Главная » Просмотр файлов » Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики

Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 65

Файл №1129353 Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики) 65 страницаН.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353) страница 652019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

Именно. учтем, что фазовая скорость света в среде равна с п Тогда соотношение (Д.1) примет вид (Д 3) Представляет интерес проследить, как сам 3. Шредингер пришел к своему уравнению, завершающему логическую схему квантовой механики. Исходным пунктом рассуждений Шредингера было то, что скорость распространения частицы-волны есть групповая скорость волны. Иначе юворя,!1!рсдингер считал частицу цугом волн, волновым пакетом, и перенес на такие объекты представления волновой оптики. Прежде всего, Шредингер убедился в юм„что траектории светового луча и обычной частицы могут быть единообразно описаны с помощью вариационного принципа. Для света в среде с показателем преломления и справедлив принцип Ферма: 315 Доаозненне После этого соотношения (Д.4) для света и (Д.2) для частиц оказыва- ются идентичными, если принять, что частица характеризуется фазовой скоростью н (Д.5) ,,лаго( —.

Г(г)', Здесь С вЂ” некоторая константа, не зависящая от координат. Вместе с тем реальная, фнзическа» частица должна двигаться со скоростью — 2 (е. нэ (Д.Ь) гп которая, по мысли Н!редингера, представляет собой скорость групповую. Такая же ситуация имеет место и в случае света: реальный световой сигнал в среде распространяется именно с групповой скоростью. Это соображение, взятое из оптики, позволяет связать фазовую и групповую скорости частицы. Как известно, фазовая и и зрупповая ц скорости света определяются формулами и =. —, л' (Д.8) ль Поскольку согласно (Д.7) Л =-,о /и, соотношение (Д.

8) можно переписать в следующем виде: (Д.9) Е == лы. (Ддо) Это позволило переписать формулу (Д.9) следующим образом: (Д.11) ЙЕ (и и в таком виде применить се к частицам. Подставляя скзда выражения (Д.5) и (Д.б), получим =- — — ( — ' „Нп~(Š— (з))~, Записывая левук1 часть этого равенства в виде . — '( '2не нэ). приходим к заключению, что (-'.:— с (Д.!2) Далее Шредингер учел гипотезу Планка, согласно которой энергия кванта связана с его частотой соотношением 316 Дололлевие где константа (сопзг) не зависит от энергии.

Поскольку равенство (Д.12) должно выполняться для всех значений энергии Е, следует положить сопя( .††0 и С =- Е. Таким образом, мы получили окончательное выра- жение для фазовой скорости частицы: и =- (Д.13) которое, в полном соответствии с (Д.7), может быть представлено в виде — ~ — '2 тз-тз и' Заметим также, что сопоставление этой формулы с формулами (Д.7), (Д.10) дает связь между волновым числом й и игапульсом частицы: р= йй. (Д.15) Соответственно для длины волны частицы получается выражение Л =- 7':=- (Д. 16) и и,,/Вт(Š—.

И) п~» где введено обычное обозначенио й =- 2я )ь Здесь использованы формулы (Д.13), (Д.14). Теперь можно построить волновое уравнение для частиц. За основу дальнейших рассуждений Шредингер взял волновое уравнение — --,Ьы = О, 1 деы вз багз (Д. 17) .Еьт ф = по(г) ехр( и:1) = ио(г) схр ( 1 — 7'), л (Д.18) перепишем (Д.16) в виде Е2 Ьь" + ' ф —.— О азиз ' или, после подстановки сюда выражения (Д.13), в виде тз (а + —" (Š— П) ф — —.

О. гр (Д.19) Это известное уравнение Шредингера, определяющее волновую функцию для стационарных состояний. Чтобы отсюда перейти к уравнению В него входит фазовая скорость и, выражение для которой дано в (Д.!3). Рассматривая состояния с заданным значением энергии Е или, что эквива- лентно, частоты, =-. Е/)к 317 Дополлеяие дл .и — = — 1 — я', й1 Я ди или Еьу =- 1й —.

дз (Д.20) Исключая с помощью этого равенства энергию из уравнения (Д.19), получим 1й —" = — — Л6+ ВЮ. . лк ьз (Д.21) д$ 2т Это и есть окончательная форма уравнения Шредингера для частицы в потенциальном поле У(г). Следует отметить, что сам Шредингер до конца жизни был уверен, что частиц нет, а имеются только волны: частицы — это волновые пакеты. Соответственно он полагал, что разработал волновую механику, динамику волн в потенциальных полях, Вероятностную же интерпретацию теории, предложенную М. Верном, 1Предингер нс хотел признавать, отметив тем не менее в письме к М. Планку: "Гели действительно нужно, постараюсь привыкнуть и к таким вещам*'.

для произвольных, в том числе и нестационарных, состояний, достаточно заметить, что согласно (Д.!8) СЕМИНАР Яенгеп 1) семя,й) зародыш, начало, 3) основная причина, первоисточник. леггиггаг)ит — рассадник, пптомшик. 1из латинско-русского словаря) Сенинир (ог лат. гетьдаггит) ~рупповос занятие по какой-либо научной, учебной и др. проблеме с целью более глубокого ее изучения. (из энциклопедического словаря) Задача 1. Используя преобразования Лоренца, показать, что масса фотона равна нулю.

