П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 41
Текст из файла (страница 41)
! — 1 (16.50) Р 1 4): +1 Ц" (х) И, "(х) -х — д'+' ") с1х. 2 ~/2ж — 1 Учитывая формулу (16.48), получаем 1о = ~( (и) Р-"+ц 3 ~2л ~( 2 Ь|+1,, + .+ ( )( ) Ь| 1,~ . (16.51) (21 + 1) (21 — 1) Таким образом, отличны от нуля будут только матричные элементы переходов между состояниями с Р и 1 ~ 1. Используя (16.49), (16.50), можно показать, что то же требование распространяется и на переходы с ае = ~1. Для них (а) Р+'-~ Б~ ~/2к 1/ 4 ~ Ь!,1 1— Ьс, 1+1 (16 52) 1 (й) Р-"+ц 3 ~/Б ~/ 4 Ь|,л 1+ + Ь~,1» 1 .
(16.53) Таким образом, в днпольном приближении для частицы, связанной в центральном поле, отличны от нуля только матричные элементы переходов из состояния (и, 1, т) в состояние (~г, Х, 11), где 1=1~ 1, р = т, т~ 1. (16.54) 280 .Глава 16 9. Формулы (16.54) задают правила отбора для векторного оператора Й.
В случае многоэлектронного атома в дипольном приближении возможны лишь такие изменения электронной конфигурации, при которых изменяются квантовые числа и, 1 только одного электрона, так как оператор суммарного дипольного момента ~,. ег; есть аддитивный оператор. Из правил отбора следует, что при дипольном излучении или поглощении одного фотона момент атома изменяется на единицу. Поскольку система «атом+поле» замкнута, то из закона сохранения момента в этом случае следует необходимость приписать фотону момент импульса, равный единице. Использованная нами при вычислениях координатная приближенная ВФ фотона изотропна.
Поэтому разумно предположить, что этот момент связан со спиновым состоянием, и приписать фотону спин, равный единице, Частица с конечной массой покоя и спином, равным единице, при заданном значении импульса р находится в трех различных спиновых состояниях с проекциями в на направление импульса, равными 1, О и — 1. Для фотона возможны лишь два направления поляризации: в„= ~1. Это связано с равенством нулю массы покоя фотона, которое выражается условием поперечности векторных ВФ фотона. 10. В качестве примера вычислим вероятность спонтанного перехода между состояниями 2р -+ 1в в атоме водорода. Для переходов из р-состояния в в-состояние вероятности переходов вне зависимости от величины Ьт, равны з98 (16,55) где через В обозначен радиальный интеграл В = В„„тл,„тза .
Радиальные ВФ имеют (в атомных единицах) вид .Йш(т) = 2е ", В21(т) = — е " 2~Г6 Радиальный интеграл вычисляется элементарно: д 1 ~ з/2 4 1т 216~2 3 — 9~2 ~Г6 ~ Переходя к обычным единицам и подставляя это значение в формулу (16.55), получим 4 9Рв' 2" ~л Р 9 Лвз я9 ~,12в4 281 Взаимодействие с злеюпромагнитным полем Частота излучения определяется формулой со = — 1.Е (2р) — Е (1в)] = — —,.
Отсюда находим окончательное значение: или Р+ = 6,2 ° 10а с ~. 11. Если матричный элемент йу; обращается в нуль, то говорят, что дипольный переход между состояниями Я и ~Д запрещен. В этом случае для вычисления вероятностей перехода следует улучшить приближение (16.40), положив е ' ~1 — Йсг. Матричный элемент перехода определится интегралом ц~у (г) (юг) (ре„) щ (г) дг. Поскольку Ке = О, удобно выбрать направления векторов К и е за оси декартовых координат, например Ох и Оу соответственно. Тогда интеграл примет вид А = (ДЙ(хри) ~з) = -(Я(хри+ р у)+ (хри — р у)!з).
Второй член пропорционален г-компоненте орбитального момента 1,. Аналогично, для других направлений Й, е матричные элементы равны — "(Л1ж! ), — "'(Л1„1~). Излучение при переходах, вероятности которых определяются этими матричными элементами, называется магнитным диполъньии или М1-излучением. В нерелятивистском приближении при движении в центральном поле орбитальный момент сохраняется и не имеет недиагональных матричных элементов, отличных от нуля. Поэтому магнитные дипольные переходы в этом приближении запрещены.
Для многоэлектронных атомов в случае Х Я-связи М1-переходы должны удовлетворять правилам отбора Ьтц=О, Щ=О (16.56) для всех одноэлектронных ВФ. Поэтому возможны переходы только между двумя состояниями, принадлежащими одной конфигурации и обладающими одинаковыми значениями Е и Я. Разности энергий таких состояний малы и соответствуют излучению частот микроволнового диапазона. Глава 1б Первый член может быть преобразован следующим образом: хрх <-рр, = — (Ч~рх — рхЧ~) = —, [ху, Й ] = Ь. Вычисляя матричный элемент оператора Ь между состояниями [т) и ~п), получим (т(Ь(п) = — ~ ~ ((хп(ухЯ (ЦЙ(п) — (хп(Й(1) (Дух(п)) .
