Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Р е ш е н и с. Ддя полноты изложения предварительно дадим нскоторыс определения фотометрии. Потоком энергии Ф называется количество энергии излучении, переносимое в единицу времени, ,'Ф) = Вт. Выделим излучение с частотами в малой окрестности частоты их Тогда можно ввести спвктривьную птотность потока излучения Ф, соотношением г1Ф = Ф г1ил 1!отак энергии ДФ с площади поверхности тела г(о в телесный угол ~1й равен дФ вЂ” — - Вг)й г1Вг =- Вой г(Всея О.
(2) Величина В называется испугкатвльной (иьтучатвгьной) способностью тела в заданном направлении или энергетической яркостью. С ней связана гввтмгюспаь Рп В = — ВсояН Дй. (3) Спвюправьнан испускптсльнал способность В, на частоте го определяется соотношением ~1В = В л1ьи (4) Лналогично соотношением ~1В =- В„г1го (5) вводи'гся спектральная сввти.чотпь В,. Источник (светящееся тело) называется лачбвртовским (следует законуЛачбврта), если его испускательная способность не зависит от направления. Иными словами, две площадки с одинаковой видичой площалью 328 Сенинар дат(рис. 1) излучают в один и тот же телесный угол одинаковый поток энергии.
Пусть по закону Ламберта излучает плоская поверхность (О < 0 < < к/2). В этом случае испускательная способность В и светимость Л связаны простым соотношением: ы)5 —,,'3 В =- ВсовО дй.= вз=о к/з ВсовО 2п вщ Об() =. к В. м=о (6) абя Рнс. 1. Полная И,'~ н видимая Н~'~ нло щади светящейся поверхности Ф(паг и Ф(пхя) л (7) Перейдем теперь к решению поставленной задачи. Рассмогрим состояние равновесия поглощающего тела и излучения. Пусть р,, — спектральная плотность энергии равновесного излучения(в единичном обьсмс). Выделим диапазон спектра ьз —.' щ + й ~.
Вследствие изотропии доля излучения летящая в телесный вп 0 угол дй, есть —, а соответствующая с аз 4я плотность энергии в интервале частот дщ дй равна рто†. За время бг до поверх4я ности долетит излучение, удаленное от с)5 нее на расстояние с г бг = гсов(В ау Рнс. 2. К выводу закона Кнрхгофа (Рис 2). Энергия излучения, находящегося в цилиндре высотой о ь де и плошадью основания г(Ь, равна г(П = г(Вот йер в)ы — = Р''с1щсовО~(йг(В й. (8) яя 4я Пусть на тело падает поток энергии Ф("'т) . При этом тело поглощает ПОТОК ЭНЕРГИИ Ф('"""', ВЕЛИЧИНа А = Фбннн'") ~Ф(ннКЗ НаЗЫВастСя ПОСЛОШатекьпой способностью тела.
Рассматривая излучение на частоте щ, можно (яннм ! (пкя1 ввести спсктратьную поаяин(отельную способносзпь.4„, =. Ф„, ' ' Ф„, При этом 329 Сепилио Поэтому поток энергии, падающий на тело, равен г)ф) ' ) . б = 'иди со )~Мйл. ш яд 19) Этот поток поглощается телом: дф(пм д) „1 )ф(пад) 110) Поглощенная энергия преобразуется в излучаемую энергию: (1ФЩ"" = В .г1 ~ сов 19 г1Я~1Й. (11) В состоянии равновесия поглощенный и излученный потоки совпадают: г)ФЩ"" = ИФ1ддд). Отсюда следует, что А, Р' г)ш соь О дЯ гИ ==. В.,й . с оь О дВ ~)П, (12) нли В, гр„, Л,, ля Полученное равенство выражает закии Кирхгофрл отношение испускательной способности тела к его попющательной способности одинаково для всех тел и является универсальной функцией частоты и абсолютной температуры.
Данный закон бьш установлен в 1859 г. Тело, для которого А„, = 1, называется абсолютно перлы.и; оно полностью поглощает падающее на него излучение, 'перерабатывая" сто в равновесное излучение с температурой, равной температуре тела. Поэтому В. отношение — ' = Е, совпадает с испускательной спосооностью абсолютно л. черного тела, а для последней формула (13) дает явное выражение через плотность энергии равновесного излучения: гр (14) Заметим, что излучение аосолютно черного тела следует закону Ламберта. Решение.
Найдем число различных осцилляторов с частотами ы —: ш 1 ды. Рассмотрим излучение, помещенное в большой прямоугольный ягцик объемом 1' со сторонами В,, Ею В„-. Поле излучения в этом ящике представляет собой суперпознцию плоских волн, характеризуемых частотой ю и волновым вектором )г. Считая, что поде находится в вакууме, имеем 3 ад а ч а 8. Пай~и спелтральную плотность мод(число состояний) электромагнитного излучения в полости, размеры которой много больше длины волны. 33О Саииаар связь между щ и )г: щ = сЕ В ящике с зеркальными стенками проекции волнового векюра могут принимать следующие значения; )й, —;)г.„.
+ 2Лйя )г„—:),:я+ 'М„. й, —:й, Ч 2Лйь (2) равно — ЛХ ЛХ ЛХ вЂ” ' в '.'1 (2я)з (3) Теперь необходимо учесть две возможныс поляризации фотонов, что удваивает полученное число ЬХ. Имея в виду, что Ь, То 1., = И вЂ” объем ящика, получим окончательно максимально возможное число фотонов в ящике а элементе объема 3-мерного к-пространства; г(Х .=- 2И жзь (2х)з (4) 11оскольку мы имеем дело с равновесным излучением, которое изотропно, записывая д~Й = Й-йЫЙ и выполняя интегрирование по всем направлениям в телесном угле П = 4к, получим вместо (4) ,Азль (5) Наконец, переходя от волновых чисел к частотам по формуле щ = с1г, приходим к искомому соотношению для полного числа мод в диапазоне частот щ —: щ + Ж,з НХ=- И (6) язсз Величина (7) дает спектральную плотность числа мод электромагнитного поля в единичном объеме полости.
