Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 70
Текст из файла (страница 70)
к задаче 16. 3-мерная волновая функция ад как решение уравнепрямоугопьная потенциальная ния Шредингера (1) также конечна. Соответственно при г — О окажется и =- а-Ра — О. С учетом (ба) для решения в области О < т < Л в (5) оказывается В =- =- О, так что в этой области и — -- А аш Ь . Производя сшивку этого решения с решением в области а > Л с помощью условий 166) и (6 в), получим А з)аа й1а = Се кАсозйЛ =-. а)Саа ч". (7) Отсюда следует тд йЛ =. — -" < О. ч Перепишем это уравнение, воспользовавшись тождеством з1пкЛ=-+, =- 1. акад ,а1 Ьа.ават Яа Ьаа' Здесь штрих означает дифференцирование по переменной г.
Подчеркнем, что здесь отсчет энергии ведется от верхнеа о края ямы, так что связанному состоянию 1 ансргетичс скому уровню) соответствуют значения энергии Е < < О. Введем обозначения 349 Сеиилир где учтены определения величин й и Гп Введем обозначения =..— — ВЛ., ", — -- ~/ 'т 2~пФСо (! 0) Тогда задача сводится к нахождению корней уравнения Бш я (11) 10 а < О. 2 О ~ ~оылк = С!2) Рнс. 2. Графическое решение уравнения 1! 1).
Донустнмымн являются интервалы, лля которых ! а - < 0 С учетом определения величины ", в (10) отсюда находим условие появления энергетического уровня в трехмерной яме: ля !р 1У ) !Уолл = ь йа 1! 3) При значении 1у = У пл уровень приходится на значение энергии Е = О. Таким образом, в трехмерной яме уровень может возникнуть, только если глубина ямы достаточно велика. Далее удобно исследовать решение графически (рис.
2). Как видно из рис. 2, а, решение, удовлетворяющее требованию 10 л < 0 (рис. 2, б), появляется, только если наклон прямой ", - достаточно мал: Сеииаар Йгз = еьд где гамильтониан дается вьсражением Й=' зт г (2) Для перехода к случаю атома с одним электронол1 и зарядом ядра г с достаточно во всех дальнейших формулах заменить с- — гб сз. Согласно сказанному в гл.
7 оператор кинетической энергии ыоягно представить в виде рз 02 — = — + 2т '21л 2тгз (3) где л" =- — )12Л„, 2т 12 12 10 ~ 1 д (, д') 1 дз~ — — — — — (гйп0 — ) -1 э~газ 2птз силгл ~ ь1адда 1 даl Мв 0 диз~ Будем искать решение уравнения (1) в виде 11(г. О. 'у) = Л(г)У(0. эз). (б) где О, э2 — угловые переменные сферической системы координат. Рассмат- ривая состояния с определенным значением углового момента и имея в виду, что оператор Ь действует только на угловые переменные, мы должны положить Езр =-1(1+ 1)аь (6) или 1,2у(0,0) = 1(1+ 1)у(0,Ф).
(7) Явный вид функций У(0. ф для нас сейчас не представляет интереса. Важно то, что эти функции явно зависят от магнитного квантового числа ш, определяющего проекцию углового момента на выделенную ось. Однако от 3 а д а ч а 17. Получить точное решение задачи об энергетических уровнях атома водорода, учитывающее орбитальный момент электрона. Р е ш е н и е. В гл. 6 задача об энергетических уровнях водородоподобного атома была решена для случая сферически-симметричных состояний. В гл. 7 энергетические уровни были найдены с учетом орбитального момента электрона. Однако в последнем случае мы использовали подход, основанньш на квазикласснчсском приближении.
Ниже дастся решение поставленной задачи на основе уравнения П!редингера, В главных чертах метод аналопзчен тому, что был использован в гл. 6. Запишем уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода; 351 Сенилио этого числа не зависят собственные значения оператора 1 з, и следовательно, собственные значения гамильтониана, т. е, спектр возможных значений энергии электрона. Как говорят, имеет место вырождение энергетического спектра по магнитному квантовому числу: при заданном значении 1 значения энергии одинаковы при всех допустимых значениях пэ.
С учетом сказанного уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции Л(г) принимает вид — — Х,,Л(г) + э (1+ )Л(г) -, '[у(г) = ЕЛ(1). 2т 2лиэ ЛзЛ 2 ИЛ Имея в виду, что радиальная часть лапласиана равна Ь,.Л вЂ” + — —, л~л мы приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению; — '~!Е ' — ( Л вЂ” О Е+ дгз г дг Ьз г 2тгэ (9) (10) и Л~ тез 2/Р Кроме того, имея в виду, что энергия электрона в атоме отрицательна, введем обозначение (11) В обозначениях (10), (11) уравнение (9) принимает вид лап 24Л ( э 2 1(1 — , 'Н) + — — ''+ — О + — — ' Л=О. ирз р лр ' р рэ (12) Наконец, введем функцию (р) = ЛЛ(а).
(!3) В результате мы приходим к следующему уравнению: ла 2, з 1Дзг) — + — О + — — а=О. э л л (14) Прежде всего, нетрудно установить асимптотику решения этого уравнения при р ..т оо. Для этого достаточно отбросить второе и третье слагаемые в квадратных скобках и решить получившееся простое дифференциальное Дш удобства дальнейших вычислений преобра О~ем это уравнение.