Р с пг с н н е. Требование Лоренц-инвариантности физической теории означает, что энергия и импульс системы преобразуются при переходе от одной инерпиальной системы отсчета к другой по формулам преобразований ЛоРснцадлл4-вектоРаимпУльсаР =- ГЕ,гг, Ре Рд, Ре): ц РУ, рг П !сз)В !эг = Здесь величины без штриха относятся к лабораторной системе отсчета К, а величины со штрихом -- к системе К', двияущейся со скоростью И относительно К. Вектор скорости Ъ' системы К' относительно системы К предполагается направленным вдоль оси л. С другой стороны, как известно из классической электродинамики, частота и волновой вектор электромагнитной волны также образуют вместе 4-вектор й =- (ш1'с, й,, )ся, йя). Этот факт следует из того, что фаза волны (определяющая, в частности, число ее узлов) есть инвариант относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой; ьэ =- ш1 — Кг =- =- шк .

В результате оказывается, что формулы пересчета имеют вид и 1ч Узгножизи здесь почленно первое равенство на постоянную Планка: гка — )гйУ т — гч Г 319 бвмилил Для получения искомой связи между энергией и импульсом фотона вспомним, что гипотеза Планка состояла в том, что энергия фотона связана с его частотой соотношением Е.=- Ь 14) причем такое равенство дошкно выполняться в произвольной системе отсчета (с учетом только возможного изменения частоты за счет эффекта Доплера). Вто значит, что мы должны положить Е' =- йш' (5) и вместо (3) получим Сравнивая полученное равенство с первым равенством в (1), немедленно заюпочаем, что р = Ы . Ввиду произвольности величины и направления скорости Ъ' связь импульса и волнового вектора можно записать в векторном виде: Таким образом, к связи импульса фотона и его волнового вектора приводит требование релятивистской инвариантности законов физики.

Поскольку для света частота и волновой вектор волны связаны соотношением гд = сл, умноягая это равенство почленно на 6, заключаем, что аналогичная связь сущесгвуег между энергией и импудьсом фотона; Е = рс. (8) Но последнее равенство, согласно формуле Š— т/(ре)з 4 (тося)з.

(9) означает, что масса фотона равна нулю, озо = О. Следует также отметить, что соотношение (8) можно у сг апов и гь и непосредственно из формул для энергии и импульса электромагнитной волны. В самом деле, объемная плотность энергии электромагнитного пол» дается выражением (10) а объемная плотность импульса — выражением (11) Здесь Я вЂ” вектор Пойнтинга. В плоской электроэпн нитной волне в вакууме колебания векторов напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) З2О Сеигплор полей синфазны, их амплитуды равны, а сами ве1сторы Е и Н взаимно перпендикулярны; Ед.Н. Поэтому можно записать (г =. — Е .

! з от д —.. — Е. яяс 112) откуда и следует искомая связь; ш =- ((с, 3 а д а ч а 2. Получить формулу, определяющую изменение длины волны фотона при рассеянии на покоящемся электроне (эффект Комптона). Р е ш е н и е. Пусть электрон — свободный, его энергия связи в атоме мала по сравнению с энергией фотона. Предположим, что электрон сначала покоился,но = (). Обозначая энергию покоя электрона как Ео == тггог-, а энергию и импульс электрона после столкновения — соответственно как Е' и р', запишем законы сохранения энергии: Ьи: -).

Ео == )ко' + Е' )1) и импульса: 11К = Р + Ыс . (2) Рнс. 1. К выводу формулы эффекта Комптона. Электрон сначала покоился, ио =- рь Ыс — импульс налетаогцего фотона, 61с' импульс рассеянного фотона, р — импульс рассеянного электрона Здесь величины без штрихов описывают электрон и фотон до столкновения, а величины со штрихами — после столкновения. Диаграмма закона сохранения импульса показана на рис. 1. Энергия движущегося электрона связана с его скоростью соотношением глас (3) ~'1 — Мс,'2 Для дальнейших расчетов удобно ввести обозначение гло Ш тГ 1 — (о('с)Я (4) )1(1с — 1с') = гп4,н)н, или гп па =- 11~(1з + )о'Я вЂ” 2)г)г сон ()).

(5) так что выражения для импульса и энергии электрона после столкновения с фотоном примут более компактный вид: р' =- п1н и Е' =. тсз. Из закона сохранения импульса следует 321 Сеяилар Поскольку 6 = 07/гл из закона сохранения энергии вытекает 776+ гпос = 17,6' + 'ггпл или '7777-' = 77707-'+ гг(6 —" ). Возводя это равенство в квадрат, получим (6) 7772сс = 777 с + Ь (6.— 6') -~- 27щ7сь(6 — 1'') = == т~~~гз + 673(А~ + )г'~ — 266') + 2тос67(Ь вЂ” 12) . (7) Вычитая почленно (5) из (7), находим п72(сз — 7.2) = 777рд+ 27770сЬ(6 — )а) — 217~662(1 — сов0). (8) Согласно (4) пгз(сз — оз) = тосз. Поэтому из (8) следует 27посй(6 — /л) — 262)76'(1 — сов О) .

или 6 6 = Ьь"'(1 сов О), тос Умножая обе стороны этого равенства на 2- и деля на 667, получим з~г 27г 277 а — — (1 - говд). Ы Ь шос Имея в виду, что длина волны Л связана с волновым числом 6 соотношением Л =. 2я/х, прихоглзм окончательно к соотношению Л Л вЂ” Ло(1 сов гг). (1О) При этом мы получили явное выражение для константы Ло.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,81 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее