М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Среднее от оператораДиагональные матричные элементы от эрмитовых операторов играютособую роль: они задают средние значения соответствующих наблюдаемых(т. е. наблюдаемых величин) по выбранному состоянию:Âψ = ψн |Â|ψн =ψ|Â|ψ,ψ|ψ|ψ|ψн = .ψ|ψ(4.46)Это соотношение легко выводится, если записать вектор |ψн в базисесобственных функций оператора Â (далее для простоты формулы пишутсядля невырожденного спектра — на каждое собственное число приходитсяровно один базисный вектор). С учётом того, что состояния дискретногоспектра нормированы на δ-символ, а состояния непрерывного спектра — наδ-функциюφk |φl = δkl ,k, l ∈ W, φx |φy = δ(x − y),φk |φx = 0, x ∈ U, k ∈ W,x, y ∈ U,4.7. О ПЕРАТОРЫ103получаем среднее от x ∈ U ∪ W с весом (вероятностью для дискретногоспектра и плотностью вероятности для непрерывного) |ψ(x)|2 :⎛⎞ + dx⎠ x · |ψ(x)|2 .ψн |Â|ψн = ⎝x∈WU4.7.6. Разложение оператора по базисуЕсли у нас есть базис в пространстве состояний, то мы можем ввестибазис в пространстве операторов H × H∗ , состоящий из операторов вида|φx φy |.Произведение кет-вектора на бра-вектор следует понимать в смысле (4.16),(4.17).Теперь матричный элемент оператора оказывается коэффициентом разложения оператора по базису.
Для базиса, содержащего только векторынепрерывного спектра, можно записать: =|φx Axy φy | dx dy.x,y∈UЕсли базис содержит и непрерывный и дискретный спектры, то получаетсяболее громоздкая формула =|φx Axy φy | dx dy +|φx Axy φy | +x,y∈Wx,y∈U+|φx Axy φy | dx +x∈U y∈W |φx Axy φy | dy,x∈W y∈Uкоторую можно написать более коротко следующим образом:⎛⎞⎛⎞ = ⎝+dx⎠ ⎝+dy ⎠ |φx Axy φy |.x∈Wy∈Wx∈U(4.47)y∈UРазложение единичного оператора по произвольному ортонормированномубазису можно записать так:⎛⎞1̂ = ⎝+dx⎠ |φx φx |.(4.48)x∈Wx∈U104ГЛАВА 44.7.7.
Области определения операторов в бесконечномерии*Сколь велико различие между конечномерными и бесконечномерными пространствами и матрицами/операторами, действующими на них? Напервый взгляд различие сводится к замене диапазона, который пробегает индекс при суммировании. Если диапазон изменения индекса содержитнепрерывные куски, то по этим кускам вместо суммирования надо интегрировать. И это всё? Нет, не всё! Когда мы считаем скалярное произведение или скалярный квадрат, то сумма конечного числа членов определенавсегда. При вычислении бесконечной суммы (ряда) или интеграла выражение может оказаться расходящимся.
Конечно, мы оставляем в гильбертовом пространстве H только такие векторы, квадрат которых определён.Это гарантирует что скалярное произведение определено для любой парывекторов:φ|ψ = 1 ψ + φ2 − ψ − φ2 + iψ + iφ2 − iψ − iφ2 .4Такое определение скалярного произведения через норму называют процедурой поляризации13 .Однако действие некоторых операторов может выводить некоторыевекторы из гильбертова пространства. Например, возможно, что функцияквадратично интегрируемаψ2 = ψ|ψ = |ψ(x)|2 dx < ∞, ⇒ ψ ∈ H,Rно под действием оператора x̂ (после умножения на x) интеграл уже расходитсяx̂ψ2 = x̂ψ|x̂ψ = x2 |ψ(x)|2 dx → ∞, ⇒ x̂ψ ∈ H.RВ этом случае результат действия оператора на вектор x̂|ψ не определёнв пространстве H.
Таким образом, оказывается, что область определения13 Чтобы процедура поляризации определяла скалярное произведение через норму, надо,чтобы норма удовлетворяла правилу параллелограммаψ + φ2 + ψ − φ2 = 2ψ2 + 2φ2 .В этой формуле легко узнать геометрическое тождество для обычной двумерной плоскости,натянутой на векторы ψ и φ.4.7. О ПЕРАТОРЫ105и область значения какого-либо оператора могут не совпадать с пространством чистых состояний H. Мы иногда можем формально записать компоненты такого неопределённого вектора, но такой квадратично неинтегрируемый вектор не только не попадает в пространство H, но и не имеетфизического смысла.Часто ли такое случается с физически осмысленными операторами?Очень часто.