Будем измерять длины в единицах боровского радиуса а, а энергии в единицах энергии 1-й боровской орбиты. Иными словами, введем безразмерные переменные Сессиссар уравнение второго порядка: исс — с)аи = О: сс~ е 115) сс(р) == е ч"и(р). (16) Подставляя 116) в (14)„полунина уравнение для са(р): сс'и, Ли ~а 1<1 Ч П лрэ Лр ' '1р ра 117) Будем искать решение этого уравнения в виде ряда ш1р) -.р.~ аьр'. ь=с Подстановка этого ряда в уравнение (! 7) дает р ~~с ась+ а)(Л -5-а — 1)рь Я вЂ” 2с1~ асса()с э,- сг)рь + ),я=о Й=О х + ~ ~аь '12рь ~ — 1(1+ 1)р~ э1 =. О, (19) ь —...а При )с = О в фигурных скобках имеется слагаемое, пропорциональное 1/р~. Коэффициент при нем должен быть равен нулю: ас ~а(а — 1) — 1(1+ 1)', =- О.
(20) Решение этого уравнения позволяет найти величину сг: а. =1+1. (21) Второе репсение а = — 1 дает неограниченное при р — 0 решение ш р ', 77 р с ' ' и должно быть отброшено. Для нахоясдения коэффициентов ая перегруппируем остальные члены ряда.' :х р ~~ ~ссь(А -'а+ 1)(1-го) — 20ссь1)с+а) ' 2аь — Ц1+ 1)аь, с) рь =- О.
с — О 122) Второе решение уравнения отброшено, поскольку оно экспоненциально растет при р — с "о. Далее введем функцию сс(р) соотношением 353 Сенилир Посколыгу левая часть этого равенства должна обращаться в нуль тожде- ственно, т. е. при всех р, нужно приравнять нулю коэффициенты при всех степенях р: ау, !(А+ !т+ 1)(8+и) — 2йа!(к+о) + 2оь — 1(! + 1)с!ь; ! —.
О. Это приводит к рекуррентному соотношению, связывающему коэффици- енты аь 2(ч(! -!- к) — !,' (23) (! ь . . !)(! т .) !(! . э; "" Если ряд (18) нигде нс обрывается, т. е, все коэффициенты аь отличны от нуля, то при Š— ~ оо имеем аь, ! = — ая.
2ч !. Последнее соотношение означает, что при больших значениях )' коэффи(ж!) ~ циенты ряда (18) ведут себя как сь ! . Учтем, что все коэффициенты И аь при больших й имеют одинаковый знак и, кроме того, разложение экск!. поненты в ряд Маклорена имеет внд ел = 2, . Тогда с точностью до ь=!! ы поправок, меняющихся по степенному закону, прн болыпих значениях р окажется и ехр(т2йр). Это значит; что функция и(р) экспоненциально возрастает; и(р) = с ч "и (р) елл.
Такое поведение недопустимо, поскольку волновая функция должна быть ограниченной. Следовательно, ряд (18) обрывается, т. е. существует некоторое максимальное значение й == и,, для которого окажется и„, ! =- О. Все последующие коэффициенты аь, 1' > и, !. 1. согласно (23) также обращаются в нуль. При этом из формулы (23) следует !)(пг +. а) — 1 —" О, или Π— —. (24) л„-! !э ! В~ тв! ! Е= —— (л, - ! -~- !)з 2!Р ла Здесь введено обозначение для главного квантового числа и = пг+1+1.
(26) Радиальное квантовое число п„указывает число отличных от нуля членов ряда (18), а также число узлов (нулей) радиальной части волновой функции. По своему смыслу величина и„ пробегает целочисленный ряд значений и, =-О, 1.'2. (27) Последнее равенство с учетом обозначений (10), (11) мол!от быть переписано в виде (25) 354 Семинар Поскольку пе > О, 1 ) О, го согласно (2б) главное квантовое число может принимать тоже только целые положительные значения; п,=-1, 2, 3. (28) Заметим, что выражение для радиальной части волновой функции имеет вид е-'»', ~ 1 х- д. В~~(Р) = шнГ(РБ еи~(Р) ь —.о (29) Явный вид этой функции зависит от значений главного квантового числа и, и момента й Для основного состояния атома водорода, отвечающего ми- нимальному значению главного квантового числа (т.
с. при 1 = О, пи = О, п, — —. 1), из (29) следует 3 а д а ч а 18. Получить распределение Планка исходя из представления о спонтанных и вынужденных переходах в двухуровневая системе. Решение. Пусть в системе имеется Л'> атомов, находящихся в состоянии с энергией Еэ, и Х~ атомов в состоянии с энергией Еп Ез ) Еп В состоянии равновесия число переходов в прямом направлении Ез — Е1 равно числу переходов в обратном направлении Е1 †, Ез. Число спонтанных переходов Ев — ~ Ез в единицу времени равноАзз_#_з, число вынужденных переходов в том же направлении — — Вя1 рмЛ'з, а в обратном направлении — — Вззр, Мы Здесь р,, — спектральная плотность энергии излучения.
С учетом этого условие равновесия записгявается в виде Аяза + Вз,Рмясз = Вззй 11'и Распределение аюмов по уровням энергии определяется распределением Больцмана: зн', .= А8, ехр (2) где я, — кратность вырождения Ого уровня, А — нормировочная постоян- ная. Поэтому из П) следует Лзо(р) = аое пи. 130) Обратим внимание на тот удивительный факт, что последовательная теория атома водорода, основанная на точном решении уравнения Шредингера, привела в конечном итоге к тому набору значений энергии 125), что и элементарная боровская теория, а также квазиклассическое приближение. 355 Сеяиаир Л21 Н2 (4) При вь|соких температурах (Йп Т)) Й .') излучение будет содержать много фотонов (плотность энергии излучения р, велика).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
