М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Состояния, для которых значение наблюдаемой определено и равно некоторому собственному числу, оказываются собственными состояниями соответствующего оператора, отвечающимиданному собственному числу.Каждой наблюдаемой  мы можем сопоставить её спектральное разложение: разбиение пространства чистых состояний H на подпространстваHα = P̂α H, в которых значение данной наблюдаемой определено и равнонекоторому вещественному числу α. (В данном случае мы обсуждаем случай дискретного спектра.) Оператор  в этом случае удобно представитьчерез собственные числа α и соответствующие проекторы P̂α :α P̂α , α ∈ V ⊂ R, = † =αP̂α = 1̂,P̂α† = P̂α ,P̂α P̂β = δαβ P̂α .αЧерез спектральное разложение мы можем легко определить действиеоператора наблюдаемой на состояниеÂ|ψ =α P̂α |ψαи среднее значение наблюдаемой в данном состоянииα ψ|P̂α |ψ =α pα , = ψ|Â|ψ =αα4.9.
Н АБЛЮДАЕМЫЕ *где115pα = ψ|P̂α |ψ— вероятность того, что измеренное значение наблюдаемой  совпадёт с α.Для непрерывного спектра суммы по α следует заменить на интегралыпо проекторнозначной мере (см. 5.3.1 «Проекторнозначная мера**»).На множестве наблюдаемых возможны следующие операции, результатом которых снова являются наблюдаемые:• c — умножение на вещественное число c ∈ R;•  + B̂ — сложение наблюдаемых  и B̂;•  • B̂ =ÂB̂ + B̂ Â2• {Â, B̂}q =— симметризованное умножение наблюдаемых;1ih̄ [Â, B̂]— квантовая скобка Пуассона.Квантовая скобка Пуассона, как и коммутатор, является скобкой Ли,т.
е. линейна по обоим аргументам, антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби:{Â, {B̂, Ĉ}q }q + {B̂, {Ĉ, Â}q }q + {Ĉ, {Â, B̂}q }q = 0.Таким образом, пространство наблюдаемых оказывается вещественным линейным пространством с двумя операциями умножения (симметризованное умножение и скобка Пуассона), одна из которых симметрична,а вторая — скобка Ли.Пространство наблюдаемых с перечисленными выше операциями называется алгеброй наблюдаемых.Интересно, что состояние системы, задаваемое как матрица плотности,также оказывается элементом алгебры наблюдаемых.На самом деле не всякий элемент алгебры наблюдаемых может бытьи в самом деле измерен, но с точки зрения математического языка теорииэто пока15 не важно.4.9.2. Классические наблюдаемые**В теоретической механике наблюдаемыми (классическими наблюдаемыми) оказываются вещественные функции на фазовом пространстве F (Q, P ).15 Из принципиальной неизмеримости некоторых наблюдаемых мы ещё извлечём понятиекалибровочной симметрии.116ГЛАВА 4Для наблюдаемой F для каждого состояния, заданного определённымизначениями координат и импульсов (Q0 , P0 ) (классическое чистое состояние), задано определённое значение наблюдаемойF (Q0 , P0 ).Для состояния, задаваемого плотностью вероятности (Q, P ) (классическое смешанное состояние), определено среднее значениеF = dQ dP (Q, P ) · F (Q, P ).На множестве классических наблюдаемых возможны операции, аналогичные введённым выше для квантовых наблюдаемых:• cF — умножение на вещественное число c ∈ R;• F + G — поточечное сложение наблюдаемых F и G;• F •G = F (Q, P )·G(Q, P ) — обычное поточечное умножение функций; ∂F ∂G∂G ∂F• {F, G} = k ∂Q−∂Qk ∂Pk — классическая скобка Пуассона.k ∂PkКлассическая скобка Пуассона также является скобкой Ли.Таким образом, мы получаем алгебру классических наблюдаемых, накоторой заданы операции, аналогичные операциям, введённым выше дляквантовых наблюдаемых.Интересно, что состояние классической системы, задаваемое как распределение вероятностей (Q, P ), также оказывается элементом алгебрыклассических наблюдаемых.4.9.3.
