Его решение:ϕ̂ = Asin kr.rГраничное условие prr (r, t) = 0 приводит к дисперсионному уравнению ω =a1 k:tg kR kRa1= 1−kr2a25.25.2.1!2 −1 .Волны в стержняхПродольные волныДля описания перемещений в длинном стержне используется декартова системакоординат с осью x, направленной вдоль стержня8 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
