П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 43
Текст из файла (страница 43)
47. Отметим логарифмический рост Я (в) при со -+ О. Такое поведение Взаимодействие с электромагнитным полем 291 характерно для чисто кулоновского потенциала. Отметим, что при в -+ О матричные элементы возмущений (16.72), (16.73) становятся большими, а энергетические знаменатели в (16.74), напротив, малы. Таким Я образом, в этом случае нарушаются условия 'применимости теории возмущений. 15. Выше мы рассматривали одно- квантовые процессы, в которых начальное и конечное состояния поля 1 Отличались значениями только Одно 0 0,2 0,4 0 6 0,8 го из чисел заполнения, Сечения таких процессов определялись в первом Рис, 47 порядке теории возмущений по полю матричным элементом возмущения, линейного по оператору А. В нерелятивистском приближении возможны следующие двухквантовые процессы: двухфотонное поглощение (в начальном состоянии— два фотона, в юнечном — фотонов нет), двухфотонное излучение (в конечном состоянии — два фотона, в начальном — фотонов нет) и рассеяние (в начальном и конечном состоянии — по одному фотону с различными, вообще говоря, квантовыми числами).
Рассмотрим рассеяние фотонов свободными электронами. В этом случае в первом порядке теории возмущений отличный от нуля вклад дает только второе слагаемое в операторе возмущения в (16.32): = — А2. 2гпс~ Здесь для А должно быть взято выражение (16.28). Выбирая ВФ электрона в начальном и юнечном состояниях в виде плоских волн, как в п. 16.14, и обозначая через Ь, вч и 1с, еу импульсы и поляризации фотона в начальном и конечном состояниях, запишем матричный элемент перехода: (Д'11 Р) е ' е1е е1(р+Ь-ч $с)г Дг 2пж~,1 ЕР~/Ыс Интеграл отличен от нуля толью при условии 1+~=р+Ь и вычисляется в этом случае элементарно: Нашей конечной целью является вычисление сечения рассеяния фотона.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется золотым 19' 292 Глава 1б правилом: (16.80) ес(1с, а) = — — ~(~)1'с)с~( р(Г7), (1679) где плотность конечных состояний ~8 ег,111,У, рФ~) = 8788 ИЕ6 При заданных Ь и р величина и направление импульса фотона в юнеч- ном состоянии связаны упюм рассеяния 6 между направлениями Ь и К Примем для простоты, что в начальном состоянии электрон покоится: Ь = О.
Тоща из закона сохранения энергии следует равенство есе = есе-Š— = ес (6+ - (Зс — Ь1~), (16.81) где введена величина Х = — = 3,86 10 ~~ см, называемая номитоновской длиной волны электрона. Дифференцируя формулу (16.81) по й, найдем входяшую в выра- жение для плотности юнечных состояний величину: ,С' =(~~~) =(8 (1+8(Ь вЂ” Ес Ед-'. (16.881 Рассмотрим произведение векторов поляризации е;е . В качестве базисных направлений удобно выбрать вектор е1 в плоскости ЬК, а вектор ез — перпендикулярным этой плосюсти. Тогда отличны от нуля будут только произведения е~е = соа6, еяея —— 1.
У ' У Если начальный фотон не поляризован, то формулу (16.82) сле- дует усреднить по поляризациям. Это приводит к появлению в выра- жении для сечения множителя (е'еУ) = — ~1+ сов 8) . Итак, для усреднения по поляризациям дифференциального сечения рассеяния получаем формулу ес(6) = ( с ) ~ ~ 6(1. (16.83) Учитывая малость величины Ы в нерелятивистсюй области, можно разложить Ь по этому параметру. Сохраняя члены первого порядка по И, получаем 2 Ыа(6) ~ ( — ') (1 — 268(1 — сссЕ)1 Н(1. 293 Вэаииодействие с электромагнитным полем Интегрирование по угловым переменным элементарно. Полное сечение рассеяния имеет вид о = — го (1 — 2Ю) = от(1 — 2Ы).
3 Здесь су есть классическое томсоновское сечение рассеяния свободными электронами. Квантовая поправка уменьшает сечение с ростом энергии фотона '. ЗАДАЧИ 1. Показать, что в дипольном приближении в системе двух тождественныхзаряженных часпщ излучения нет. Аналогичное утверждение имеет место и в классической электродинамнке: Лля двух частиц с одинаковыми е и т дипольное излучение невозможно. 2.
Доказать, что переход из э-соспжния в э-состояние запрещен во всех порядках мульти плетностн. 3. Найти зависимость от Ж вероятности дипольного перехода между состояниями частицы в кулоновском поле с главными квантовыми числами и н АГ при Ю -+ оо. 4. Определить зависимость сечения рекомбинации электрона в соспжние 1э атома водорода от начального импульса электрона. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Постоянно используются сокращения: ВФ вЂ” волновая функция, СЗ вЂ” ' собственное значение, СФ вЂ” собственная функция, УШ— уравнение Шредингера, Фà — функция Грина. Операторы: Операторы обозначаются значком - над буквой.
