Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(3) Тогда по закону Кирхгофа рассматриваемый участок среды произведет из- лучение с интенсивностью (д1)з =,4 — = а йагтТ . 4 (4) В результате полное изменение интенсивности прн прохождении слоя составит о1 = ( — 1+ от~)а Г . Мы получили дифференциальное уравнение — = (-1 — цТл)со йя (5) решение которого при начальном условии 1~..=0 = 10 имеет вид (б) 1 = о 7"~ + (1с — цТл)е в=. (7) В частном случае, когда 1о = О, т. е. рассматривается собственное излучение слоя, находим 1 Т1П вЂ” л') а на выходе из слоя толщиной Л интенсивность составит 1=п7 (1 — е ).
Полученное соотношение называется форвгиой П:няки. Умножив р. на с/4 и перейдя к циклической частоте и = /2л, получим выражение лля испускательной способности абсолютно черного тела, приведенное в и, 1 (формула (1.27)). 334 Сеииаар Таким образом, тольгго достаточно толстые слои вещества создают излучение, интенсивность которого следует закону Стефана — Больцмана (1). !1собходимо отметить следующее. В условии задачи предполагалось, что коэффициент поглощения для излучения одинаков на всех частотах и равен сч что позволяло использовать выражение для интенсивности в виде (1), В действительности вещее~во может поглощать излучение по-разному на различных частотах.
Пусть, например, излучение поглощается в спектральном диапазоне Ьш, в котором применима теорема о равнорасцределенни энергии по степеням свободы (т. с, при 6с (( РТ). Будем считать, что в этом диапазоне коэффициент поглощения одинаков для всех частот и равен а, В этом же диапазоне мы будем регистрировать проходящее излучение. Тогда интенсивность можно представить в виде Т, — ВЛТ, (1О) «, ~Хм д где В = — — - величина, учитывающая число "включенных" сте- 1 ) язгз пеней свободы ноля.
Дальнейппле расчеты аналогичны приведенным вьппе. В результате получим 7 =. ЛЕТ(1 .— е ~), (11) Рассмотренная задача имеет непосредственное отношение к оптической пирометрви — бесконтактному измерению температуры различных тел. Различные методы дают, вообще говоря, различные значешш температуры. В частности, можно определить яркостпую вшцверпврру: она равна температуре абсолютно черного тела, имеющего тот же угловой размер и ту жс спектральную энергетическукз яркость Л„., что и изучаемое тело. В соответствии с формулой (11) интенсивность излучения 1, = ВЕТ, создаваемая бесконечно толстым слоем, совпадает (в выбранном спектральном лиапазоне) с интенсивностью излучения абсолютно черного тела.
Если бы мы проводили измерение интенсивности излучения от слоя конечной голщины, то получили бы эффективную (яркостную) техшературу: Т„„= Т(1 - е (12) которая отличается отТ. Чем толще слой вещества, телг точнее мы измерили бы истинную температуру, г. е.
тем ближе значение Т„„к температуре тела Т. Задача 11. Используя законы термодинамики, показать, что спектральная плотность энергии равновесного излучения монотонно возрастает с ростом температуры излучения, иными словами, при Тз ) Т'~ для любой частоты ш имеет место неравенство р„(Тз) ) р (71). Р е ш е н и е.
Как бьшо показано в гл. 1, спектральная плотность энергии излучения дается формулой Планка: к.з Р~= язгз «хр(Г~/ЬвТ) — ! Сьииноо График этого распределения для двух температур Т! и Тз, где Тз ) Т!, показан на рнс. 1.8. Из этого рисунка вилно, что чем выше температура излучения, тем выше проходит кривая ры. В действительности относительное расположение кривых р,(Т,) и ро(Тз) можно установить на основе второго начала термодинамики, не конкретизируя явный внд функции ры(Т), В самом дслс, пусть в одной емкости содержится равновесное излучение при температуре Ты а в другой — — при температуре Т, причем Т, < Тз. Приведем эти емкости в контаьг через окно с фильтром, пропускающим излучение с частотой Ф в интервале Лш (рнс.
1). Сосуд 1 Фильтр Сосуд 2 Рис. !. Обмен энергисй двух емкостей, содсрзкаших равновесное излучение при различных температурах Тз < Тз, через фильтр, пропускающий излучение а узком спсктразьноьз диапазоне ы —: ы -~- г!а Поскольку плотность потока энергии изотропного излучения равна йг! = с!з .д о/4, суммарный поток энергии в сосуд 1 равен гЩ = г)г!з — с1г!! = с!р,.(Тз) -- р .(Т!)) д '/4. (2) Согласно второму началу термодинамики в формулировке Клаузиуса, невозможен самопроизвольный переход те!па ог тела менее нагретого к телу более нагретому (без изменения состояния всех иных тел). Зто означает, что поток энергии должен быть направлен в сосуд, имеющий меныпую температуру (Т!), г.
е. г)г! ) Рь С.зедоиательно, ры(Т!) < 1з . (Тз). Ввиду произвольности выбранного спектрального диапазона это неравенство выполняется для всех частот. Доказанное утверждение означаез также, что кривые р (Т) для разных температур нигде не пересекаются.
Задач а 12. Вывести связь среднеквадратичных отклонений двух физических величин, операторы которых не коммутнруют. Р е ш е н н е. Пусть физические величины Л и В таковы, что коммутатор представляющих их операюров отличен от нуля; (Л. В) — !С. Операторы Л и В должны быть эрмитовыми, поскольку представляют физические величины, т. е. Л+ = Л, В = В.
