М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 24
Текст из файла (страница 24)
y) = tr(b . . . yza).(4.52)Здесь a, b, . . . , y, z — произвольный набор чисел, операторов, бра- и кетвекторов, записанных в виде произведения, для которого имеет смысл след,т. е. в виде оператора или числа (матрицы 1 × 1).Мы можем принять (4.52) вместе с условием линейности (4.51) в качестве ещё одного определения следа, если ввести условие, что след числаравен самому числу:tr α = α,α ∈ C.(4.53)(!!!) Определив след от числа как само это число, мы определили эточисло как матрицу 1 × 1, однако мы можем понимать то же число какматрицу n × n вида α1̂, где 1̂ — единичная матрица n × n. Очевидно, чтоtr(α1̂) = nα = α = tr α.Частичный след оператора*Пусть пространство состояний представлено в виде тензорного произведения:H = H1 ⊗ H2 .Это означает, что волновая функция представляется как функция от двухнаборов аргументов, отвечающих первому и второму пространствам:ψ(x, y) = y|x|ψ.108ГЛАВА 4|ψ =ψ(x, y)|x|y.x,y(Для упрощения формул мы пишем только суммы, как для дискретногоспектра.) Здесь (y|x|)† = |x|y — базисное состояние в пространстве H,записанное как произведение базисных состояний |x и |y в пространствах H1 и H2 .Ядро оператора в пространстве H оказывается функцией (для непрерывного спектра м.
б. обобщённой функцией) уже от двух двойных набороваргументов:A(x, y; x , y ) = y|x|Â|x |y . =|x|yA(x, y; x , y )y |x |.x,y;x ,y Для оператора на пространстве H = H1 ⊗ H2 мы можем определитьчастичный след по пространству H2 :|xA(x, y; x , y)x | =y|Â|y.(4.54)trH2  =x,y;xyПолучившийся объект является не числом, как обычный след, а оператором над пространством H1 . Ядро следа зависит только от одного двойногонабора переменных и задаётся соотношениемA(x, y; x , y).(4.55)trH2 Â(x; x ) =y;yЗаметим, что при преобразовании базиса в пространстве H2 векторы и операторы в пространстве H1 не преобразуются (т.
е. с точки зрениятрансформационных свойств ведут себя как скаляры/числа, хотя и не коммутативные).Все приведённые выше способы вычисления следа относятся такжеи к частичному следу по H2 с той оговоркой, что в качестве состояний, покоторым берётся след, рассматриваются только состояния на H2 . В частности, по аналогии с (4.53) (и с теми же оговорками!) для любого оператора Â1 : H1 → H1trH2 Â1 = Â1 .(4.56)Между частичным и полным следом существует очевидное соотношение:tr  = trH1 trH2  = trH2 trH1 Â.(4.57)4.8. М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *1094.8. Матрица плотности*До сих пор мы описывали состояния с помощью векторов состояния (волновых функций),однако существует другой, более общий способописания состояния квантовой системы — матрица плотности.Матрица плотности была введена Л.
Д. Ландау и И. фон Нейманом в 1927 году.Наибольшее, что мы в принципе можем знатьо состоянии квантовой системы, — вектор состояния |ψ (волновая функция ψ(x)) с точностью допроизвольного фазового множителя (если фиксировать нормировку). Поэтому вектор состояния Рис. 4.4. Лев Давыдовичназывают ещё чистым состоянием. Такое состоя- Ландау (1908–1968).ние может быть описано матрицей плотности (насамом деле не матрицей, а оператором)ρ̂1 = |ψψ|,ψ|ψ = 1.(4.58)Если мы не знаем в каком чистом состоянии находится система, но знаем с какой вероятностью pk какой вектор состояния |ψk ей соответствует,то нам известно смешанное состояние.
Такое состояние может быть описано матрицей плотностиρ̂ =|ψk pk ψk |,ψk |ψk = 1.(4.59)kСостояния |ψk нормированы, но не обязательно ортогональны.В общем случае матрица плотности — неотрицательно определённыйэрмитов оператор с единичным следом, т. е.ρ̂ = ρ̂† ,ψ|ρ̂|ψ 0, ∀ψ ∈ H,tr ρ̂ = 1.(4.60)Смысл этих условий: вещественность и неотрицательность вероятности,нормировка суммарной вероятности на единицу. От условия единичногоследа матрицы плотности можно отказаться, приняв, что матрица плотности определена с точностью до вещественного положительного множителя.Тогда значение следа задаёт нормировку матрицы плотности.Нормированная на единицу матрица плотности однозначно определяется состоянием системы и содержит всю информацию, необходимую для110ГЛАВА 4описания системы, т.
