М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. оператор эволюции зависиттолько от разности времён:Û (t1 , t0 ) = Ût1 −t0 .Для таких систем операторы эволюции образуют однопараметрическуюгруппу с параметром времени t. Для этой группы умножение/обращение/единица для операторов соответствуют сложению/изменению128ГЛАВА 5знака/нулю параметра:Ût1 Ût2 = Ût1 +t2 ,Ût−1(5.4)= Û−t ,(5.5)Û0 = 1̂.(5.6)Для такой однопараметрической группы операторов эволюции мы можем брать как непрерывное время, t ∈ R, так и дискретное2 t/τ ∈ Z.5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности*Эволюция замкнутой системы может быть описана на языке матрицыплотности. Согласно (4.59) матрица плотности может быть представленав виде|ψk pk ψk |.ρ̂ =kС учётом того, что|ψk (t1 ) = Û (t1 , t0 )|ψk (t0 ),получаемψk (t1 )| = ψk (t0 )|Û † (t1 , t0 ),ρ̂(t1 ) = Û (t1 , t0 )ρ̂(t0 )Û † (t1 , t0 ).Это преобразование не нарушает требуемых свойств матрицы плотности,в частности нормировка матрицы плотности сохраняется:tr ρ̂(t1 ) = tr[Û (t1 , t0 )ρ̂(t0 )Û † (t1 , t0 )] = tr[ρ̂(t0 ) Û † (t1 , t0 )Û (t1 , t0 )] = tr ρ̂(t0 ).1̂5.1.3.
(Не)унитарная эволюция*****На самом деле мы можем отказаться от условия обратимости квантовой эволюции и рассматривать квантовую эволюцию, ограничившись условием сохранения вероятности (5.3) (изометричность). Мы можем сделатьэто благодаря тому, что пространства состояний в разные моменты времени можно считать различными пространствами, не все состояния в которыхимеют физический смысл.2 Дискретное время может быть полезно при численных квантовомеханических расчётах.При этом вместо того, чтобы переходить к разностному аналогу временного уравненияШрёдингера и следить за сохранением вероятности, более правильно стартовать с унитарнойэволюции с дискретным временем, как с понятия более фундаментального.5.1. К ВАНТОВАЯМЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ129Рассмотрение пространства состояний в разные моменты времени какразных пространств естественно всегда, когда мы рассматриваем зависящую от времени замену базиса, связанную, например, со сдвигом нулевого уровня энергии, калибровочными преобразованиями или с переходом между представлениями Шрёдингера, Гайзенберга и Дирака.
Однако обычно пространства состояния в разные моменты времени связывают друг с другом с помощью унитарных отображений, мы же в данном разделе воспользуемся тем, что бесконечномерное пространство всегда может быть отображено один к одному на некоторое своё подпространство.Зафиксируем некоторый начальный момент времени t = 0 и будем считать, что при t = 0 все векторы пространства состояний H имеют физический смысл.
В момент времени t физический смысл имеют только векторы,которые получаются из векторов в начальный момент времени с помощьюоператора эволюции Ût , т. е. принадлежат к подпространствуHt = Ût H0 ⊂ H0 = H.Однако такие подпространства в разные моменты времени изоморфныHt H0 , т. е. между ними можно установить взаимно-однозначное соответствиеÂt Ht = H.С помощью оператора Ât мы можем переписать нашу неунитарную эволюцию в эквивалентной унитарной форме, отбросив все нефизические состояния. Новый оператор эволюции Ũt уже унитаренŨt = Ât Ût .Ясно, что мы можем, используя этот приём, не только сделать из любого изометричного оператора эволюции унитарный, но и из любого унитарного оператора изометричный, добавив в пространства состояний в разныемоменты времени некоторое количество «нефизических» измерений.Таким образом, мы можем рассматривать условие обратимости квантовой эволюции как чисто техническое условие, оставив вместо него болееслабое и более физичное условие изометричности (сохранения вероятности).
При рассмотрении эволюции замкнутой системы новый подход не позволяет получить каких-либо новых результатов, однако он может оказатьсяполезен для обобщений, описывающих процессы с незамкнутыми системами (например, измерения).130ГЛАВА 55.1.4. Уравнение Шрёдингера и гамильтонианКак уже было получено (или, по существу, постулировано) в предыдущем разделе, для замкнутой автономной системы мы можем записатьψ(t + τ ) = Ûτ ψ(t).(5.7)Если время может меняться непрерывно, т. е.
t ∈ R, то, предполагая непрерывность и дифференцируемость оператора эволюции по времени, мы можем продифференцировать уравнение (5.7) по τ и, устремив τ → 0, записатьd ψ(t) = dÛτ ψ(t).(5.8)dtdτ τ =0Полученное уравнение (5.8) и есть уравнение Шрёдингера (или временно́еÛτ принято запиуравнение Шрёдингера). Входящий в него оператор ddττ =0Ĥ.сывать как ih̄ОператорdÛτ Ĥ = ih̄dτ (5.9)τ =0называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом3 .Можно провести следующую аналогию с обычными поворотами:• Ûτ — матрица поворота пространства состояний.• Ĥ — матрица угловой скорости.ih̄Мы можем легко обобщить понятие гамильтониана и на случай неавтономных систем, эволюция которых зависит от времени.
