М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 22
Текст из файла (страница 22)
отображение вектора из H1 на другой вектор того жепространства H1 :Û = J −1 G : H1 → H1 .96ГЛАВА 4Поскольку такое преобразование взаимно-однозначно (⇒обратимо)и сохраняет скалярное произведение (оба базиса одинаково нормированы),то оно называется унитарным преобразованием и описывается унитарнымоператором Û .Наоборот, если M1 : H → H1 задаёт компоненты вектора состоянияпо некоторому базису, а Û : H → H — унитарный оператор, то M2 == M1 Û : H → H1 задаёт компоненты вектора состояния по новому базису.Для любого базиса любой унитарный оператор задаёт некоторую замену базиса на новый базис, «устроенный» так же как исходный, и наоборот, любая замена базиса, при которой оба базиса «устроены» одинаково, задаёт унитарный оператор.Унитарное преобразование — обобщение поворота, а унитарныйоператор — обобщение матрицы поворота.Если базисы «устроены» различно, например в одном векторы нумеруются дискретным индексом, а в другом — непрерывным, то такую заменубазиса нельзя естественным образом представить как унитарное преобразование11 .Преобразование ФурьеРассмотрим пространство L2 (R) и базис, состоящий из волн де Бройля(состояний с определённым импульсом h̄k):ξk (x) = √1 eikx = φx |ξk ,2πk ∈ R.Здесь φx0 (x) = δ(x−x0 ) — волновые функции исходного базиса (состоянияс определённым значением координаты x0 ).Переход к новому базису соответствует преобразованию Фурье.
Этотбазис является ортонормированным, т. е.ξk |ξl = δ(k − l).Хотя матричный элемент ξk |ξl является обобщённой функцией, при k = lона имеет хорошо определённое (нулевое) значение, однако соответствую11 В некоторых книгах унитарными операторами называют также отображение одного пространства на другое. Однако в данном пособии унитарные преобразования понимаются какотображение пространства на себя, для того чтобы любое преобразование можно было бырассматривать двояким образом: как активное преобразование (преобразование вектора), либо как пассивное преобразование (замена базиса).4.6. Б АЗИСЫВ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙщий интегралξk |ξl = 12π97+∞ei(l−k)x dx−∞расходится (см.
(4.39)). При стремлении к бесконечности пределов интегрирования+R2 sin((l − k)R)ei(l−k)x dx =,R → +∞l−k−Rзначение интеграла колеблется, но не стремится к какому-либо пределу. Мыможем домножить подынтегральное выражение на какой-либо регуляризующий фактор, например e−α|x| , после чего перейти к пределу α → +0,но смысл формулы ξk |ξl = δ(k − l) не в этом, а в том, что скалярноепроизведение для функций и их преобразования Фурье записывается одинаково:+∞+∞∗φ|ψ =φ (x)ψ(x)dx =φ∗ (k)ψ(k)dk,−∞+∞∗φ (k) = φ|ξk =−∞−∞eikx dx,φ (x) √2π∗+∞ψ(k) = ξk |ψ =−∞e−ikx ψ(x)dx.√2π+∞+∞ψ(x)|φx dx =ψ(k)|ξx dk мы можем удобно заПоскольку |ψ =−∞−∞писать друг через друга ψ(k) = ξk |ψ и ψ(x) = φx |ψ, используя ядро ξk |φx = φx |ξk ∗ :+∞ψ(k) =ξk |φx ψ(x)dx,−∞+∞ψ(x) =−∞eikx√ ψ(k)dk =2π+∞φx |ξk ψ(k)dk.−∞Если величина x безразмерна, то k тоже безразмерна и мы можем рассматривать преобразование Фурье по своему выбору как замену базиса, либокак унитарное преобразование.