Всегда, когда спектр оператора не ограничен, т. е. существуютсобственные числа сколь угодно большие по абсолютной величине, некоторые состояния из H не попадают в его область определения, но при этомобласть определения может быть плотна в пространстве H. К числу неограниченных с плотной в H областью определения относятся операторы импульса, координаты (в бесконечном пространстве), энергии и др.14Впрочем, когда подобные неограниченные эрмитовы операторы Âс плотной областью определения используются как генераторы, для построения соответствующих унитарных операторов eiα (α ∈ R), унитарныеоператоры оказываются определены всюду.
Благодаря ограниченности собственных чисел (|u| ≡ 1) для всех унитарных операторов область определения совпадает с областью значений и совпадает со всем пространством H.Когда при определении неограниченного эрмитового оператора мы пишем  = † , то это означает также совпадение всюду плотных областейопределения для операторов  и † . Именно для таких операторов доказывается теорема о диагонализации (полноте базиса собственных функций).Так что если мы доказали, что некоторый оператор является симметричным, т. е. чтоφ|Âψ = Âφ|ψдля всякой пары φ, ψ, для которой определена левая часть равенства, то этоещё не эрмитовость.(*) Требование совпадения областей определения  и † можно рассматривать по аналогии с конечномерным пространством как требованиеквадратности матрицы. Эрмитову матрицу мы можем диагонализовать,а для этого она должна быть квадратной.
В конечномерном случае условие квадратности матрицы  означает, что области определения для неёи сопряжённой матрицы † совпадают. Аналогично мы требуем совпадения областей определения операторов  и † в бесконечномерном случае.Часто, когда говорят об эрмитовости какого-либо оператора, на самомделе имеют в виду эрмитовость другого оператора, который получается из14 Вобщем случае ограниченным называется оператор Â, для которого конечна нормаA = supψÂψψ< ∞.106ГЛАВА 4исходного доопределением (продолжением) на большую область определения.Например, оператор импульса на прямой можно определить как эр∂митов оператор, продолжив оператор −ih̄ ∂x. Оператор импульса на полупрямой является симметричным для функций, обращающихся в ноль награнице, но он не может быть продолжен до эрмитового оператора.
По этойпричине импульс на полупрямой не имеет собственных функций.Для отличия эрмитовых (или продолжаемых до эрмитовых) операторов от просто симметричных мы можем использовать следующий простойкритерий: эрмитов оператор всегда диагонализуется (имеет полный базиссобственных векторов).Именно эрмитовы операторы в квантовой механике сопоставляютсянаблюдаемым величинам, так что «чисто математическое» различие междусимметричными и эрмитовыми операторами на самом деле имеет физический смысл.4.7.8. След оператора*Данный раздел нужен в первую очередь для работы с матрицами плотности (4.8 «Матрица плотности*»).
При первом чтении всё, что касаетсяматриц плотности, можно пропустить, включая этот раздел.По аналогии со следом матрицы можно ввести след оператора как сумму (интеграл) диагональных матричных элементов:⎛⎞⎛⎞tr  = ⎝+dx⎠ Axx = ⎝+dx⎠ x|A|x.(4.49)x∈Wx∈Ux∈Wx∈UВ отличие от конечномерных матриц, для которых след определён всегда, для операторов соответствующий интеграл (сумма) может расходиться.В частности, след единичного оператора равен размерности пространстваи расходится для бесконечномерного пространства.Для оператора, записанного как произведение кет-вектора на бра-вектор, след можно записать следующим образом:tr |ψφ| = φ|ψ.(4.50)Если дополнить формулу (4.50) условием линейности следа:tr(α + B̂) = α tr  + tr B̂,то её можно принять в качестве определения следа вместо (4.49).(4.51)4.7.
О ПЕРАТОРЫ107То, что (4.47), (4.50), (4.51) ⇒ (4.49), очевидно.В свою очередь из определения (4.49) сразу следует линейность (4.51),а формула (4.50) легко выводится:⎛⎞tr |ψφ| = ⎝+dx⎠ φx |ψφ|φx =x∈W⎛=⎝x∈Udx⎠ φ|(|φx φx |)|ψ =+x∈W⎡⎛= φ| ⎣⎝⎞x∈Ux∈W+⎞⎤dx⎠ |φx φx |⎦ |ψ = φ|1̂|ψ = φ|ψ.x∈UФормула (4.50) позволяет циклически переставлять под следом нетолько операторы (матрицы), но и бра- и кет-векторы (строки и столбцы):tr(ab . . . yz) = tr(zab . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