Множитель г в правой части 336 Сеиинар введен с тем, чтобы обеспечить зрмитовость оператора С, С+ = С. При- мем, что средние значения ве.личин А и В равны нулю: ~А) = (В) = 1). (2) Если зто не так, то достаточно ввести операторы Аз =- А — (А) и В~ =— = В -- (В), лля которых требование (2) уже выполняется. Напомним, что среднее значение определяется как (А) =- Ф" АФЛ'. Для упрощения записи промежуточных формул считаем волновую функцию Ф нормированной: Ф'Фг)г' = 1. Введем оператор Я) = ЕА + 1В, где 6 — некоторый действительный параметр, Соогветственно в резулыате зрмитовского сопряжения имеем Я" =- (Аь — )В+ ---- ~ А — 1В.
Введем функцию параметра 6 Д~) =- ЯФ)" ЯФ)г)К (3) Очевидно, что )'® ) О. Используя определение эрмитово сопряженного оператора, перепишем равенство (3) в виде /'® =- Ф "С~ьЧФ<1К )'® = Ф" (~А — 1В)((А -ь 1В)ФЛ' =- Я "(6' Аз+ В' +;~)А В))тт = г' ~А') + (Вз) — '~С). 15) Здесь мы использовалн равенство (1) и ввели средние значения. Учтем далее, что Я) ) 0 для всех С. Это значит, что дискриминант квадратного трехч тена в (5) не может бьць положительным: Л = (С) з — 4(АЯ) (Вз) < 1Е (6) Отсюда вытекает искомое соотношение неопределенностей: (7) 337 Сеиилир и В качестве примера положим А = х, В = р, = -И, . ПоскольИх ку (х, р,~ = 1)к то С =- А. В качестве неопределенностей координаты и импульса примем их среднеквадратичные отклонения от средних (равных нулю): Ьх = э/~Ьт) = (1'(х)', ЛР = э~~ЬР) = Я. (8) Тогда из (7) немед:генно получаем ЬхЬ)э > 6/2, (9) Это соотношение неопределенностей в форме Вейзя.
Получим последнее соотношонне прямым вычислением. Предположим, что частица совершает финитное движение, так что ее волновая функция обращается в нуль на бесконечноспк Ф( — сс) = Ф(+ос) — О. (10) Считая волновую функцию нормированной: Ф(х)~~ г(х = 1. — х (11) расслютрим интеграл э'(с) = хФ(г) + б — ' ах.
1э:! (12) где с действительный параметр. Перепишем атот интеграл, раскрыв квадрат модуля: хз~Ф(х)~~ 0х = (хв). (14) Второй интеграл в правой части преобразуется путем интегрирования г(о- )':"и'эг «' г / —,, ~+с( ( "—, ~'1 .. (13) Первый интеграл в правой части с учетом условия нормировки (11) равен 33З Секивар по частям: (15) Вспоминая выражение для оператора импульса, получаем с'аФ 1 Г . и ХЗ р"'!.
— = — ~ — )й — ) Ф = — "'Ф, д з аз 1 ',1я) 1;г (16) Ф" — *Ф ат =- — (р;) . Р ' га (17) Третий интеграл в (13) переписывается в виде 4 4ФФ) дт 1 .гФ*Ф вЂ” Ф*Ф ~)т =о — (18) Таким образом, приходим к следующему выражению для функции Я): П9) Минигиальное значение этой функции достигается при условии лба, Ь~), ь" = 2~~=: — 1 =- О. или дг ' ая З1яз) (20) и составляет г,г з яяв з(й) Из определения функции Я) следует, что 121) у(ь) > у(ь.) > О (22) Поскольку считается, что (к) = 0 и (ря) = О, то полагая (23) так что интеграл П 5) принимает вид Поэтому из Г21) следует соотношение (л') я2 ЗЗ9 Сенилир придадим неравенству 122) обычный вид: Ь;сЛрв > 6/2, 124) что представляет собой искомое соотношение неопределенностей.
В качестве дополнения найдем, прн каком виде волновой функции достигается равенство ЬзэЬр,. = л/2, (25) Для этого учтем, что это равенство осуществляется при условии, что в 121) окажетсЯ )вв —.= О. Значение 1' -- )ввв достигаетсЯ пРи С вЂ” (,„. В силУ неотрицательности подынтегрального выражения в функции 7 ® ясно, что условие 1;ь;„— -- О может быть выполнено, только если окажется лФ(к) +с — ' = О, дк 126) где нужно положить б = с из (20).
Решая это дифференциальное уравнение, получим Ф = воскр — ' /. зс„, / (27) Наконец, учитывая, что при условии (25) окажется (28) перепишем (27) в виде — о сьр 129) Заметим, что решение (29) дает волновую функцию гармонического осциллятора в основном состоянии. Именно поэтому использование соотношения неопределенностей в форме Вейля дает в случае осциллятора правильныс 1вплоть до числовых коэффициентов) оценки значений энергетических уровней. Р е ш е н н е. Требуется решить уравнение Шредингера дз ъо зт с начальным условием Ф1г,1)~, == Ф 1г) = Ф с- — ' -!Рв') . здз л 12) 3 а д а ч а 13. Исследовать эволюцию локализованного волнового пакета. 340 Семинар )Ф'г'7Ф Фз7Ф*) „о = г" (Ф~' 2гггг гн Для решения задачи мы воспользуемся приемом, широко используемым в Фурье-оптике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