е. позволяет вычислять временную эволюцию системы (про эволюцию на языке матрицы плотности см. ниже в главе 5«Принципы квантовой механики») любые вероятности, получаемые при измерениях, и средние любых наблюдаемых.Вычисление среднего значение задаётся следующим образом:Âρ = tr(Âρ̂).(4.61)Используя линейность следа, возможность циклически переставлятьсомножители (включая бра- и кет-векторы) под следом (4.52), убедимсяна примере матриц плотности (4.58) и (4.59), что вычисляемое по формуле (4.61) соответствует принятым нами ранее для волновых функцийправилам:Âρ1 = tr(Âρ̂1 ) = tr(Â |ψψ|) = tr(ψ|Â |ψ) = ψ|Â |ψ = Âψ ,Âρ = tr(Âρ̂) = tr Â|ψk pk ψk | =pk tr(Â |ψk ψk |) ==kkpk ψk |Â |ψk =kpk Âψk .kТаким образом, в одном случае мы получили то же самое среднее, чтои для волновой функции, а в другом — среднее взвешенное с весами pk отсредних значений оператора по чистым состояниям ψk .Вероятность обнаружения системы, описываемой матрицей плотности,в состоянии, принадлежащем некоторому подпространству, как и для случая исходного чистого состояния (4.29), задаётся как среднее от ортогонального проектора P̂ на соответствующее подпространствоp = P̂ ρ = tr(P̂ ρ̂).(4.62)Вычисление вероятностей и изменение матрицы плотности при измерениибудет обсуждено ниже в главе 5 «Принципы квантовой механики».4.8.1.
Роль и смысл матрицы плотности*Исходя из приведённых выше формул для средних в состоянии, задаваемом матрицей плотности, мы можем заключить, что если волновыефункции (чистые состояния) учитывают только чисто квантовые неопределённости наблюдаемых величин, то матрицы плотности (смешанные состояния) учитывают как квантовые неопределённости, так и наше классическое незнание того, в каком именно квантовом состоянии находитсясистема.4.8. М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *111Заметим, что представление матрицы плотности через волновые функции в виде (4.59) неоднозначно.
Таким образом, разделение квантовыхи классических вероятностей в матрице плотности в принципе невозможно.Задаваемое матрицей плотности смешанное состояние (4.59) можнорассматривать как среднее взвешенное от чистых состояний (4.58). Здесьимеется аналогия с классической механикой, где смешанное состояние, задаваемое распределением вероятностей в фазовом пространстве (Q, P ),также может рассматриваться как среднее взвешенное от чистых состояний ч (Q, P ) = δ(Q − Q0 ) δ(P − P0 ).Матрица плотности является естественным языком для описания состояния квантовой системы в статистической физике. В частности, распределение Гиббса, при котором вероятность квантового состояния системыс энергией E пропорциональна e−E/T , где T — температура, выраженнаяв единицах энергии (kT , если ввести постоянную Больцмана k), задаётсяследующей матрицей плотности нормированной на статсумму:−ρ̂ = eĤT,Z = tr ρ̂.Среди физиков нет единства в том, считать ли более фундаментальным описание на языке матрицы плотности, или на языке волновой функции.
Матрица плотности предоставляет нам более общее описание, но приэтом вносимые матрицей плотности вероятности можно объяснить простонезнанием точного состояния системы (волновой функции). Кроме того,принцип суперпозиции и явление интерференции более удобно описыватьс использованием волновых функций, а не матриц плотности.4.8.2. Матрица плотности для подсистемы*Целое больше, чем сумма частей.Аристотель, «Метафизика»Описание квантовой системы на языке матрицы плотности становится необходимым, когда система является частью (подсистемой) некоторойбольшой системы. Чтобы перейти от системы к подсистеме, необходимоусреднить (взять частичный след) по переменным, описывающим то, чтоне попадает в выбранную подсистему:ρ̂1 = tr2 ρ̂,ρ1 (x; x ) = ρ(x, y; x , y) dy.(4.63)112ГЛАВА 4При таком переходе от системы к подсистеме чистое состояние можетперейти в смешанное.
