П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отметим, что ширина линии оказывается пропорциональной интенсивности спонтанного излучения: чем спектральная линия интенсивней, тем она шире. Такая же связь между шириной и интенсивностью линий имелась и в классической модели осциллятора с радиационным затуханием. Однако при переходе между возбужденными состояниями ширина линии определяется суммой констант т для верхнего и нижнего уровней: 7з =7;+7~. Взаимодействие с электромагнитным полем 285 у = — е, с~=6 р. оЧз -1 Ч Яз Плотность числа конечных состояний для свободного электрона имеет вид ~з р(п ~й (1б.б4) (2яЬ) Итак, вероятность испускания в единицу времени электрона с импульсом, лежащим внутри телесного угла с1й, имеет вид ор,; = о~ '", ((о, о(Р;(ю, ц) . Используя явный вид оператора взаимодействия Ъ',, = — ~ — е ( — зПер,'(7) аз., 2~й оноз — в~) ~ ~з поучим выражение для вероятности фотоэффекта в виде 2 с~й.
(1б.б5) йР~; = ~ е'сиз' ч') (ез~~) у; (г) с1зг 2яйпзо~Х з Очевидно, это выражение явно зависит от нормировочного объема Хз для фотонов. Удобнее вычислять величину сечения перехода, равную отношению вероятности перехода к плотности потока фотонов Х зс. Вычислим сечение фотоэффекта для атома водорода в основном состоянии. ВФ начального состояния имеет вид (е;(г) =,е "~ '. ~Яаоз Поэтому спектральная линия, соответствующая переходу в коротко- живущее состояние, будет широкой, но, возможно, слабой.
13. Выше мы рассматривали переходы под действием электромагнитного поля, в которых как начальное, так и конечное состояния атома принадлежали дискретному спектру. Если энергия поглощаемого фотона асо больше потенциала ионизации 1, то в результате поглощения один из атомных электронов может перейти в состояние, принадлежащее непрерывному спектру. Это явление называется фотоэффектач. Вероятность перехода в единицу времени определится формулой р~; = '„) (~, о(С (1, 1) ) р (з~) . Основное упрощающее предположение в теории фотоэффектасостоит в замене ВФ конечного состояния, учитывающей взаимодействие электрона с атомным остатком, на ВФ свободного состояния — плоскую волну 1Ъава 1б 286 Введем обозначение ж для волнового вектора переданного импульса: ж = 1с — с1.
Проводя в формуле (16.65) интегрирование по частям и учитывая поперечность поля, найдем е~с1 усе '~дг . (16.66) Интеграл вычисляется элементарно в сферических координатах: — ~ ехр ~ — — + ~ жг сов 9) 2хвш9т сЬ.сИ = (1+ адажи)~ (16.67) Обозначим через 9 угол между направлениями импульсов фотона 1с и электрона с1, а через д — угол между плосюстями 1сс1 и е1с. Тогда ес1= д в1п 9сов ~р, ж = д ~1 — 2 — сов9+ — ~. '2 2 1с в'~ Я я2 Если энергия электрона в юнечном состоянии много больше энергии связи: Ь~д~ с т — »вЂ” 2т Ь~ ' то волновой вектор электрона много больше обратного боровсюго радиуса: (16.68) Далее, учитывая, что волновой вектор фотона й = сос 1, имеем й со йд д сд 2тс В нерелятивистском приближении можно ограничиться членами Йд/тс.
Тогда, пренебрегая в знаменателе формулы (16.67) единицей в силу неравенства (16,68), получаем 1 д~ (1 ( ~ ) в)4 Упювая зависимость в числителе показывает, что наиболее вероятно испускание электрона в направлении электричесюго поля падающей волны. Отметим, что при выводе формулы (16.69) мы не использовали разложение экспоненты в операторе взаимодействия, а поэтому учли все порядки мультипольности перехода. Проводя вычисление в дипольном приближении, что эквивалентно замене ж=.с1, 1с=О, мы получим вместо углового фактора в знаменателе (16.68) единицу. Взаимодействие с электромагнитным полем 287 О 2 3 4 Е/1 Рис. 45 В этом случае можно провести интегрирование по углам и получить явный вид полного сечения: а= — аао ( — ) (16.70) где Е = йсо — энергия фотона.
Подчеркнем, что наше приближение пригодно лишь при Е » 1. Вблизи красной границы фотоэффекта нужно пользоваться точными ВФ электрона в кулоновском поле. Соответствующие расчеты показывают, что учет взаимодействия в конечном состоянии приводит к появлению в формуле для сечения дополнительного множителя Г(с) = 2я. Ц Е 1 — ехр( — 2х~) Š— Х Множитель Г (с) уменьшает сечение фотоэффекта вблизи красной границы.
При Е = 1 Р (Я) = 2яе 4 = О, 12 и медленно возрастает с увеличением энергии Е. Даже при Е = 501 значение Р (с) составляет а всего 0,66. Отметим, что сечение ионизации на красной границе имеет конечную величину. Это связано со специфическим поведением кулоновских ВФ непрерывного спектра на больших расстояниях. Для частиц, связанных короткодействую- Нд щими потенциалами, при Е = 1 сечение фотоэффекта обращается в нуль. На рис. 45 показана зависимость сечений от Е(1 для атома Н1 и отрицательного иона Н, . Отметим также степенной характер убывания сечения при Е -+ оо.
