Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ЛО = ггигг (11) Величина с Л = = 0,00386А= 3. 86 10 "см гаос называется коьштоновской длиной волны. Гс иногда обозначают символом Л (по аналогии с "перечеркнутой" постоянной Планка 6 — 6,72~ ). 3 а д а ч а 3. Исходя из представления о фотонах, найти давление, производимое светом. Р е ш е н и е. Рассмотрим излучение с частотой и, падающее по нормали на плоскую поверхность мишени и поглощаемое вегпеством. Каждый фотон потока излучения обладает энергией Е = Ь,и и импульсом р = Еггс. 322 бвиияар За время зз( на поверхность площади Л попадет число фотонов, равное Х =- с!з(Лп, где п — — число фотонов в единичном объеме пространства, занятого излучением.
Соответственно за единицу времени мишени будет передан импульс, равный М йя — = — =- гбир = пЛЕг =- и Л6м ы х! Величину и можно представить как О' и= —, !ш (2) где ш . — плотность энергии излучения. Поэтому соотношение (1) прини- мает вид Ьр — =-,~'ш. (3) Поскольку импульс, сообщаемый' в едннипу времени, есть сила, то найденная величина есть средняя сила, с которой излучение действует на мишень.
Давление же определяется силой в расчете на единичную площадь поверхности: Р = Р„,.„„. + Р„, Поскольку Р„„я = ш, Р, = Лщ, то (б) Р = (1 + Л)ш. (6) Заметим, что интенсивность солнечного света, падающего на поверхность Земли, составляет 1 = 2 акал,,!(смз мин), чему соответствует давление, производимое солнечным светом, Р = 4.7 10 ~ Н,!мз (при ус.ювии полного попюшения, Л = О). 3 а д а ч а 4. Исходя из представления о фотонах, получить формулу для эффекта Доллара в случае источника, движущегося навстречу приемнику со скоростью 1' « г.
Р е ш е и и е. Рассмотрим процесс, в котором движущееся тело испускает фотоны. Пустые.!о вначале имело внутреннюю энергию По, а после испускания фотона энергию П'. Иными словами, при испускании одного фотона внутренняя энергия вещества меняется на величину (го — ('" = 6!'о. Р = — — = 2!!. (4) л !з! Мы рассмотрели случай, когда излучение полностью поглощается веществом мишени. Если же излучение частично отражается (с коэффициентом отражения Л по интенсивности), то величина давления будет складываться из двух частей: давления, производимого излучением при попадании на поверхность, и давления, производимого излучением, отраженным от поверхности: 323 Геиннир где ио частота фотона в системе отсчета бесконечно тяжелого источника, определяемая только свойствами самого излучающего тела (т.
е. структурой его энергетических уровней). !1усть источник имеет массу 4Х, причем эту массу будем считать достаточно большой, чтобы изменение состояния тела в результате испускания фотона оказалось малым. Однако хотя это изменение и невелико, мы должны учесть эффект отдачи. Для этого запишем законы сохранения энергии и импульса: [л з, аг['з 4 (Х вЂ” - ' + (и + )ц' — (зг + тХ)(зХ вЂ” хг ) =- )г(,н — но). (4) з Здесь мы заменили разность Ьо — Г величиной Йио.
Далее учтем, что изменение скорости тела в результате испускания фотона мало, так что можно положить зг + тг' = 2Ъ'. Это дает (5) Заменяя произведение ЛХ(зг — хг') величиной Ыс = †)с в соответствии с законом сохранения импульса, получим ИХ = 2н(и — ио). (б) Согласно рис. 1 и определению волнового числа (й = 2ки7 с) перепишем скалярное произведение)сьг в виде )сУ = Н'сонд =.
— ')'сонг). с. (7) В результате из (6) получаем искомое выражение для сдвига частоты: и = = ио ( Х + соь О) . ио и 1 — [и~с) спад с (8) Заметим, что по смыслу вывода последней формулы в ней предполагается, ч ю прн 0 —. О источник излучения (атом) движется навстречу приемнику. Кроме того, переходя к круговым частотам, формулу (7) часто записьгваигт в виде щ = що 4 )с'зг. (2) Рис. !. Диаграмма импульсов исючннка [излучающею тела) ЛХ'(Г = ЛХ тг' + Яс, и испущснного фотона где и волновой вектор испущенного фотона. Диаграмма импульсов для рассматриваемого процесса показана на рнс.
1. Д.'и нахождения наблюдаемой частоты фотона и преобразуем уравнение (2): 324 Сеиияар Š— р1' сов !З )/ ! — ы-','сз (1О) Здесь !1 — -угол (в системе отсчета приемника) между вектором скорости фо- тона и направлением движения системы К. Далее используем следующие соотношения: Е'=-ЬО. Е=)зр, Р=Е! = — й /. Подставляя эти выражения в (8) и разрешая получившееся равенство отно- сительно н, получим П! — ! -,~сз н = Рр (12) ! — (РЯсоьа Эза формула в пределе И « с переходит в формулу (7), полученную выше нз иных соображений.
