П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Как классическая функция Гамильтона (16.5), так и гамильтониан для свободного поля распадаются на сумму гамильтонианов невзаи- модействующих осцилляторов: Д ~Д 1 ~(р2+ 2ц2) л л Собственные значения энергии каждого осциллятора определяются, как известно, формулой . Я„л = 1лал (ил+ 1/2) . (16.2О) Рассмотрим классическое выражение для импульса поля — щ' (16.21) 4к ~ При подстановке в это соотношение выражений для полей (16.12) мы придем к формуле Б = ~~~ Бл — — ~ 2ал1слала'. (16.22) л л Выражение (16.22) отличается от формулы (16.13) для энергии поля лишь наличием векторных (неоператорных) множителей.
Поэтому при переходе к квантовому описанию оператор импульса электро- магнитного поля коммутирует с гамильтонианом, а его собственные значения для каждого из осцилляторов поля суть Б,лл = 1сла (пл + 1/2) . (16.23) Таким образом, энергия и импульс электромагнитной волны комму- тируют, что в квантовой механике частиц соответствует случаю сво- бодного движения. Далее, разности энергий и импульсов плоской 272 Гпава1б волны с заданным значением Х и основного состояния поля кратны величинам йа~ и йвйс ~ соответственно. Поэтому плоскую попе- речную электромагнитную волну можно рассматривать как систему невзаимодействующих частиц — фотонов — с энергией Бай и им- пульсом Ьвйс ~п.
3. Как и при рассмотрении гармонического осциллятора в п. 3.6, введем безразмерные операторы — (аЯ~ — гР~), (16.24) 2о~ Гл ах — — ~ — (вЩ + гР,). ~/ 2со~ Из коммутационных соотношений (16.18) следуют перестановочные соотношения для операторов (16.26) ~а~, а+~ = 1,, ~ай, а,„~ = [а~, а+] = О.
Таким образом, операторы а+ и а можно рассматривать как операто- ры рождения и уничтожения фотонов, действующие в пространстве чисел заполнения с базисными функциями (16.10). Из (16.26) видно, что фотоны являются бозонами. Гамильтониан свободного электромагнитного поля, выраженный через операторы а~+ и а~„имеет вид Й = ~ — (а~а»»- а~ а»» = ~ й»о~ (й»»- -) . (16.27) х х (16.25) Выражение для оператора вектор-потенциала А через операторы ро- ждения и уничтожения фотонов можно записать, сравнив формулы (16.15) и (16.24): 2~йс~;р,~ „ц ~( ~з (16.29) А = ~~~ (а~А~ + а+А,",) .
„(16.28) При переходе от классического выражения для функции Гамильтона к оператору Гамильтона (16.19) мы можем, как и в механике частиц, считать зависимость от времени включенной только в ВФ А~ (представление Шредингера) или только в операторы Р~, Я~ (представление Гайзенберга). Мы выберем первый вариант — представление Шредингера. Зависящие от времени ВФ имеют вид 273 Взаимодействие с электромагнитным полем Р= — = —. ее Л~ (16.34) щ) теоэ В оптическом диапазоне (о = 101~ с 1) параметр р сравним с единицей в полях с напряженностью 8 = 10а ед. СГСЭ = 10а В/см, т.
е. при интенсивности излучения 1 ° 101~ Вт/см2. Чаще приходится иметь дело с полями, в которых выполняется условие р « 1. Поэтому второй и третий члены в правой части (16.32) можно рассматривать как малые возмущения. Отметим, что даже при Р « 1 членом, квадратичным по А, нельзя пренебрегать по сравнению с линейным, так как они описывают различные явления.
5. Рассмотрим взаимодействие квантовомеханической системы с квантованным электромагнитным полем. Для этого в УШ (16.32) заменим классическое выражение для вектор-потенциала на оператор (16.28). В дальнейшем для краткости квантовомеханическую систему будем называть атомом. Гамильтониан системы «атом + поле» имеет вид й=й +О+й~, (16.35) 18 П.В. Елютин, В.Д. Кривченков 4.