Постоянно используются обозначения: а+, а — операторы Бозе; с+, с — операторы Ферми; Н вЂ” гамильтониан; 7, 2 — полный момент частицы, системы; 1, Х вЂ” орбитальный момент частицы, системы; р — импульс; я, 3 — спиновый момент частицы, системы; Параметры: а — характерная длина потенциала; й — волновое число; Š— энергия; Уо — характерная величина потенциала; Я вЂ” заряд ядра в атомных единицах; Константы: ао — боровский радиус = Ь~/тез = 5, 292.
10 Я см; с — скорость света = 2, 99793 ° 10ю см/с; е — зарядзлектрона = 4,803 10 то ед, СГСЭ; т, — масса электрона = 9, 109 10 ~а г; т„— массапротона = 1,673 10 Я4г; Ь вЂ” постоянная Планка = 1, 054 10 Ят эрг с; а — постоянная тонкой структуры = е~/йс, 1/а = 137,04. ПРИМЕЧАНИЯ К стр. 5. Приведенные в первой главе определения и формулировки теорем достаточны для понимания дальнейшего изложения.
Более строгое и последовательное изложение можно найти в книгах: Н. И. Ахиезер, И. М Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966, Ф, Рисс, Б. Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. — М.: ИЛ, 1954. Изложение математического аппарата, тесно связанное с задачами квантовой механики, можно найти в книге: П. А. М Дирак.
Принципы квантовой механики. — М.: Физматгиз, 1960. К сир. 7. Приведенное определение Ь-функции достаточно для целей дальнейшего изложения. Теорию см. в книге: В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. К стр. 7. В дальнейшем мы будем считать, что рассматриваемые функции дифференцируемы необходимое число раз. К сир. 30. Отметим, что равенство дУ -В" является следствием одних только коммутационных соотношений и поэтому выполняется в любом представлении. К стр. 44. Другие примеры применения метода факторизации можно найти в книге: Х Грин.
Матричная квантовая механика. — М.: Мир, 1968. К стр. 57. Теорию когерентных состояний можно найти, например, в книге: Дж. Клаудер, Э. Сударшан. Основы квантовой оптики. — М.: Мир, 1970. 296 Кстр, 83. Гипергеометрическим называется уравнение л (1 — л) —" + [с — (а + Ь + 1)~ — — аЬи = О, ~Ь~ 6Ь где а„Ь и с — любые комплексные числа. Если с не равно нулю или отрицательному целому числу, то одно из его решений, регулярное в нуле, есть гипергеометрическая функция Р (а, Ь, с, л) (иногда обозначается как з Р~), которая определяется рядом аЬ з а(а+1)Ь(Ь+1) ь~ с 11 с(с+ 1) 2! Второе независимое решение есть из (л) = л~ 'Р (а — с+ 1, Ь вЂ” с+ 1, 2 — с, л) . Свойства гипергеометрической функции подробно описаны в книге: Г.
Бейтман, А. Эрдейн. Высшие трансцендентные функции. Том 1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. — М.: Наука, 1965. Вырожденное гипергеометрическое уравнение имеет вид х — + (с — х) — — ау = О. д'в Ыф д з Их Если с не есть целое число, то общее решение этого уравнения имеет вид у = АдГ(а, с; х)+Аях~ 'Р(а — с+1, 2 — с, х). Регулярное в нуле решение есть вырожденная гипергеометрическая функция Г (а, с, х) (иногда обозначается как тР~ или Ф). Свойства этой функции подробно рассмотрены в главе б указанной книги. Кстр. 122.В.П.
Маслов. Теория возмущений и ассимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965. К стр. 130. Задача о надбарьерном отражении частиц высокой энергиирешена в работе: В. Л Покровский, И. М Халатников ll ЖЭТФ (1961). Т. 40. С. 1713. К стр. 135. Для подсчета числа узловых поверхностей угловую часть ВФ 1~~ (8, д) следует выбрать действительной, опустив множителы~ в формуле (4.28) и заменив СФ оператора проекции момента е'"~ для т = ~ ~т~ их действительными линейными комбинациями соа тд и вш т~р. Такая угловая функция ~~~ ~ обращается в нуль на (т~ плоскостях, проходящих через ось сферической системы координат, и на 1 — ~т~ конических поверхностях.
Подробнее см. Дополнение 2 в книге: Примечания 297 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. Итак, полное число узловых поверхностей для ВФ стационарного состояния есть Ф = и + (1 — [т~) + ~т~ = и — 1; в параболических координатах Ф = я1+л2+ ~т~. Сравнение двух выражений для Ф и дает формулу (8.8). К стр. 137. Подробнее рассмотрение эффекта Штарка для атома водорода можно найти в книге: Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
