Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Разложим исходный волновой пакет на плоские волны, т. е. в интеграл Фурье: Фо(г) =- У(Р)е' "«в 02г Гг)гг (3) «)р) . Фоат)е гг « 'гт)г. Первое из этих равенств означает, что начальная волновая функция есть суперпозиция плоских волн его"«~ с коэффициентами 3'(р). Чтобы найти временную зависимость этих волн, достаточно учесть, что энергия Е и 'Э импульс р нерелятивистских часпщ связаны соотношением К вЂ”.. Р-«2т.. Соответственно полная запись плоской волны с волновым вектором )г = р«г6 имеет вид сгхр (г — - г — ) = г."х)г (г — г, «) .
а а Б 2ньа Поскольку каждая волна распространяется независимо от других, в произвольный момент суперпозицию можно представить в виде еа.г) -)уОО-г( — "- "' г) 14) т1тобы получить решение в замкнутой форме, достаточно подставить сюда явное выражение для коэффициентов Др), которые могут быль найдены с помощью второго равенства в «3): г(г)-)е ге -"""г -е ) н (- — "-'- "') йе 2ев а Входящий сюда интеграл вычисляется достаточно просто. Для удобства вычислений обозначим г) = ро — р и примем, что вектор г) направлен вдоль Данное состояние описывает волну, центр которой распространяется со скоростью гг = ро«'гп, в чем легко убедиться, вычислив вектор плотности потока вероятности: 341 Севивар оси х. Тогда вырюкение (5) можно свести к произведению трех интегралов Пуассона: Подстановка этою выражения в (4) дает 'Р(г.
Г) . УРО (2~ д')3,'2охр( — ) охр (Г Г г) ' Р 2гг' 6 2т6 (2я 6)о Этот интеграл также сводится к интегралам Пуассона: гоо — о„(',) ( ц( " ",'" +' — '- ' 1)гч— -'"(".)г (г (-"(Х- ') "(-""гг)-""!"- дг Зг2 гдг дг Ц ю родг Здесь временно введены обозначения а =- -1 . р = г -1 2гр 2га6 26 26г Дальнейшие вычисления сгацдартны и приводят к окончательному резульгагу: гР(г. Г) = Фо( . ) ( — ') Рх1г ~ — " + '— ') Фо ( ! (г — ~род'ГЬ)г ргдг ГЬГГН/одг 1 ггг Г+ га/ аг гдг Легко провернтао что найденная функция удовлетворяет как начальному условию (2), так и уравнению (1).
Однако в такой форме решение не наглядно. Поэтому целесообразно найти распределение вероятностей нахождения частицы; (г — родйо)г И ~Ф вЂ” Ф охр до (г) ехр ( — — +г — ) ) гг . (ро — р)гг гдг 6 гдг ' г,) г д Г г г "(- ( — ") ")'- ( — ')"= гдг гдг г ' огдгт = (2яог)гГ'ехр (— 262 342 Семинар Здесь было удобно ввести обозначение для характерной ширины волнового пакета в момент времени Е (8) Таким образом, центр пакета движется со скоростью ч .= ра/т, а ширина растет по закону (8).
Р е ш е н и е. Рассмотрим систему двух частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых зависит только от расстояния г =- ~ г1 — гэ ~ между ними, сг = П(г). Волновая функция теперь зависит от координат обеих частиц: Ф = Ф(г ы гз). Ее смысл состоит в том, что величина ~Ф(гы гз) гЛ 'П) "2 есть вероятность того, что частица 1 находится в элементе объема Л~~ в окрестности точки гы а частица 2- — в элементе объема г((гз в окрестности точки гз. Имея в виду рассмотрение стационарных состояний, мы не выписали зависимость от времени, которая имеет обычный вид: охр( — (Е1/6).
Если массы частиц есть зп1 и пзж то гамильтониан системы оказывается равным Н =- Т, + Тз + Г(г); (1) Т1 =- — ' 2эь 7' =- — ' зээ. 2т1 2тэ Здесь ех1 и Ьз лапласианы, в которых дифференцирование осуществляется по координатам соответственно частиц 1 и 2. В результате мы пришли к следующему уравнению Шредингера: лиФ хзФ -1 Г(г)Ф =- ЕФ. 2т1 2нц (2) Подобно тому, как в лзеханике осуществляется переход от координат отдельных частиц к координатам центра масс И и относительной координате г, этот переход удобно сделать и в нашем случае: т1г~ 4 тгги Г =- Г1 — Гэ.
