Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко - Начальные главы квантовой механики (1129353), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда для Чг-функции частицы в поле излучения мы имеем уравнение т'й — =- (Но + 1г) Ф, де дг (12.29) 1Э == — 1Е; (еьа + .' '"' ) с2. (12.30) Именно операюр дипольного момента перехода сг, точнее, его м,причные элементы с(г2 =- Рзс(Р2 дл' йр с(" =" Р24"2 д ' с(р аз =- сззы (12.31) учитывают специфическую природу конкретной квантовой частицы в ее взаимодействии с классическим электромагнитным полем.
Стационарные волновые функции:Р1 и;аз зависят только от пространственных координат и, удовлетворяя каждая своему стационарному уравнению Шредингера: Норг =- Е2Р~., Норз =- Езря, (12.32) полностью характеризуют состояния 1 и 2 рассматриваемой квантовой системы (уровни энергии Е1 < Ез). Тогда, когда частота осцилляций возмущения (1 2.30) близка к собственной частоте перехода 2 ~ --- (Е2 — Ез) /6, выполняется условие резонансности (12.2б) и уравнение (12.29) можно решать в резонансном приближении.
12.5. Уравнения резонансного приближения Зависящее от времени уравнение Шредингера (12.29) в резонансном приближении для двухуровневой частицы сводится к двум уравнениям для амплитуд волновых функций первого и второго состояний частицы. Получим эти уравнения. где оператор взаимодействия 1' между полем и частицей соответствует энергии взаимодействия (12.24). Это означает, что в дипольном приближе- нии оператор взаимодействия сводится к оператору дипольного момента перехода ссз 247 126 Ос«!«м«««яяии аа«глен»ос«ьей Пусть искомая Ф-функция представляет собой суперпознцию исходных волновых функций частицы с зависящими от времени коэффициентами: Ф = а«(!)Ф! «и оя(1)Ф2, (12.33) где Ф! =- р! (г) ехр ( — «Е«1««6), Фз =- рз(г) схр ( — «Ез(,П!), а зависящие только от пространственных координат функции э»! и р» суть стационарные волновые функции состояний 1 и 2 нашей двухуровневой квантовой системы и, следовательно, удовлетворяют уравнениям (12.32).
Подставим (12.33) в (12.29) с учегол! (12.32). Умножая получившееся уравнение в первом случае на»2«, а во втором случае на 22, н почленно интегрируя по всем пространственным переменным с учетом ортонормированности волновых функций, приходим к двум уравнениям: «6— ««а « ««« ла2 «6 (12.34) В этих уравнениях использовано определение (12.31) матричных элементов оператора дипольного момента перехода.
Упростим теперь уравнения (1 2.34), учтя условие резо пан с ности (12.2б) и опустив быстро осциллирующис члены вида гхр [Ы(ы + ы»и )() = = ехр [~2«,,аз«(1: «6 — == — — Ес«««2««2 е ла! «,— ~«м㫠— 1« «!«в 26 — = -Ео««2! ««! е 2 ла2 «и 2 (12.35) Представим теперь медленно меняющиеся во времени коэффициенты и! и а,з в симметричном виде: а! -= Ф! ехр [ — «( '2! — ') 1,«21; па =-: «62 ехр[«(а«2! —,') !««2) . (12.3б) Для амплитуд их осцилляцнй «Р! и а« из (12 35) получаются тогда уравнения (12.37) которые и являются искомыл«и уравнениями резонансного приближения. «6— 4« «6 — "' 4« ! — — аз[Е)"'+ Е ' '1 С «м«««Е«»«««2; 2 ! [еаа«+ г — ««~ г«иг»«Е Д„ » ! -'-' — - ( «2! — )« ') «а! — — Ео«1«зщ«, д 2 ! =- — (1«ко2! — (аа) Ф вЂ” — Ее«)«2«9«, 2 2 248 Го.
! '. Споин~анные и сын>он денные перетоднн Резонансные процессы 12.6. Осциллиции населенностей 2 (2 шрз 2н) — Ь ~а1, ) Волы й, 2 (12.38) и подставляя результат в первое из них, легко получить для функции рз уравнение вюрого порядка, которое оказывается уравнением гармониче- ского осциллятора; '2 н те2 + 5.'2 — О, или '7 '2 ' й 1оз —" О, (1239) где частота осцнлляций определена соотношением /лз 2 112 (12.40) Разность 22 =- о — ьш есть отстройка частоты поля относительно частоты перехода, а величина йо = '"" 'о (12.41) а называется частотой Раби. Решенно уравнения (12.39) хорошо известно; ,32 =- Асоай(+ Вв(пй( В принятых начальных условиях Л = О. Значение коэффициента В можно установить из второго уравнения в (12.37), где при 1 == 0 следует положить ей =- 1, ш2 = О, а~ = Вйз. ЭтодастВ = )йс/2Й.
Тогда тэ2 . 1 — шпйб . сзо яи (12.42) Эволюция во времени функций сч и 1:2, относительно которых записаны уравнения резонансного приближения (12.37), определяет динамику искомой Ф-функции рассматриваемой двухуровневой частицы под действием резонансного поля Е(1). При этом квадраты модулей 1.'1 -' и ~из ~2 определяют вероятности найти частицу на уровнях 1 и 2 соответстяенно. Другими словами, квадрат модуля этих функций определяет динамику населенностей уровней ! и 2 под дейстяием излучения. Рассмотрим воздействие на резонансную среду поля постоянной амплитуды Ес, включаемого в момент 1 — — О.
