Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Именно. учтем, что фазовая скорость света в среде равна с п Тогда соотношение (Д.1) примет вид (Д 3) Представляет интерес проследить, как сам 3. Шредингер пришел к своему уравнению, завершающему логическую схему квантовой механики. Исходным пунктом рассуждений Шредингера было то, что скорость распространения частицы-волны есть групповая скорость волны. Иначе юворя,!1!рсдингер считал частицу цугом волн, волновым пакетом, и перенес на такие объекты представления волновой оптики. Прежде всего, Шредингер убедился в юм„что траектории светового луча и обычной частицы могут быть единообразно описаны с помощью вариационного принципа. Для света в среде с показателем преломления и справедлив принцип Ферма: 315 Доаозненне После этого соотношения (Д.4) для света и (Д.2) для частиц оказыва- ются идентичными, если принять, что частица характеризуется фазовой скоростью н (Д.5) ,,лаго( —.
Г(г)', Здесь С вЂ” некоторая константа, не зависящая от координат. Вместе с тем реальная, фнзическа» частица должна двигаться со скоростью — 2 (е. нэ (Д.Ь) гп которая, по мысли Н!редингера, представляет собой скорость групповую. Такая же ситуация имеет место и в случае света: реальный световой сигнал в среде распространяется именно с групповой скоростью. Это соображение, взятое из оптики, позволяет связать фазовую и групповую скорости частицы. Как известно, фазовая и и зрупповая ц скорости света определяются формулами и =. —, л' (Д.8) ль Поскольку согласно (Д.7) Л =-,о /и, соотношение (Д.
8) можно переписать в следующем виде: (Д.9) Е == лы. (Ддо) Это позволило переписать формулу (Д.9) следующим образом: (Д.11) ЙЕ (и и в таком виде применить се к частицам. Подставляя скзда выражения (Д.5) и (Д.б), получим =- — — ( — ' „Нп~(Š— (з))~, Записывая левук1 часть этого равенства в виде . — '( '2не нэ). приходим к заключению, что (-'.:— с (Д.!2) Далее Шредингер учел гипотезу Планка, согласно которой энергия кванта связана с его частотой соотношением 316 Дололлевие где константа (сопзг) не зависит от энергии.
Поскольку равенство (Д.12) должно выполняться для всех значений энергии Е, следует положить сопя( .††0 и С =- Е. Таким образом, мы получили окончательное выра- жение для фазовой скорости частицы: и =- (Д.13) которое, в полном соответствии с (Д.7), может быть представлено в виде — ~ — '2 тз-тз и' Заметим также, что сопоставление этой формулы с формулами (Д.7), (Д.10) дает связь между волновым числом й и игапульсом частицы: р= йй. (Д.15) Соответственно для длины волны частицы получается выражение Л =- 7':=- (Д. 16) и и,,/Вт(Š—.
И) п~» где введено обычное обозначенио й =- 2я )ь Здесь использованы формулы (Д.13), (Д.14). Теперь можно построить волновое уравнение для частиц. За основу дальнейших рассуждений Шредингер взял волновое уравнение — --,Ьы = О, 1 деы вз багз (Д. 17) .Еьт ф = по(г) ехр( и:1) = ио(г) схр ( 1 — 7'), л (Д.18) перепишем (Д.16) в виде Е2 Ьь" + ' ф —.— О азиз ' или, после подстановки сюда выражения (Д.13), в виде тз (а + —" (Š— П) ф — —.
О. гр (Д.19) Это известное уравнение Шредингера, определяющее волновую функцию для стационарных состояний. Чтобы отсюда перейти к уравнению В него входит фазовая скорость и, выражение для которой дано в (Д.!3). Рассматривая состояния с заданным значением энергии Е или, что эквива- лентно, частоты, =-. Е/)к 317 Дополлеяие дл .и — = — 1 — я', й1 Я ди или Еьу =- 1й —.
дз (Д.20) Исключая с помощью этого равенства энергию из уравнения (Д.19), получим 1й —" = — — Л6+ ВЮ. . лк ьз (Д.21) д$ 2т Это и есть окончательная форма уравнения Шредингера для частицы в потенциальном поле У(г). Следует отметить, что сам Шредингер до конца жизни был уверен, что частиц нет, а имеются только волны: частицы — это волновые пакеты. Соответственно он полагал, что разработал волновую механику, динамику волн в потенциальных полях, Вероятностную же интерпретацию теории, предложенную М. Верном, 1Предингер нс хотел признавать, отметив тем не менее в письме к М. Планку: "Гели действительно нужно, постараюсь привыкнуть и к таким вещам*'.
для произвольных, в том числе и нестационарных, состояний, достаточно заметить, что согласно (Д.!8) СЕМИНАР Яенгеп 1) семя,й) зародыш, начало, 3) основная причина, первоисточник. леггиггаг)ит — рассадник, пптомшик. 1из латинско-русского словаря) Сенинир (ог лат. гетьдаггит) ~рупповос занятие по какой-либо научной, учебной и др. проблеме с целью более глубокого ее изучения. (из энциклопедического словаря) Задача 1. Используя преобразования Лоренца, показать, что масса фотона равна нулю.