Вещественность наблюдаемых***Как квантовая, так и классическая алгебра наблюдаемых устроены так,что значения наблюдаемых величин непременно должны быть вещественными.Однако значения измеряемых на эксперименте наблюдаемых величинвовсе не обязаны быть вещественными. Понятно, что с помощью нормальных операторов мы можем легко ввести комплексные наблюдаемые, но такое обобщение малоинтересно, т. к. такая комплексная наблюдаемая будетпросто сводиться к двум коммутирующим вещественным наблюдаемым.Так что в этом разделе мы обсудим более общий случай.4.9. Н АБЛЮДАЕМЫЕ *117Пусть, например, в городе живут котыразного цвета. Наблюдатель ловит случайнымобразом одного из котов и определяет, чтос равной вероятностью 13 он может быть рыжим, чёрным или полосатым.Конечно, мы можем договориться и пронумеровать окрасы тем или иным способом,например так:Рис.
4.5. Окрас кота — точёрный = 1,рыжий = 2,полосатый = 3.же наблюдаемая величина, номы чаще описываем её словами, чем числами.После этого мы посчитаем среднее значениекошачьего окраса и вычислим (поскольку все три окраса равновероятны),что «средний кот» у нас имеет окрас номер 2 (рыжий). Смысла это утверждение не имеет практически никакого, т. к. перенумерацией цветов мыможем сделать «средним» любой цвет из трёх.Конечно, мы можем попытаться как-то «обнаучить» нумерацию котови приписать каждой масти физически осмысленное число, например, альбедо (коэффициент отражения) кошачьей шерсти, но такое «обнаучивание»имеет смысл отнюдь не всегда.Поэтому, вместо того, чтобы нумеровать кошачьи расцветки, можночестно признать, что некоторые наблюдаемые величины естественно описывать не числами из R, а элементами какого-либо другого множества. Наэтом множестве операции умножения на вещественное число, операцииумножения элементов множества друг на друга, операция взятия среднего и операция взятия скобки Пуассона могут быть не определены, и в этойнеопределённости нет ничего страшного.Для предсказания результата измерения нам на самом деле нужнатолько одна операция — операция вычисления вероятности того или иногоисхода измерения в данном состоянии.В классическом случае такая наблюдаемая по-прежнему задаётсяфункцией F (Q, P ), но значения функции F уже не обязаны быть вещественными, а могут принадлежать произвольному множеству V :F : (Q, P ) → F (Q, P ) ∈ V.Ни одна из операция необходимых для алгебры наблюдаемых, не являетсяпри этом обязательной.В квантовом случае нам достаточно задать разбиение пространства наортогональные подпространства для дискретного спектра (или проектор-118ГЛАВА 4нозначную меру для непрерывного спектра):{P̂α }α∈V ,P̂α = 1̂,P̂α† = P̂α ,P̂α P̂β = δαβ P̂α .αЭтого достаточно, чтобы определить вероятность любого исхода измерения α:pα = ψ|P̂α |ψ.Умножать волновую функцию на элемент множества V ⊂ C мы не можем,так что такой наблюдаемой нельзя сопоставить оператор.
Соответственно,нельзя вычислить и среднее значение.Понятно, что мы можем вручную перенумеровать элементы V вещественными числами и всё-таки определить оператор наблюдаемой величины, но после этого не следует удивляться тому, что получившийся искусственный оператор ведёт себя неестественным образом.Приведём пример такого неестественного оператора.Угол поворота вокруг какой-либо оси мы можем задавать вещественным числом.
При этом сложение таких углов, умножение их на вещественные числа и усреднение будет иметь хороший геометрический смысл. Однако угловая координата (для определённости возьмём угол ϕ в цилиндрических координатах) такого хорошего смысла уже не имеет. Нулевое значение угловой координаты, в отличие от нулевого значения угла поворота,никак не выделено, это лишает смысла операции сложения угловых координат, их умножения на число и усреднения. Операция вычитания угловыхкоординат, тем не менее, имеет смысл.