Учитывая, что у гамильтониана Й в собственном представлении отличны от нуля толью диагональные элементы, получим -Й Щхрр+ ур [г') = — — (т[ух[л). Излучение, испускаемое системой при переходах, вероятности которых определяются такими матричными элементами, называется электрическим квадрупольным или Е2-излучением. Правила отбора для квадрупольных переходов можно получить из правил (16.54), представив матричный элемент в виде (т[ух[п) = С(т[у[ь) (Цх[тв). Таким образом, для квадрупольного излучения отличны от нуля вероятности переходов из состояния (и, 1, т) в состояние (ч, Х,р), где Х = 1 ф О, Х = 1 ~ 2, [1). — )ть[ < 2.
Напомним, что все вычисления в пп. 16.8 — 16.11 относились к случаю, когда состояние системы можно описывать УШ без учета релятивистских поправок. В частности, во всех рассмотренных случаях выполнялось условие $г,)". — ~ур ° При учете взаимодействия спинового магнитного момента с внешним полем отличные от нуля матричные элементы М1-переходов возможны и для частицы в центральном поле. 12. Выше мы установили, что возбужденные состояния атомов при учете взаимодействия с электромагнитным полем не являются стационарными. Даже при отсутствии фотонов в начальный момент амплитуда возбужденного состояния атома со временем изменяется: Ру; 2 « ~ « ~~.-.
Поэтому начальное состояние системы «атом + поле» не обладает определенной энергией. Рассмотрим однофотонный переход Взаимодействие с электромагнитнъии падем 283 (16.58) Д ~ ' [ [2 1 — ехр [с (соо — сос) Ф+тс/2[ 2 ~-' сс (соо — сос — су/2) Поскольку спектр фотонов квазинепрерывен, суммирование по Л можно заменить интегрированием по частотам.
Итак ,. т [ ® ~1,,[21 — Р[ (,— „)~+т1/2[сИЫ 2 ) Ь (соо — щ — Фу/2) о Предполагая у малым по сравнению с со, мы можем пренебречь этой величиной в правой части. Разобьем функцию времени под интегралом на действительную и мнимую части: 1 — ехр[с(соо — со)Ф] 1 — сов[(соо — соЩ яп[(соо — со)ц[ между возбужденным состоянием атома [1) с энергией Е1 (вычисленной без учета взаимодействия с полем) и основным состоянием [0) с энергией Ео. При временах, больших по сравнению с Р,.1, атом почти наверное будет находится в основном состоянии с определенной энергией Ео.
Но поскольку в начальном состоянии система «атом + поле» не обладала определенной энергией, то и конечное состояние поля (при ~ — ~ оо) будет описываться некоторой функцией распределения по энергии, Найдем вид этой функции. Уравнения движения для амплитуд начального состояния а1о и конечных состояний аол (индекс Л здесь означает квантовые числа фотонов) имеют вид Ю вЂ”" = ~~ (10[ЦОЛ) е'("' ")'аол, (16.57) зй с'о" = ~с (ОЛ[Ц10) е '("' )'а1о.
сй Нас интересует решение этой системы с начальными условиями ага(0) = 1, аол(0) = О. Будем искать решение в виде а1о(г) = е 'с/~. (16.59) Подстановка этого решения в уравнение (1658) и интегрирование по времени с учетом начальных условий приводят к соотношению аол — — (ОЛ[Ц10) Р ['(~ ~) с / [ . (16.60) й (сос — соо + ст/2) Подстановка этого решения в уравнение (16.57) приводит к соотно- шению 284 В пределе (ао — а) 8 — ~ оо вклад в интеграл от действительной части даст только монотонная функция (ао — в), так как сов [(оо — в) Ф1 быстро осциллирует.
При этом интеграл от действительной части следует вычислять в смысле главного значения, учитывая нечетность Ва Р (а). Таким образом, у имеет отличную от нуля мнимую часть ()М о соответствующую поправке к средней частоте излучения. Обычно эта поправка незначительна. Интеграл от мнимой части Р(а) определяется окрестностью точки в = во. — г р(со) ~Ц сИ " (( )) йв~ (~ ) Щ2 ~11 Вш~(ао — а)Ф) о Таким образом, действительная часть у определяется равенством = — "1 ~,дц'г'~~ Ь, и равна полной вероятности излучения в единицу времени. Распределение фотонов в конечном состоянии по энергии можно получить нз (16.60), положив Ф -+ оо: Интегрируя по телесному углу и умножая на плотность конечных состояний (в интервале энергий), получим с учетом (16.62) ( ) 2 (16.63) 2я (щ — во) +у~/4 ' Форма линии, описываемая выражением (16.63), называется естественной или лоренцевской.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