т1 -~- гаа (3) Координаты вектора К обозначим как (Х, У. У), а координаты вектора г как(х, д. з). Преобразуем слагаемое 1р Дзж Ьз 222Ф (4) 2», Ла: 2, Л.", 3 адач а 14. Исходя из уравнения Шредингера, провести разделение двилсения системы двух частил на двизкение их центра масс и относительное движение частиц. 343 Сел)иг)ар в левой части (3). Поскольку Х = ' ' " ' '., к =. к) — кж то по ггц гпх обычным правилам преобразования производных следует записать дФ дФ дХ дФ дх т1 ОФ дФ дх) г)Хд:г) дх' О:г) пп -~-тп дХ дх Далее находим вторую производную; д зФ д (ОФл) дх д (ОФл) дх дх' ОХ )Лдх / дх) дх Л дг / дх) пп ) дхФ 2гпг д)Ф деФ ггн -~- т„ / ОХ2 т) -~- гпэ ОХдл' Охх Аналогично получаются производные по переменной 22.
дФ ОФ дХ ОФ О.г тз дФ ОФ + Ох ОХ д:гз дх д:ге гпту -~- гпл дХ дх г длФ ( пп ~ деФ 2гпе г)хФ деФ + дх~~ )лт) -~-тг/ ОХ2 т) — , 'ггы ЛХдх д;ге Подставляя найденные выражения для вторых производных в ~4), получаем )Р г)еФ )гз г)2Ф )~'"' г)2Ф 62 деФ 2т) дхзг япы дххз 2М дХ2 2)г д:г где введены полная и приведенная массы системы: (5) пите М == гп) + тз. р =.= —— т) Фта (б) Аналогично преобразуются производные по координатам у и -. В итоге мы приходим к следующей форме уравнения Шредингера: — ЬнФ вЂ” 2)л,Ф + У(г)Ф =- ЕФ.
2Л1 2л Оператор ),г тн=- Ан 2М есть оператор кинетической энергии системы как целого, г. е. материальной точки массы ЛХ, нахолящейся в центре масс системы, а оператор )Р 7 г — '-лг 2)г описывает кинетическую энергию относительного движения частиц си- стемы. Полученный результат полностью аналогичен соответствующему утверждению из классической механики. 344 Сеиинар Будем искать решение уравнения 17) в виде произведения Ф1й..г) = Фа„(гь)Ф„,„(г). С8) в котором первый множитель описывает движение центра масс, а второй— относительное движение частиц.
Подставляя это выражение в (7) и деля почлеино получившееся уравнение на (8), найдем Лэ Ь|гФч „1Р Ь„Ф„,, ) В левой части величины, стоящие в первой и второй квадратных скобках зависят от различных переменных. Поэтому для того, чтобы равенство выполнялось при произвольных значениях координат К и г. необходимо, чтооы содержимое скобок было постоянным. Это приводит к двум уравнениям: вл1 110) аа лг'Рчтн + П(г) Рч~ и = Еатн Роты. (11) зи Из них первое описывает свободное движение центра масс с кинетической энергией Е„ „, а второе относительное движение с энергией Е„,„ при наличии потенциальной энергии взаимодействия П(г).
Очевидно,мы должны гютребовать, чтобы Е„д -1 Е„,ц —. Е. (12) Задача 15. Найти положение энергетического уровня в мелкой симметричной одномерной прямоугольной потенциальной яме. Р е ш е н и е. Как известно, в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме уровни существуют всегда и даются формулой Е„= ' и. п=.1.2.3, кека г Зтвз П) где энергия отсчитывается от дна ямы, а величина а —. ширина ямы. В мелкой яме, когда Го « Ем уровень также имеется. Найдем его положение, Таким образом, мы убелились, что весь анализ, проведенный для простейшей системы двух частиц атома водорода был верен, если только вместо массы электрона использовать приведенную массу частиц.
Кроме того, мы увидели, что центр масс системы частиц, на которую не действуют внешние силы, движется как свободная частица. Это подтверждает законность разделения всех степеней свободы системы на "внешние' и "внутренние". Первые описывают движение системы как целого, а вторые учитывают изменение внутреннего состояния тела. Ссиикар -~-: (Š— Г(2 )~ с =- 0 ,1,.2 аз (2) только для областей П и П1. В области П 2" + [(г 1Е~],2 0 (5) Рис.