Пусть в этот момент частица находилась на нижнем уровне, 01 (( = 0) = 1, а верхний уровень бьш пуст, ш2 (( — 0) — О. Когда амплитуда поля излучения постоянна, уравнения резонансного приближения (12.37) суть линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выражая ш~ нз второго уравнения через 122, 249 12 б. Осгисгяялии яасегеяяосгпей При этом из (12.38) вытекает; что 1,"1 =- соаг)( — г — яшЙВ зй (12.43) Видно, что волновые функции тех состояний, которые в отсутствие внешних воздействий бьщи стационарными, теперь оказываются осциллирующими во времени с частотой Й.
Для нас интересна вероятность заселения верхнего (второю) уровня. Она составляет гуз ~ =- — а, (1 — соа 2Й)). 1 1)г З иг ))г (12.44) вэ~ ~— и (1 соль(). аггг (12.45) В обратном предельном случае малой отстройки или, что эквивалентно, прн интенсивном поле излучения сгг (< Й~~), имеем Й ==- Йо,)2 и (ь.'з( = — (! — соя Йо().
з (12.4б) Смысл двух последних формул достаточно прозрачен. При интенсивном облучении, напряженность поля которого столь велика, что частота Раби существенно превышает отстройку частоты поля от точного резонанса, двухуровневая кван ювая система осциллируег между верхним и нижним уровнями с частотой Раби (см. (12.4б)).
В слабом же поле. когда соответствующая ему частота Раби мною меньше отстройки частоты поля от точного резонанса, вероятность нахождения частицы на верхнем уровне никогда не достигает единицы (см. (12.45)). При этом осцилляции вероятности происходят с частотой отстройки. Наконец, в случае точного резонанса (,Ь = О) частица с необходимостью достигает верхнего уровня и при слабом поле, хотя Полученная формула описывает характерные черты процесса заселения верхнего уровня под действием монохроматического поля, близкого к резонансному.
Из формулы (12.44) следует, что населенность верхнего уровня осциллирует во времени между нулем и максимальным значением ~ ь" г „,, ггг + Ггг о с частотой 2Й, определяемой как расстройкой, так и частотой Раби. Очевидно, что при всех гг ф О величина ~ 1дг!,ии, ( 1, т. е. все атомы одновременно нс могут оказаться на верхнем уровне. Спектральная зависимость амплитуды колебаний в (12.44) имеет лоренцеву форму, т. е.
соответствует случаю однородного уширения с полушириной, равной частоте Раби. Остановимся на предельных частных случаях. При большой отстройке или при слабом ноле излучения, когда сиз » 1)~зи можно положить Й =- сг/2, так что 250 Гн.!'. Спонгпанпые и еынунсденные псретодьи Впонаисные проиессы и за длительное время, определяемое в этом случае медленностью осцилляций Раби. Надо, однако, помнить, что все проведенное выше рассыо1рение выполнено без какого-либо учета процессов необратимого рслаксационного распата верхнего уровня. Это справелливо только для тех временных интервалов, на которых релаксационные процессы можно считать несущественными.
12.7. Полевое уширеиие Рассмотрим более подробно спектральную зависимость (12.44). Выше было подчеркнуто то важное обстоятельство, что если ноле отстроено от точного резонанса, сз ;С О, и является слабым, Поз « Ьз, то вероятность найти частицу на верхнем уровне никогда не достигает единицы. 11о увеличение напряженности поля и вызванный этим рост йо преодолевают влияние отсгройки. Г!ри П11 » Ьз, как мы знаем, населенность верхнего уровня с большой частотой осцнллирует между нулем и единицей. Следовательно, поле эффективно уширяет переход. Вопрос о полевом упгирении перехода (или уровня) очень важен. Речь идет о динамическом уширении, когда гюд действием сильного поля частица периодически и с вероятностью, близкой к единице, осуществляет переход между уровнями 1 и 2, несмотря на отстройку частоты поля от частоты перехода.
Спектральная зависимость вероятности перехода (12.44) является лоренцсвой, в резонансный знаменатель которой, наряду с квадратом отстройки, входит и квадрат частоты Раои, играющей, таким образом, роль однородного уширения. Следовательно, с1рого говоря, в отсутствие релаксациоиных процессов можно ввести в рассмотрение динамическое полевое УшиРснис 111 зЕо(/1, сУЩественно изменЯюЩее Резонансные свойства двухуровневой квантовой системы при больших напряженностях поля электромш нитной волны. При смещении частоты линии перехода на величину Г)11 соответствующее изменение элер~пи фотона, индуцирующего .этот переход, составляет ййо. Единственным взаимодействием, могущим изменить величину">нергепзческого зазора между уровнями 2 и 1„яв1аяется в рассматриваемой с1пуапии электродипольное взаимодействие с энергией с)гзЕо.
Приравнивание этих двух энергий друг другу дает, как и следовало ожидать, значение частоты Раби (12.41). Заметим, кстати, что соображения размерности точно таким жс образом позволяют определить значение полевого уширсния. Единственным параметром задачи, имеющим размерность частоты, является комбинация с(гав / 6. Наконец, уместно остановиться на одном принципиальном вопросе. Изучая поглощение и непускание излучения двухуровневой системой, мы вначале прсдполагалн, что строго выполнено условие резонансности саз1 = (Ьз Е1)1 йг.
1?. 7 Полевое ушореоие 251 Далее мы рассмотрели ситуацию, когда это условие нарушается: оказывается либо ы ) 'в>, либо: < ш». При этом мы нашли, что часть атомов все же периодически переходит в возбужденное состояние, т. е. на уровень Ез. Возникает вопрос: как это согласуется с законом сохранения энергии? Вопрос стоит особенно остро в случае ео < ызы когда энергии кванта излучения явно недостаточно, чтобы перебросить атом с нижнем> уровня на верхний. Вопрос решается с помощью соотношения неопределенности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