Рассмотрим УШ для нерелятивистской заряженной частицы без спина, взаимодействующей с переменным электромагнитным полем, которое будем описывать классическими (не операторными) потенциалами А и д. УШ имеет вид — И вЂ” = ~ — + е(р (т)~ у — — (рА + Ар) цl + — А Чl. ду Гр~ е е' 2 дФ 2т 2тс 2тсв (16.30) Второй член в правой части преобразуем с помощью равенства (р, А] = — Ис1гчА. (16.31) Если векторный потенциал удовлетворяет условию кулоновской калибровки (16.2), то УШ примет вид — д$~~" = ~Р + ед(т)1 у — е Арц~+ е А2~у. (16.32) д$ ~2т тс 2тс~ Оценим порядок величин в правой части для внешнего поля, гармонически меняющегося во времени: А (й) = — а1пай.
(16.33) Тогда если импульс частицы имеет типичную для атомных систем величину р те2Ь 1, то члены в правой части (16.32) имеют порядок величины Яо, ЕоР и ЕоР2 соответственно, где р — безразмерный параметр: Глава 1б Йр = 2 ВО~ (а~ ах -~- -), у р % Вй ~ 'ц — ~), + -~(ь- Ф)) ) = — — р р — е ~аье +а,е ~/~ (1б.36) Отметим, что оператор взаимодействия зависит от времени явно. В (1б.35) мы опустили оператор возмущения, квадратичный по вектор-потенциалу. В отсутствие взаимодействия стационарные состояния системы описываются произведениями СФ гамильтониана атома ~ч) (под ч понимается набор квантовых чисел) и СФ гамильтониана свободного поля в представлении чисел заполнения ~иД. Здесь и„означает число фотонов с заданными значениями волнового вектора 1с~ и поляризации е,.
Матричные элементы зависящего от времени оператора Р(8) в первом порядке теории возмущений отличны от нуля только между функциями состояний, в которых число фотонов с некоторым Х отличается на единицу: ~(ч, и~Яр, и~+ 1) =(ч, и~У,, ~р, и+ 1), где введен оператор — — — е ра~е'~ Таюй переход соответствует поглощению фотона атомом. Анало- гично, переход, соответствующий испусканию фотона, определяется вторым слагаемым в операторе Р: (ч.
и.МИ, и, — 1) = (, иФ+!Н, — 1), где введен оператор е 2кВ - -+ — враг-атос) — — — е,р а„е , ~/~з б. Пусть в начальный момент времени поле находится в ва- куумном состоянии — все числа заполнения равны нулю. Тогда единственным возможным процессом будет испускание фотона. По- сюльку при размерах куба ЕР, больших по сравнению с длинной вол- ны фотона Х, спектр свободного поля является квазинепрерывным, мы используем полученное в п. 11.8 золотое правило Ферми: (1б.38) Взаимодействие с электромагнитным палем а = ср= Ьох Учитывая это равенство, для функции плотности состояний получаем выражение ~з з,1~1 ар(е) = — ~ = сЫ Ь (2кс) Подставляя это выражение в формулу (16.38), получим (16.39) (Де ' р~з) — —,е, 2к г.зор йР~; =— йз (2кс) )(де ' р)в)е,) ий. Наибольший вклад в матричный элемент у~ — а1сг- р) * (,) -~~~ (,) дают области значений г, в которых атомные ВФ заметным образом отличны от нуля: г ао = 0,5 10 8 см.
В оптическом диапазоне й 10~ см 1, и в существенной области интегрирования показатель экспоненты оказывается малым. Ограничиваясь первым членом раз- ложения -Йсг 1 .1 (1сз') 21 * ° ° 1 (16.40) получаем (Де ' 'р~з) = (Др~з). Учитывая доказанное в п. 2.9 тождество — (Др~з) = Йау;(Дгф, получаем для дР+ следующее выражение: йР+ = — ~йу;е ~ дй. (16.41) 18' где индексы У и з относятся к конечному и начальному состоянию атома соответственно. Определим плотность числа состояний. Число состояний поля с фотоном, импульс которого лежит в интервале значений (р, р+ с~р) и интервале углов дй, есть* Ьф ф>ЙЙ Ьз фдад (2ка) з сз (2ка) В последнем выражении через е обозначена энергия фотона с величиной импульса р: Хяава1б Здесь Йу; означает матричный элемент дипольного момента: 6 = =.