В частном случае, когда 0 = О, из (10) следует ) !+Рус !' = !'о!„( — —,—. '1!( 1 — Р/с что отвечает обычному выражению для продольного эффекта Доплера, ко- гда источник сигнала приближается к приемнику вдоль прямой, соединяю- щей их. Если же 0 = я,!2, го из (1О) следует (14) Эта формула описывает поперечный эффект Доплера, отвечающий случаю, когда сигнал посылается перпендикулярно направлению движения источ- ника. 3 а д а ч а 5. Используя законы термодинамики, найти температурную зависимость плотности энергии равновесного излучения. Р е ш е н и с.
Фотоны зто ультрарелятивистские частицы, движущиеся со скоростью и = г. Поэтому давление фотонного газа связано с плотностью энер! ни соотношением Р = !э!'3. где длина волнового вектора к равна й = ь!о/с. Приведем также вывод выражения для эффекта Доплера для случая произвольных (в том числе больших) скоростей движения источника. Пусть источник светового сигнала находится в системе отсчета Я', движущейся со скоростью И относительно лабораторной системы Я, Как известно, полная энергия Е и импульс р вместе образуют 4-вектор, компоненть! которого преобразук>тся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой по формулам преобразования Лоренца. В частности, 325 Сеяилио П(т, ) ) = р(Т)~'.
(2) Найдем зависимость р от температуры. Используем основное термодинамичсское соотношение; Тдб' = ЛУ ' РЛ'. (3) где Я энтропия, Р давление, И объем. С другой стороны, считая Г = 1ЯТ, Г), можем записать гь — ('— ') и+ ~('— ') ~г)ле Полагая здесь дТ =- О, имеем ( д л ) ( ш э г ) (5) Для исключения энтропии из мото равенства воспользуемся тождеством Максвелла. Именно, д ш свободной энергии à — П вЂ” ТЯ справедливо равенство г)Г = — — Ъг)Т вЂ” РЛ'.
Поэтому Я =- — ) — ), Р =- — ~ — ) Гдг т рдеет дт н' ды у д,5'т ГдРт откуда следует тозкдество ) — ") =-. ) — ) . Таким образом, получаем дц т И' к Т (дР (дп) (6) Подстановка сюда выражений П) и (2) для давления Р и энергии П равновесного излучения приводит к дифференциальному уравнению ~ др 1 др лр Здд 3 дд Т Решение 1юлученного уравнения имеет вид р=лТ, (8) Константа а не может быть определена только методами термодинамики. Заметим, что для изотропного газа (в нашем случае фотонов равновесного излучения) плотность потока энергии дается формулой 1 9 = -пгзп), 4 (9) где и — концентрация частиц (частусм' ), о — скорость частиц, е — энер- 3 гия, приходящаяся иа частицу, а угловые скобки означают усреднение по статистическому распределению частиц.
Для фотонов (света) величина 9 Для равновесного излучения плотность энергии есть функция толыго темперагурьь Следовательно, внутренняя энергия излучения, находящегося в обьеме И, равна 326 Ссиинар совпадает с интенсивностью излучения 1. Поскольку н = г, п(е) = р- плотность энергии, то 4 4 Сравнение этого равенства с законом Стефана — Больцмана (1 =- сгТ4) позволяет выразить константу и через постоянную Стефана — Больцмана т: 4сс а=. —. с 3 а д а ч а 6. Найти теплоемкость равновеснш о излучения. Р е ш е н и е.
Используем термодинамические тождества. Будем исходить из закона сохранения энергии в форме без =- Л1+ РЛ'. Как известно, тсплосмкость определяется соотношением 6(~ с процесс— е:=( —, с1Т ) пропосс (2) (П - ('— О) 1Т ( — ") 11. (3) С учетом равенств (1) — (3) находим выражение для теплоемкости: о, „йт ( — ) еге (( — ') еР~ ее. ~е) Для нахождения теплоемкости при постоянном объеме полагаем здесь Л' = О, так что оказывается ': =-(!:е), (5) Как было показано в задаче 5, внутренняя энергия равновесного излучения, занимающего объем Г и имеющего температуру Т, равна П = аТ4И (6) где а — — некоторая константа.
Тогда из (5) следуе г, чю С . = 1 е'Р = 4 Тзи дТ (7) Она, очевидно, зависит от конкретного процесса, что подчеркну ю индексом ппроцесс",Мынайдемтеплоемкость вдвухпроцессах:изохорическом()' = = сопзГ) и изобарическом (Р =- сопз1). Рассмагривая внугреннюю энергию как функцию температуры и объема, запишем 327 Гвчинао Найдем теперь теплоемкость при постоянном дашгении Ср. Для равновесного излучения изобарический процесс (Р =- сопяг) является одновременно изотермическим (Т = сопяг),поскольку имеет место уравнение сосгояния Р = р1'3, в котором р =- р(Т).
Это означает, что в данном процессе г(Т =- О. Следовательно, Ср == осх Этот же результат можно получить формально из соотношения (4). В самом деле, перепишем это соотношение для случая Р --= сопи! в виде в( — )~~(ц)1В)( — )-си:~~~.(Н Для равновесного излучения величины, стоящие в числителе, принимают положительные значения для всех ненулевых температур. Производная же (1)Т/1В') р, стоящая в знахгенателе, равна нулю, поскольку при постоянном давлении температура равновесного излучения не зависит от объема в силу уравнения состояния. Это и означает, что Ср = с. 3 а д а ч а 7. Получи гь связь между объемной шготностью энергии равновесного теплового излучения и излучательной способностью тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