14. Выше мы рассматривали однофотонные процессы, в которых начальное состояние системы принадлежало дискретному спектру. Если начальное состояние электрона принадлежит непрерывному спектру, а фотонов в начальном состоянии нет, то возможны два типа однофотонных процессов. Конечное состояние электрона может принадлежать дискретному спектру, а конечное состояние поля будет содержать один фотон. Такой процесс — рекомбинация — противоположен фотоэффекту. Его сечение определяется матричным элементом (16.66). Конечное состояние электрона может принадлежать непрерывному спектру, а конечное состояние поля будет содержать один фотон.
Такой процесс неупругого рассеяния называется тормозным излучением. Глава 16 Рассмотрим тормозное излучение электрона в кулоновском поле ядра. Вместо использования точных ВФ непрерывного спектра мы, как и в п. 16.13, будем описывать начальное и конечное состояния электрона ВФ свободного движения с определенным импульсом 1рг 1 зЧг щ= — е, у~ — — — е Д,з ' Яз а влияние кулоновского поля ядра учтем как возмущение гв Ъ'и = — —. т Матричный элемент оператора взаимодействия с полем Р,ь между функциями у; и у~ обращается в нуль: свободный электрон не излучает.
Отличный от нуля вклад возникает только во втором порядке теории возмущений от члена первого порядка по Рл~ и по Рр. (~[гг[.) т~ ЩР [а)ЫР [ ) + (Х!ЧИЬ)(Ь|Ч [з) аЬ Матричные элементы операторов Рр~ и Рр вычисляются элементарно: (~[~Ъ[~) =— (16.72) (Ь, ЦР'р[р, 0) = — — — е~рб(р — Ь вЂ” 1с). (16.73) т ХРа Энергии начального и конечного состояний определяются импульсами соответствующих свободных частиц: д2 2 Лз 3 Е; = —, Е~ = — + Все. 2т 2т Учитывая закон сохранения импульса, имеющий место при взаимодействии с квантовым полем, энергии промежуточных состояний можно выразить через импульсы р, и, 1с Ь' ( + 1,)г Яь = "' [(р 3с)' ~.
2™й~ Подставляя выражения (16.72), (16.73) в матричный элемент (16.7 1), получим (у[ц ) 4~~~в ~~ ~2~~л 1 ~ (е~Р) + (е1Ч) 1 (16 74) т ~ ~~а [Р— Ч вЂ” Ц~ Ы; — Е Е; — Ез~ Взаимодействие с электромагнитным полем Направления импульсов фотона Зс и электрона р в конечном состоянии независимы. Поэтому функция плотности конечных состояний может быть представлена как произведение плотностей состояний для фотона и свободного электрона: рйŠ— — Ь дй Х гней БссПс 8„заз 8дзазс »а = а ]»»»,»Й .
»!б.75) !Р— Ч вЂ” Ц~ ~Е» — Еа Е» — Еь Найдем выражение для энергетического спектра испускаемых фотонов. Для этого надо формулу (16.75) просуммировать по возможным направлениям поляризации е~ и проинтегрировать по угловым переменным. Введем систему координат с осью Ол вдоль р и плоскостью Ох,з, совпадающей с плоскостью р1г (рис. 46). Тогда компоненты векторов р, и, К будут определятся выра- жениями Р=р(о, о,1), У 1~ =»~(8 6, 0, 6), Рис. 46 я = я (яш (х сов ~3 р Бш О 31п ~) соя (х) . Вектор поляризации е~ ортогонален импульсу фотона К, потому удоб- но положить е1 = ( — соа6, О, я1п6), е2 = (О, 1, 0). В нерелятнвистском приближении формулу (16.75) можно упростить, воспользовавшись, как и в п. 16.13, малостью импульса фотона.
Тогда Ег Еа= (Р»7 291~ »~ ) ' (Р Я )» 2ш 2т Е,. Еь=" ( 2~1+2,11, а21 Ь И2 Ря), 2тп ~ »» / 2»т» !р — с1 — Ц вЂ” (р — »:1) = (р +»7~ — 2рцсова) (16.76) 19 П.В. Елютин, ВД. Кривченков Определим дифференциальное сечение тормозного излучения как отношение вероятности перехода к плотности потока начальных элек- тронов: рт»т гЬ з.
Используя золотое правило, получим 290 Лава 1б Энергетические знаменатели в квадратной скобке формулы (16.75) различаются только знаками и не содержат угловых множителей. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением угловой зависимости числителей. Для различных значений поляризации имеем а = 1: (е1р — е1с1) = — рвш8+ д(вшОсова — совбвшавш~3), а = 2: (е2р — евс~) = — двшавш~3. Возводя эти функции в квадрат, складывая и интегрируя по 6 и К' получим 2п~ ф~ нсовб~(е,р — ещ) = — ~ (~+~~~ — 2рдсова).
3 Оставшееся интегрирование по а также выполняется элементарно: +1 ® ~2 З16д сУс ~ Ысова 3 р й ~ уР+д' — 2рдсова Отсюда находим окончательный результат: (Ь(Й) = — Я а — 1п 3 Введем безразмерную величину и, равную отношению энергий фотона Йсй и начального электрона Е;: 2тс ц = й —. Вр~ Тоща выражение можно представить в виде 16 ~2 З 1 .~ ~1+ ~ГГ:ч~ Ф~ 3 рР ~1 — ~/Г: ч/ ч Логарифмический множитель при не слишком малых ц меняется медленно, и зависимость сечения от энергии определяется главным образом множителем и 1. Спектральная интенсивность тормозного излучения определяется выражением Зависимость спектральной интенсивности от ц показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