ег. Выбирая ось сферической системы координат в направлении импульса фотона 1с и учитывая, что вектор поляризации ортогонален импульсу, представим (16.41) в виде а)Р+ = — ~йу;~ в1п ОдсоаОсйр. 2лсзй Полная вероятность испускания фотона в единицу времени опреде- лится интегрированием по углам 6 и ~р: 4 г.~2 з (16.42) 3 ~ с где а — постоянная тонкой структуры. Для атомов матричный эле- мент гу; по порядку величины равен е~ ~йо) и вероятность излучения Р~; в единицу времени имеет порядок (16.4З) Вероятности переходов при наличии фотонов в состоянии с чис- лами А отличаются от Р+ только числовыми множителями. Учитывая соотношения (а+ 1~а+~о) = ~~п+1, (и — 1~а~т),) = /д, получаем Процесс испускания фотонов в отсутствие квантов в начальном состоянии называется спонтанным излучением.
Процесс испускания, связанный с наличием квантов в начальном состоянии, с вероятностью в единицу времени Рян = п,),Р+ называется вынужденным изучением. Формула (16.44) относится, очевидно, к поглощению. 7. Заметим, что в выражение для вероятности спонтанного излучения Р+ не входит объем куба периодичности Х з. Поэтому его можно отнести к излучению атома в свободном пространстве. То обстоятельство, что вероятности процессов,'происходящих в присутствии поля, (16.44), (16.45) также не зависят от объема Х з, позволяет установить связь между локальной плотностью энергии поля и' = — ' (я'+ и') 277 Взаимодействие с электромагнитным полем ПГ (созВ) = Р~ ~(соз 6) .
Матричный элемент компоненты дипольного момента может быть записан в виде (ЮИ!41л1ш) = В ~К'„,АУ~7ыР Отдам. (16.47) Вместо декартовых компонент д, д„, И, мы воспользуемся разложе- нием вектора Й по сферическим гармоникам: Ио = ет соз 6 = 7 2 ~ т1~~о = И„ И1 = ет зш Ве'~ = угУ11 — — с~ + Ыи, д 1 = ет зш Ве '~ = угу~~, 1 = И вЂ” Ии, и числом фотонов в единице объема и„, которое входит в вычисления, предполагая, что соотношения (16.20), (16.23) выполняются и в этом случае.
Формула (16.45) указывает условие применимости классического рассмотрения электромагнитного поля, действующего на атом; таким условием является неравенство т~~ >> 1. Огметим также, что использованная нами ВФ фотона 2кас 1(ьд — ы) Х=~/ е,е ~/ Ьзв соответствует однородному распределению координаты в объеме Ьз (как и для нерелятивистской частицы с заданным импульсом). Однако функция, определенная таким образом, не является калибровочно инвариантной. Заменив е на е, + 1с ~ (в), мы получим прежние выражения для полей'Е и Н, но другое выражение для плотности вероятности координат фотона.
8. Электромагнитное излучение, вероятность которого определяется матричным элементом дипольного момента, называется дипольным электрическим излучением или Е1-излучением. Рассмотрим матричные элементы дипольных переходов для частицы, связанной в центральном поле. Состояние системы определяется квантовыми числами о, 1, ш. Волновая функция допускает разделение переменных Ч~(6, ~~, т) = В„х(т)УЗ (6, ~Р).
Упювая часть ВФ имеет вид У~ (6, р) = П~" (соз В) ~, (16.46) где П~~ (соз 6) — нормированные присоединенные функции Лежандра: Глава 16 278 7 =е~. Рассмотрим вычисление интеграла (1б.47): 1 (>>Х)х~длл~П1т) = ')> ' 2 л В»ХРе ~т~ дт У~Я У1 Ий. Начнем с интеграла по угловым переменным: Х®) = П™м(сове)П,"(сове)П1( Е).ф)1совв, фФ) (2к) — 3/2 ( 1)н+™+ле ф — х+1) >1»>+лл — ц)ч 1 Последний интеграл вычисляется элементарно: 2л 1)»+ +>л '1е1 — Х+1) Е ее»>+>л-Л)Е (2ж)~>~ ' $(»х+ ж — ~ю) Он обращается в нуль, если только не выполняется условие т+ае — Н=О, при котором ( ) -($-х+1) Для вычисления интеграла по О воспользуемся значениями низших присоединенных функций П,: П1(х) = -х, П1 (х) = — 1 — х2, соотношением ортогональности П~~ (х) П" (х) сЬ = Ьх1 и рекуррентными формулами 1-1> (16.48) Взаимодействие с электромагнитным полем 279 ~:Рп;(.,) = ит-1 1+1 и -1 3-1 (16.49) /1 2П ()— 3+1 +1 и -'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