Чтобы увидеть это, достаточно повернуть систему координат вокруг оси z на некоторый угол δϕ, при этомпреобразовании исходные величины и результаты «нехороших» действийпреобразуются по разным законом:ϕ1ϕ1ϕ2ϕ2(ϕ1 + ϕ2 )(ϕ1 + ϕ2 )(ϕ1 + ϕ2 )(ϕ1 + ϕ2 )→→→→→→→→ϕ1 + δϕ,ϕ1 + δϕ < 2π,ϕ1 + δϕ − 2π, ϕ1 + δϕ 2π,ϕ2 + δϕ,ϕ2 + δϕ < 2π,ϕ2 + δϕ − 2π, ϕ2 + δϕ 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ < 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 2π, 4π > (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 2π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 4π, 6π > (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 4π,(ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ − 6π, (ϕ1 + ϕ2 ) + 2δϕ 6π.4.10.
О ПЕРАТОРЫКООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА119Одно из следствий этого — невозможность (в общем случае) определения «среднего направления» путём усреднения оператора угловой координаты.А так ли нам нужны операции алгебры наблюдаемых, если мы можемсчитать вероятности и без их помощи? На самом деле нам нужна скобкаПуассона, чтобы записать уравнения временной эволюции.
(Здесь мы забегаем вперёд, обращаясь к материалу раздела 5.2 «Разные представлениявременной (унитарной) эволюции квантовой системы».)Если мы описываем временную эволюцию через состояния (представление Лиувилля в классике или представление Шрёдингера в квантовомслучае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:• состояние (распределение вероятностей в классике или матрицу плотности в квантовом случае);• гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).Если мы описываем временную эволюцию через наблюдаемые (представление Гамильтона в классике или представление Гайзенберга в квантовом случае), то мы должны иметь возможность подставить в скобку Пуассона:• наблюдаемую;• гамильтониан (функцию Гамильтона в классике или оператор Гамильтона в квантовом случае).Впрочем, если мы задали наблюдаемую величину не оператором, а набором проекторов {P̂α }α∈V и соответствующих им разрешённых значений αиз произвольного множества V , то мы можем с помощью скобки Пуассона записать уравнение эволюции не для оператора наблюдаемой (которыйпопросту отсутствует), а для проекторов P̂α (хороших эрмитовых операторов).Единственная наблюдаемая, вещественность (эрмитовость) которойдля нас принципиально важна, — гамильтониан.4.10.
Операторы координаты и импульсаОператоры координаты и импульса, на самом деле, уже были намиопределены, т. к. мы уже задали для них наборы собственных чисел и базисы собственных функций. Здесь мы рассмотрим одномерный случай, когдапространство состояний в координатном представлении задаётся как L2 (R).120ГЛАВА 4В координатном представлении (в базисе собственных функций оператора координаты) базисные функции самого координатного базиса имеютвид, обычный для непрерывного спектра:φx0 (x) = φx |φx0 = δ(x − x0 ).В том же координатном представлении базис собственных функций оператора импульса задаётся волнами де Бройля:iφp0 (x) = φx |φp0 =√12πh̄e h̄p0 x.В импульсном представлении (в базисе волн де Бройля)φp0 (p) = φp |φp0 = δ(p − p0 ).В том же импульсном представлении базис собственных функций оператора координаты задаётся комплексным сопряжением волн де Бройля:φx0 (p) = φp |φx0 = φx0 |φp ∗ =√12πh̄−eipxh̄ 0 .Таким образом, как уже упоминалось ранее, координатное и импульсное представление связаны друг с другом преобразованием Фурье (см.
раздел 4.6.3).В своём представлении каждый оператор действует умножением на аргумент волновой функции (см. 4.7.3 «Базис собственных состояний»). Операторы импульса в координатном и координаты в импульсном представлении задаются как дифференциальные операторы. (Проверьте, что приведённые выше базисные состояния являются собственными для этих операторов!)∂x̂ ψ(x) = x ψ(x),p̂ ψ(x) = −ih̄ ∂xψ(x);p̂ ψ(p) = p ψ(p),∂x̂ ψ(p) = +ih̄ ∂pψ(p).Коммутатор операторов p̂ и x̂ вне зависимости от представления имеет вид:[x̂, p̂] = ih̄.(4.64)Именно уравнение (4.64) можно считать «настоящим» определениемкоординаты и импульса.(**) Строго говоря, область определения коммутатора [x̂, p̂] состоитиз функций, которые остаются квадратично интегрируемыми после взятия4.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