Возьмём, например, следующее состояние большойсистемы|Ψ = A1 |φ1 |χ1 + A2 |φ2 |χ2 .Здесь |φ1 и |φ2 — два ортонормированных состояния подсистемы, |χ1 и |χ2 — два ортонормированных состояния остатка системы (термостата),√√A1 = eiα1 p1 и A2 = eiα2 p2 (α1 , α2 , p1 , p2 ∈ R+ , |A1 |2 + |A2 |2 = p1 ++ p2 = 1) — комплексные амплитуды членов суперпозиции.Матрица плотности исходной системы имеет видρ̂ = |ΨΨ| = A1 A∗1 |φ1 |χ1 χ1 |φ1 | + A2 A∗2 |φ2 |χ2 χ2 |φ2 | ++ A1 A∗2 |φ1 |χ1 χ2 |φ2 | + A2 A∗1 |φ2 |χ2 χ1 |φ1 |.ρ̂ уже не зависит от общего фазового множителя (который всё равно является нефизическим), а зависит только от вероятностей p1 , p2 и разностифаз (α1 − α2 ).Возьмём теперь частичный след по переменным, описывающим термостат, при этом мы можем циклически переставлять под tr2 только множители χi , но не φi :ρ̂1 = tr2 |ΨΨ| = A1 A∗1 tr2 |φ1 |χ1 χ1 |φ1 | + A2 A∗2 tr2 |φ2 |χ2 χ2 |φ2 | ++ A1 A∗2 tr2 |φ1 |χ1 χ2 |φ2 | + A2 A∗1 tr2 |φ2 |χ2 χ1 |φ1 | == A1 A∗1 tr2 |φ1 χ1 |χ1 φ1 | + A2 A∗2 tr2 |φ2 χ2 |χ2 φ2 | ++ A1 A∗2 tr2 |φ1 χ2 |χ1 φ2 | + A2 A∗1 tr2 |φ2 χ1 |χ2 φ1 | == p1 |φ1 φ1 | + p2 |φ2 φ2 |.Теперь мы полностью потеряли информацию о фазах αi .Аналогично мы можем записать матрицу плотности для термостата,взяв частичный след по переменным подсистемыρ̂2 = tr1 |ΨΨ| = p1 |χ1 χ1 | + p2 |χ2 χ2 |.Мы видим, что, поскольку матрицы плотности для обеих подсистем не содержат какой-либо информации о фазах αi знание ρ̂1 и ρ̂2 не позволяетвосстановить матрицу плотности всей системы ρ̂.
В этом смысле, квантовой механике присущ некоторый холизм, т. е. описание сложной системы несводится к описанию всех её подсистем (см. эпиграф).Может показаться, что аналогичная ситуация имеет место в классической механике для смешанных состояний. Пусть (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) — распре-4.8. М АТРИЦАПЛОТНОСТИ *113деление вероятностей для сложной системы, тогда распределение вероятностей для подсистем имеют вид1 (Q1 , P1 ) = (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) dQ2 dP2 ,2 (Q2 , P2 ) =(Q1 , Q2 , P1 , P2 ) dQ1 dP1 .При этом общее распределение (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) в случае общего положения (когда не представимо в виде произведения функций от Q1 , P1и Q2 , P2 ) не восстанавливается по распределениям 1 (Q1 , P1 ) и 2 (Q2 , P2 ),описывающим подсистемы.Однако в классической механике (точнее даже в классической теориивероятностей) это свойство имеет место только для смешанных состояний.Если классическое состояние сложной системы является чистым, то(Q1 , Q2 , P1 , P2 ) = δ(Q1 − Q01 )δ(Q2 − Q02 )δ(P1 − P10 )δ(P2 − P20 ),состояния подсистем также оказываются чистыми1 (Q1 , P1 ) = δ(Q1 − Q01 )δ(P1 − P10 ),2 (Q2 , P2 ) = δ(Q2 − Q02 )δ(P2 − P20 ),причём состояние сложной системы может быть восстановлено(Q1 , Q2 , P1 , P2 ) = 1 (Q1 , P1 )2 (Q2 , P2 ).В квантовом случае, как мы показали выше, чистое состояние сложнойсистемы в общем случае не восстановимо по состояниям подсистем.Чистое состояние системы может дать смешанное для подсистемы.Возможна и обратная ситуация, когда смешанное состояние системы даётчистое для подсистемы.
Пустьρ̂ = ρ̂1 ⊗ ρ̂2 .Тогда если ρ̂1 = |ψψ| — чистое состояние подсистемы 1, а ρ̂1 — смешанное состояние подсистемы 2, то состояние сложной системы ρ̂ являетсясмешанным. В данном случаеρ̂1 = tr2 (ρ̂1 ⊗ ρ̂2 ) = ρ̂1 (tr2 ρ̂2 ), =1ρ̂2 = tr1 (ρ̂1 ⊗ ρ̂2 ) = (tr1 ρ̂1 ) ρ̂2 . =1114ГЛАВА 44.9. Наблюдаемые*Наблюдаемые величины (наблюдаемые) в физике — величины, которыемы можем в принципе измерить на эксперименте. В классической механике в полностью определённом состоянии наблюдаемая — просто функцияот состояния системы. Поэтому в классике вопрос о наблюдаемых частообходится. В квантовой теории в одном и том же состоянии результатыизмерения одной и той же наблюдаемой могут быть различны.4.9.1. Квантовые наблюдаемые*В стандартной терминологии квантовой механики наблюдаемые величины, или просто наблюдаемые, отождествляются с эрмитовыми операторами.Спектр наблюдаемой, который мы уже упоминали как набор значений,которые она может принимать, отождествляется со спектром оператора —набором его собственных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