В этом случае мыполучаем оператор Гамильтона явно зависящий от времени:ψ(t + τ ) = Û (t + τ, t)ψ(t),d ψ(t) = dÛ (t + τ, t) ψ(t) = 1 Ĥ(t)ψ(t),dtdτih̄τ =0dÛ (t + τ, t) .Ĥ(t) = ih̄dττ =03 Какоднажды сказал французский физик русско-еврейского происхождения Анатоль Абрагам: «Гамильтониан — армянская фамилия». Сходство усугубляется тем, что в англоязычнойлитературе слово «Hamiltonian» всегда пишется с большой буквы.5.1.
К ВАНТОВАЯМЕХАНИКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ131Из унитарности оператора эволюции легко получить эрмитовость гамильтониана:††Ĥ†Û (t + dt, t) = 1̂ + dt+ o(dt) = 1̂ − dt Ĥ + o(dt),(5.10)ih̄ih̄Û † (t + dt, t) = Û −1 (t + dt, t) =−1= 1̂ + dt Ĥ + o(dt)= 1̂ − dt Ĥ + o(dt)ih̄ih̄⇒Ĥ = Ĥ † .Мы определили гамильтониан через оператор эволюции, но можнолегко написать дифференциальное уравнение и начальное условие, для оператора эволюции, через гамильтониан:d Û (t , t ) = 1 Ĥ(t )Û (t , t ),Û (t0 , t0 ) = 1̂.(5.11)1 011 0dt1ih̄Для случая автономной системы, когда гамильтониан не зависит отвремени, получаем выражение оператора эволюции через операторную экспоненту−iĤ·(t1 −t0 ).(5.12)Û (t1 , t0 ) = Ût1 −t0 = e h̄Автономная эволюция (с не зависящим от времени гамильтонианом) —вращение пространства состояний с постоянной угловой скоростью.Похожие экспоненты неоднократно встретятся нам в дальнейшем прирассмотрении различных симметрий.
Как мы увидим ниже, оператор эволюции для автономной системы можно рассматривать как оператор симметрии сдвига по времени, а гамильтониан — как генератор этой симметрии.Для многих простых систем квантовый гамильтониан может быть получен из классической функции Гамильтона (т. е. энергии, выраженнойчерез координаты и импульсы) путём «добавления шляпок», т. е. заменой классических координат и импульсов на соответствующие операторы.Обоснование такого соответствия приводится в разделе 5.2.7 «Скобка Пуассона и коммутатор*». Квантовые операторы координаты и импульса будутвведены в разделе 11.3.2 «Обобщённый импульс».5.1.5. Уравнения Шрёдингера, временны́е и стационарныеВременно́е уравнение ШрёдингераĤψ(t) = ih̄ d ψ(t)dtописывает временну́ю эволюцию волновой функции.132ГЛАВА 5Стационарное уравнение Шрёдингера имеет видĤψE = EψE .Это просто уравнение на собственные функции и собственные числа дляоператора Гамильтона.Если подставить решение стационарного уравнения Шрёдингера вовременное, то получаетсяih̄ d ψE (t) = ĤψE (t) = EψE (t),dt−ψE (t) = eiE·th̄ψE (0).Временная эволюция стационарного состояния сводится к вращению с уг− h̄i E·t.ловой скоростью ωE = Eh̄ фазового множителя eВсе средние для стационарного состояния имеют вид−At = ψE (t)|Â|ψE (t) = e=iiE·t− E·th̄ψE (0)|Â|e h̄ ψE (0)ii+ E·t− E·tψE (0)|e h̄ Âe h̄ |ψE (0)== ψE (0)|Â|ψE (0) = A0 .Таким образом, среднее от любого оператора по стационарному состояниюне зависит от времени.
Это и даёт основание называть такое состояние стационарным. При этом следует иметь в виду, что состояние остаётся неизменным только до тех пор, пока над ним не совершаются измерения, илидругие внешние возмущения4 . Если мы переопределим гамильтониан, введяĤ = Ĥ + E0 1̂,(5.13)то для нового гамильтониана Ĥ стационарные состояния останутся стационарными, но их уровни энергии сдвинутся на E0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