Формулу (6) иногда удобно использовать в ином виде, перейдя от часттц к длинам волн по формуле ы = йпс/Л и произведя замену й ~(щ — НЛ/Л. Тогда вместо (6) будем иметь НХ = ЫЛ = à — ' —. ,ак 4Л Лз Л (8) где 'Ъ".. Хю Х-. = О. 3г1, 4-2.... Отсюда находим, что число 2ЛХя Ь, различных значений й, в интервале гЛх.
равно 2ЛХ = — 'Л)г . Аналогич2к ИО ЛХя =- "Ы'я, ЛтХь = ' 2Лйь. ПОЛНОЕ ЧИСЛО раЗЛИЧНЫХ ЗиаЧСНИй 2я ' 2я волновых векторов в диапазоне 331 Гевсшссср В таком виде это соотношение дает число мод, попадающих в диапазон длин волн Л вЂ”: Л + с)Л. 3 а д а ч а 9. Вывести формулу Планка. Р е ш с н и е. Энергия электромагнитного поля равна РК = ~Л". Представим поле в виде суперпозиции плоских волн: Е =-.
Ео( ~. 1с) сх(з(1(кг — с1)1. Н =- Но(ш, 1с) охра)сг — 1)1. (2) Тогда, вследствие нскогерснтности отдельных волн, полная энергия может быть представлена в виде суммы энергий отдельных волн: Е= ~~ Е,. (3) 1во всем вовввм1 Е„=- (и+ — ) )ьд. (4) Это значит, что электромагнитное поле может быть представлено в виде некоторой совокупности квантов колебаний. Заметим, что согласно гипотезе Планка свет излучается и поглощается порциями. Это значит, что во всех процессах взаимодействия с веществом поле выступает только в виде квантов — фотонов с энергией бш и импульсом А)с. Таким образом, поле представляет собой совокупность фотонов, фотонный газ. Кроме энергии и импульса, фотон обладает некоторой поляризацией (или спиратьностью). В силу цоперечности электромагнитных волн для каждого волнового вектора существуют две независимые поляризации (спиральности), которые будем нумеровать индексом 1 =- !. 2. Энергия фотонного газа равна сумме энергий образующих его фотонов: Е =- ~~в йоэм, (пм, + — ), пи, =.
О. 1. 2. 1Л (б) где к волновой вектор. После этих замечаний выведем сначала распределение Планка, определяющее среднее число заполнения и для фотонов с частотой ох Как уже говорилось, электромагнитное поле можно рассматривать как совокупность осцилляторов с разными частотами. 1'ассмотрим гармонический осциллятор с собственной частотой,. Его энергия может принимать значения, даваемые формулой (4). В соответствии с распределением С каждой гшоской волной сопоставляется гармонический осциллятор, энер- гия которого, согласно квантовой механике, квантуется: ззг Сачиаар Больцмана число частиц с энергией Ее в состоянии равновесия дается вы- ражением "х)г = Асхр Ьггт? ' (б) где Л --.- нормировочная постоянная, йп .
постоянная Больцыана. Тогда средняя энергия осциллятора оказывается равной ( пны 2', сгтсе ехр ~..) ~й, где введено обозначение 1 й,, ехр (ЬсссгвггТ) — ! Последнее споспешение называется рсгсггредюгегггге и ??лодки. Оно дает среднее число фотонов, приходящихся на один осциллятор с частотой г, н согласно (7), определяет среднюю энергию осциллятора. Если умножи!ь число осц!ишягоров на среднюю энергию одного осциллятора (Е) с частотой г(1с), то мы найдем энергию излучения; г?Е =. рш()с)ггкс(Уг (9) где величина сгу дается формулой йгхг =- 2\с" (2 с)з с?(? = 2~' (10) 12 г) ! ехр (Ьс:?lсвТ) — ! В выРажснии длЯ энеРгии Е, мы отбРосили слагаемое )!е~гг2, так как его вклад а полную энергию системы не зависит от температуры и устраняется путем сдвига нулевого уровня (начала отсчета) энергии. Если теперь учесть изотропию излучения, то следует выполнить интегрирование по всевозможным направлениям волнового вектора, что дает с)(? — )с" (11) хзса ахр (г ?ЬсТ! — 1 ! с?г.г = — — нахо!с с1ы Отсюда для спектральной плотности энергии излучения р, дим выражение 1 г,,з Рс = кгез ехр (Г~?гсггТ) — ! (12) полученной в предыдущей задаче (см.
формулу (4)). Соответственно вместо (9) получим Сеиилио Задача 10. Найти величину плотности потока теплового излучения, создаваемого слоем вещества толщиной Ь, нагретого до температуры Т и имеющего коэффициент поглощения а. Р е ш е н ив. В соответствии с законом Стефана -Больцмана массивное тело при температуре Т создает равновесное тепловое излучение с интен- сивностью 1, =оТ. (~) Рассмотрим распространение излучения вдоль оси ж Пусть излучение с интенсивностью 1 попадает на слой вещества толщиной ~1в. На этом пути будет поглощена часть излучения, равная (г!1)~ = — а1 ав. (2) Это значид что слой имеет попющазельную способность А — О дя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