Р с пг с н н е. Требование Лоренц-инвариантности физической теории означает, что энергия и импульс системы преобразуются при переходе от одной инерпиальной системы отсчета к другой по формулам преобразований ЛоРснцадлл4-вектоРаимпУльсаР =- ГЕ,гг, Ре Рд, Ре): ц РУ, рг П !сз)В !эг = Здесь величины без штриха относятся к лабораторной системе отсчета К, а величины со штрихом -- к системе К', двияущейся со скоростью И относительно К. Вектор скорости Ъ' системы К' относительно системы К предполагается направленным вдоль оси л. С другой стороны, как известно из классической электродинамики, частота и волновой вектор электромагнитной волны также образуют вместе 4-вектор й =- (ш1'с, й,, )ся, йя). Этот факт следует из того, что фаза волны (определяющая, в частности, число ее узлов) есть инвариант относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой; ьэ =- ш1 — Кг =- =- шк .
В результате оказывается, что формулы пересчета имеют вид и 1ч Узгножизи здесь почленно первое равенство на постоянную Планка: гка — )гйУ т — гч Г 319 бвмилил Для получения искомой связи между энергией и импульсом фотона вспомним, что гипотеза Планка состояла в том, что энергия фотона связана с его частотой соотношением Е.=- Ь 14) причем такое равенство дошкно выполняться в произвольной системе отсчета (с учетом только возможного изменения частоты за счет эффекта Доплера). Вто значит, что мы должны положить Е' =- йш' (5) и вместо (3) получим Сравнивая полученное равенство с первым равенством в (1), немедленно заюпочаем, что р = Ы . Ввиду произвольности величины и направления скорости Ъ' связь импульса и волнового вектора можно записать в векторном виде: Таким образом, к связи импульса фотона и его волнового вектора приводит требование релятивистской инвариантности законов физики.
Поскольку для света частота и волновой вектор волны связаны соотношением гд = сл, умноягая это равенство почленно на 6, заключаем, что аналогичная связь сущесгвуег между энергией и импудьсом фотона; Е = рс. (8) Но последнее равенство, согласно формуле Š— т/(ре)з 4 (тося)з.
(9) означает, что масса фотона равна нулю, озо = О. Следует также отметить, что соотношение (8) можно у сг апов и гь и непосредственно из формул для энергии и импульса электромагнитной волны. В самом деле, объемная плотность энергии электромагнитного пол» дается выражением (10) а объемная плотность импульса — выражением (11) Здесь Я вЂ” вектор Пойнтинга. В плоской электроэпн нитной волне в вакууме колебания векторов напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) З2О Сеигплор полей синфазны, их амплитуды равны, а сами ве1сторы Е и Н взаимно перпендикулярны; Ед.Н. Поэтому можно записать (г =. — Е .
! з от д —.. — Е. яяс 112) откуда и следует искомая связь; ш =- ((с, 3 а д а ч а 2. Получить формулу, определяющую изменение длины волны фотона при рассеянии на покоящемся электроне (эффект Комптона). Р е ш е н и е. Пусть электрон — свободный, его энергия связи в атоме мала по сравнению с энергией фотона. Предположим, что электрон сначала покоился,но = (). Обозначая энергию покоя электрона как Ео == тггог-, а энергию и импульс электрона после столкновения — соответственно как Е' и р', запишем законы сохранения энергии: Ьи: -).
Ео == )ко' + Е' )1) и импульса: 11К = Р + Ыс . (2) Рнс. 1. К выводу формулы эффекта Комптона. Электрон сначала покоился, ио =- рь Ыс — импульс налетаогцего фотона, 61с' импульс рассеянного фотона, р — импульс рассеянного электрона Здесь величины без штрихов описывают электрон и фотон до столкновения, а величины со штрихами — после столкновения. Диаграмма закона сохранения импульса показана на рис. 1. Энергия движущегося электрона связана с его скоростью соотношением глас (3) ~'1 — Мс,'2 Для дальнейших расчетов удобно ввести обозначение гло Ш тГ 1 — (о('с)Я (4) )1(1с — 1с') = гп4,н)н, или гп па =- 11~(1з + )о'Я вЂ” 2)г)г сон ()).
(5) так что выражения для импульса и энергии электрона после столкновения с фотоном примут более компактный вид: р' =- п1н и Е' =. тсз. Из закона сохранения импульса следует 321 Сеяилар Поскольку 6 = 07/гл из закона сохранения энергии вытекает 776+ гпос = 17,6' + 'ггпл или '7777-' = 77707-'+ гг(6 —" ). Возводя это равенство в квадрат, получим (6) 7772сс = 777 с + Ь (6.— 6') -~- 27щ7сь(6 — 1'') = == т~~~гз + 673(А~ + )г'~ — 266') + 2тос67(Ь вЂ” 12) . (7) Вычитая почленно (5) из (7), находим п72(сз — 7.2) = 777рд+ 27770сЬ(6 — )а) — 217~662(1 — сов0). (8) Согласно (4) пгз(сз — оз) = тосз. Поэтому из (8) следует 27посй(6 — /л) — 262)76'(1 — сов О) .
или 6 6 = Ьь"'(1 сов О), тос Умножая обе стороны этого равенства на 2- и деля на 667, получим з~г 27г 277 а — — (1 - говд). Ы Ь шос Имея в виду, что длина волны Л связана с волновым числом 6 соотношением Л =. 2я/х, прихоглзм окончательно к соотношению Л Л вЂ” Ло(1 сов гг). (1О) При этом мы получили явное выражение для константы Ло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