Если же x и k размерны, то мы можем рассматривать преобразование Фурье как замену базиса, но не можем рассматривать их как унитарное преобразование, впрочем, мы всегда можем обезразмерить переменные, разделив x и умножив k на некоторую константу x0с размерностью x.98ГЛАВА 4Часто в физике в качестве аргумента преобразования Фурье выбирается не волновое число k, а импульс p = h̄k. В этом случае нормированные√волновые функции нового базиса должны быть поделены на h̄:iξp (x) = √ 1 e h̄2πh̄px,p ∈ R.Другое преобразование Фурье*Определённое выше преобразование Фурье отличается от обратногопреобразования Фурье только знаком в комплексной экспоненте, однако1наличие нормировочного множителя √12π , или √2πh̄, часто неудобно.
Темiболее, что без этого множителя волновая функция ψp (x) = eikx = e h̄ pxоказывается отнормирована на одну частицу, на единицу объёма.Избавиться от корней можно, переопределив скалярное произведениев импульсном представлении:+∞dpφ|ψ =φ∗ (p)ψ(p).2πh̄(4.40)−∞Можно сказать, что мы ввели в пространстве импульсов/волновых чиdpdkсел меру вида 2πh̄= 2π. То есть интегрирование по импульсу всегдаведётся по такой мере.
Если размерность пространства импульсов n, тоdn pdn kтакая мера имеет вид (2πh̄)n = (2π)n .Теперь мы можем записывать преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье без корней:ψ(p) = φp |ψ =ψ(x) = φx |ψ =−eie h̄ipxh̄ ψ(x)dx,pxψ(p)dp,2πh̄−φp (x) = eiφx (p) = e h̄ipxh̄px= φx |φp ,= φp |φx = φx |φp ∗ .Условия нормировки для импульсного базиса и для координатного базисаимеют различный вид:φx |φx = φx (x) = δ(x − x ),φp |φp = φp (p) = 2πh̄ δ(p − p ).Именно такие соглашения предпочитают в большинстве книг физики.Это весьма удобно: все дифференциалы импульса делятся на 2πh̄, и ника-4.7. О ПЕРАТОРЫ99ких корней не возникает.
Однако при этом прямое и обратное преобразования Фурье выглядят различно, различаются условия нормировки, а пространство волновых функций в координатном и импульсном представлении различаются даже после обезразмеривания, что затрудняет рассмотрение преобразований Фурье в качестве унитарных преобразований.
По этойпричине математики часто предпочитают преобразование Фурье в том виде, в котором они приведены в разделе 4.6.3.4.7. ОператорыОператоры в квантовой теории во многом аналогичны матрицам.В случае, когда пространство волновых функций конечномерно, операторыоказываются обычными матрицами. Можно сказать, что операторы — этои есть матрицы. Не случайно, например, описывающий смешанные квантовые состояния оператор называется матрицей плотности.Здесь мы постараемся сформулировать основные свойства операторовв таком виде, чтобы описание не зависело от того, конечна или бесконечнаразмерность пространства волновых функций.Линейный оператор действует на вектор состояния и превращает егов другой вектор состояния, причём полученное состояние линейно зависитот исходного12 :Â : D → V,D, V ⊂ H,Âψ = φ,Â(αψ) = α(Âψ),ψ, φ ∈ H — чистые состояния,α ∈ C,Â(ψ + φ) = Âψ + Âφ.Операторы можно задавать различными способами.
Например, оператор частной производной по координате x, если волновая функция заданапросто, как функция от координат, можно задать как дифференциальный∂оператор ∂x: ψ → ∂ψ∂x . Другие операторы может быть удобнее задать черезих действие на все векторы некоторого базиса, или в виде матрицы.4.7.1. Ядро оператора*По аналогии с обычной формулой умножения матрицы на столбец(Aa)m = n Amn an мы можем представить действие оператора Â : D → V12 Область определения D оператора Â может не совпадать с пространством H. Причём такое несовпадение имеет место для очень многих физически осмысленных операторов. Обычнофизики не обращают внимание на такие «мелочи», однако иногда такие «чисто математические» тонкости имеют интересный физический смысл.100ГЛАВА 4на кет-вектор следующим образом:Âψ(x) =Axy ψ(y) +y∈WAxy ψ(y) dy.(4.41)y∈UЗдесь W — дискретный спектр, по которому берётся сумма, как для обычных матриц, а U — непрерывный спектр, по которому берётся интеграл.Функция Axy — обобщённая функция от x и y.