1. Потенциатьнвя яма (и) и волновая функция основного состояния (б). Штриховой линией показан энергетический уровень В области П1 лзе 210~и~ „0 1Р Вводя обозначения Лз =- —,(Го )Е~), (5) 0' = —",",'~Е~. (6) перепишем уравнения (2), (3) в виде + А'зф = О, —.гл/2 < я < гл/2. 022 2 ь — г) ф=О, я)и/2. бтя Соответственно решения этих уравнений есть й = Лз сов(сг,, — а/2 < 2: < и/2„ та -- Азс "', т, ) а/2. (8) Сшивка решений при я = а/2 ! Р т=а!2-0 Р ~и=а/200' Р (с=с/2-0 У ~к=-арзсо Искомый уровень отвечает основному состоянию, в котором волновая функция не имеет узлов и является симметричной относительно середины П(к) ямы (рис. 1). Выберем за начало отсчета энергии положение верхнего края ямы. Тогда энергия, отвечаюц1ая уровню, окажется отрицательной,Е < О.
Ввиду симметрии волновой функции достаточно рассмотреть уравнение Шредингера 346 Сеиивар дает а1з сов — = Азе , йа , ,а)З 2 -й,(аз) = -)Аз.— Ьа — яа)з 2 Отсюда следует уравнение для нахоэкдения уровней энергии: с(а — —.
— ) О. ьа ь з а (10) Полученное уравнение удобно переписать в ином виде, используя тригоз( а) р %.— — ь ' — ~ — ' —.ау а.'ааП Ла+Р -~ *- юиа гда Обозначим за таама и = = йа/2. Тогда уравнение (10) принимает вид (12) (13) сов - —.—"- Полученное уравнение удобно исследовать графически (рис. 2, о).
Допустимые решения вьшеляются тем условием, что согласно (1О) для них должно выполняться неравенство с(р; ' ) 0 (рис. 2, б), т. е. аргумент з долженпопадатьвдиапазоны (О, п~2), [я, М)21 итд. Знаярсшснисуравнения (13), легко найти н решение уравнения (10): за Е = --(эо+ таа (14) (15) Далее учтем, что в зависимости от глубины ямы (значения вели— чины (Эо) паРаметР 3 пРобегает согласно (12) значении от 0 до бесконечности, Соответственно меняется и наююн прямой 3 я, Однако при всех 3 решение имеется. Это и означает, что в сколь угодно мелкой яме имеется энергетический уровень.
Найдем в явном виде положение уровня в мелкой яме. Учтем, что з = =- йо/2 с< 1, а параметр ", )) 1 (глубина ямы Го мала). Поскольку при малых имеем соя з = 1 — ~/2, уравнение (13) можно переписать в виде 347 Ссиинио Рис. 2. Графическое решение уравнения (13). Допустимыс диапазоны изменения переменной г определяются условием г1й г > 0 Будем решать это уравнение методом последовательных приближений. В низшем приближении положим з(о) = 1>гэ. Тогда в следующем прибли- женин можно положить - = — 1 — —, или (з ) = — 1 —— Подстапгяя это выражение в (14) с учетом определения параме >ра 3 из (12), получим тс' з > 2 >>2 (16) 'о (Заметим, что если бы мы ограничились приближением >по) = 1>г;, то получили бы решение Е .— — О.) Зад а ч а 16. Найти минимальную глубину сфернчески-симметричной (3-мерной) прямоугольной потенциальной ямы, при которой в ней появляется энергетический уровень.
Ьф+ — (Š— (1(г)) а> =- О. >р Основное состояние является сферически-снмметричным, гго позволяет г!зе, 2 де 1 г1з(гю) записать тзс' = — +: — ' = — . Поэтому, вводя функцию и = г~;:, гьг> г Лг г г>гз перепишем уравнение (1): — '~ + — и,'Š— П(г)) и = О. дга ЬЯ (2) Р е ш е н и е. Рассмотрим 3-мерную яму (рис. 1). Уравнение Шредингера для частицы в такой яме имеет вид Сени~ар В частности, в областях! и П это уравнение принимает следующий вид: тип и" + — 1Е + Ца', и, —.- О. О < г < Л,, аб " (3) аао + — Е и =- О, т > Л.
йз =- — ~Е+ Гаа), г)з =- — апЕ. аз ' ааа Тогда решение уравнений (3) записываются следующим образом: Иа) о = А аш Ь. + Л сон Ь. О < г < Л. 1'5) и=Се "'. т>Л. Далее используем условия сшивки: а) и), о=О, о) «=к — о = аа «=:н~-о. (6) а~ а в) и~п н о=-и, ньаа. В этом наборе первое условие возникает вследствие того, что и =- тьаа< Поскольку потенциальная энергия ьа(а) всюду конечна, Рнс. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