Если волновая функция —функция от одного набора переменных x, то ядро оператора — функцияот двух наборов переменных (x, y). Её можно представить как линейныйфункционал на пространстве D × H∗ , который ставит в соответствие объекту вида |ψφ| ∈ D × H∗ число φ|Â|ψ. В следующей формуле, чтобыне загромождать запись, мы ограничились случаем, когда базис содержитвекторы только непрерывного спектра:A : D × H∗ → C,ψ ∈ D,φ ∈ H = L2 (U ), φ|Â|ψ =φ∗ (x)Axy ψ(y) dx dy. (4.42)A : |ψφ| = ψ × φ† →x,y∈UИнтеграл здесь следует понимать как линейный функционал от ψ × φ† .(Сравните с разделом 4.6.3 «Замена базиса».)4.7.2. Матричный элемент оператораЯдро оператора может быть записано через действие оператора на базисные векторы(4.43)Axy = φx |Â|φy .В этом можно легко убедиться, подставив в формулу (4.41) компонентыбазисных волновых функций (4.31), для дискретного спектра, и (4.34), длянепрерывного.Аналогичную формулу (4.13) мы уже писали для элемента обычнойматрицы.Формулы (4.42) и (4.43) позволяют записывать матричные элементы по одному базису через компоненты операторов/матриц и состояний/векторов в другом базисе.В соответствии со сложившейся в квантовой механике традицией мыбудем называть матричным элементом также значение билинейной формы, соответствующей данному оператору на паре произвольных состояний,4.7.
О ПЕРАТОРЫ101и будем использовать соответствующие обозначения:Aφψ = φ|Â|ψ.(4.44)Если один или оба состояния в формуле (4.44) относятся к непрерывномуспектру, то понимать данную формулу следует в соответствии с разделами 4.6.2 «Природа состояний непрерывного спектра*», 4.7.1 «Ядро оператора*».4.7.3. Базис собственных состоянийПодобно эрмитовой (унитарной) матрице эрмитов (унитарный) оператор  можно диагонализовать: подобрать базис собственных состояний|φxy (x — собственное число, y нумерует векторы с одинаковыми собственными числами):⎞⎞⎛⎛ ⎜⎟+ dx⎠⎝+dy ⎠ ψ(x, y)|φxy , Â|φxy = x|φxy .|ψ = ⎝x∈WUy∈Wy (x)Uy (x)(4.45)В таком представлении действие оператора можно представить какÂψ(x, y) = x ψ(x, y).Таком образом, зная спектр (набор собственных чисел) эрмитового(унитарного) оператора и базис собственных состояний этого оператора,можно описать действие этого оператора на произвольное состояние.4.7.4. Векторы и их компоненты**Внимательный читатель может обратить внимание на некоторую двусмысленность введённых нами обозначений.
Если, например, мы пишемразложение вектора по базису собственных состояний|ψ =ψ(k)|φk , Â|φk = k|φk ,kÂ|ψ =ψ(k)|φk ,kто ψ(k) задаёт компоненту номер k вектора |ψ.102ГЛАВА 4А если мы пишемÂψ(k) = k ψ(k),то тогда ψ(k) задаёт уже не компоненту вектора, а весь вектор, заданныйкак функция переменной, обозначенной буквой k.Формально последнюю формулу было бы более правильно записатьтак:вектор ( ψ )(k) = k ψ(k),векторкомпонентано обычно мы не будем столь педантичны.Как правило, определить, что именно обозначает ψ(k) или другое подобное, обозначение можно исходя из контекста. В частности, если по переменной k берётся сумма или интеграл, то имеется в виду заведомо компонента вектора.Впрочем, подобная путаница между обозначением функции и её значения в некоторой точке — обычное дело в разных областях физики и математики.4.7.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
